2015届数学高考完整版笔记(吐血整理)[1]

集合与简易逻辑
1集合的概念及运算
B中的元素都属于A，则称A包含B.
B中的元素都属于A且A中至少有一个元素不属于B，则称A真包含B.
2四种命题及充要条件 一．四种命题：
1．原命题：假设p 则q
逆命题：假设┑P 则┑q ，即交换原命题的条件和结论； 否命题：假设q 则p ，即同时否认原命题的条件和结论；
逆否命题：假设┑P 则┑q ，即交换原命题的条件和结论，并且同时否认． 2．四个命题的关系：
⑴ 原命题为真，它的逆命题不一定为真； ⑵ 原命题为真，它的否命题不一定为真； ⑶ 原命题为真，它的逆否命题一定为真．
⑷两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。

原命题与逆否命题；逆命题与否命题同真同假 ⑸两个命题互为逆命题或否命题，他们的真假性没有关系
⑹原命题和逆否命题为等价命题．如果原命题成立，逆否命题成立．逆命题和否命题为等价命题，如果逆命题成立，否命题成立．
⑺命题的否认形式与原命题互异 二．充分条件与必要条件 1．“假设p 则q ”是真命题，记做p q ⇒， “假设p 则q ”为假命题，记做，
2．假设p q ⇒，则称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 假设p q ⇒，且p q ⇐，则称p 是q 的充要条件； 3．假设p 的充分条件是q ，则q p ⇒； 假设p 的必要条件是q ，则p q ⇒．
注意：①注意区分“命题的否认”与“否命题”这两个不同的概念。

命题p 的否认为“非p ”，记作p ⌝，一般只
是否认命题p 的结论，否命题是对原命题“假设p 则q ”既否认它的条件，又否它的结论。

3逻辑连结词、全称量词与存在量词 一．全称量词与存在量词
含有一个量词的全称命题的否认，有下面的结论：
全称命题p ：,()x M p x ∀∈，它的否认p ⌝：,()x M p x ∃∈⌝ 全称命题的否认是存在性命题。

含有一个量词的存在性命题的否认，有下面的结论：
存在性命题p ：,()x M p x ∃∈，它的否认：p ⌝：,()x M p x ∀∈⌝ 存在性命题的否认是全称命题
二．逻辑联结词：
1．命题是可以判断真假的语句的语句，其中判断为正确的称为真命题，判断为错误的为假命题．如果不易判断命题真假，可由它的逆否命题判断。

5．关键词的否认
函数
1函数及其表示
一．函数的概念
1．映射：设A、B两个非空集合，如果按照某中对应
则f，对于集合A中
法
的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射．2．函数：在某种变化过程中的两个变量
x、y，对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都
有唯一确定的值和它对应，则称y是x的函数，记做()
y f x
=，其中x称为自变量，x变化的范围叫做函数
的定义域，和
x对应的y的值叫做函数值，函数值y的变化范围叫做函数的值域．3．函数三要素：①定义域②值域③对应关系
二．函数的表示：①解析法②图像法③列表法
解析式：
〔1〕根据对应法则的意义求函数的解析式；
例如：已知
x
x
x
f2
)1
(+
=
+
，求函数
)
(x
f的解析式．
〔2〕已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；
例如：已知
()
f x是一次函数，且[()]43
f f x x
=+，函数)
(x
f的解析式．
〔3〕注明定义域〔分段函数〕
三．函数的定义域〔树立定义域优先的思想〕〔1〕根据给出函数的解析式求定义域：
①整式：x R
∈
②分式：分母不等于0
③偶次方根：被开方数大于或等于0
④含0次幂、负指数幂：底数不等于0
⑤对数：底数大于0且不等于1，真数大于0
⑥三角函数中的y=tanx：x≠kπ+k/2(k∈Z)
〔2〕根据对应法则的意义求函数的定义域：
①已知函数f(x)的定义域为D，求函数f[g(x)]的定义域，只需g(x)∈D
例：
()
y f x
=定义域为]5,2[，求(32)
y f x
=+定义域；
②已知函数f[g(x)]的定义域，求函数f(x)的定义域，只需x∈{y|y=g(x)}，即g(x)的值域
例：已知
(32)
y f x
=+定义域为]5,2[，求()
y f x
=定义域；
〔3〕实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域．
六．难点
〔1〕没有告诉定义域
同对应法则y=f(x)中括号内范围相同〔同对立法则〕
〔2〕相同函数
①定义域相同
②对应法则相同恒等变换
2函数的基本性质
一．函数的单调性
1．单调函数的定义
增函数减函数
定义一般地，设函数f〔x〕的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1<x2时,都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f〔x〕在区间D上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是自左向右看图象是
注意：判断单调性
①定义法
②两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增函数
③奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上具有相反的单调性
假设
(),()
f x
g x均为某区间上的增〔减〕函数，则()()
f x
g x
+在这个区间上也为增〔减〕函数
假设
()
f x为增〔减〕函数，则()
f x
-为减〔增〕函数
假设
()
f x与()
g x的单调性相同，则[()]
y f g x
=是增函数；假设()
f x与()
g x的单调性不同，则[()]
y f g x
=是减函数。

奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

4．判断单调性的常用方法
．性质：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
)
N≠∅上的奇〔偶〕函数，分别根据条件判断以下函
()
f x g
-
奇
4、两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

5、假设函数
()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示为
11
()[()()][()()]
22f x f x f x f x f x =+-+--，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

1．幂函数的定义：函数
)(Q x y ∈=αα
叫做幂函数。

其中α是常数，x 是自变量。

幂函数的定义域由α的值
确定。

2．幂函数的图像：
〔1〕图像都经过点〔1，1〕和第一象限； 〔2〕α>0时图像过原点〔0，0〕；α<0时图像不过远点； 〔3〕在第一象限内，当α<0时图像向上无限接近y 轴，向右无限接近x 轴；当0<α<1时图像向上凸起；当α>1时图像向下凸起。

3．幂函数的性质：
〔1〕单调性：当0>α时，在区间〔0，+∞〕上是增函数； 当0<α时，在区间〔0，+∞〕上是减函数。

〔2〕奇偶性：设
n m
=
α且互质）Z n m ∈,(
①当n m 、都是奇数时，它是奇函数； ②当m 是偶数n 是奇数时，它是偶函数； m 是奇数n 是偶数时，它非奇非偶。

八．幂函数图象特征：
〔1〕当0<k 时，在第一象限内，函数单调递减，图象为凹的曲线； 〔2〕当0=k 时，图象是一条不包括点〔0，1〕的直线；
〔3〕当10<<k 时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凸的曲线； 〔4〕当1=k 时，图象是一、三象限的角平分线；
〔5〕当1>k 时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凹的曲线.
〔6〕幂函数图象不经过第四象限；
〔7〕当0>k 时，幂函数
k
x y =的图象一定经过点〔0，0〕和点〔1，1〕
〔8〕如果幂函数k
x y =的图象与坐标轴没有交点，则0≤k ；
〔9〕如果幂函数m
n p
x
y )1(-=〔m 、n 、p 都是正整数，且m 、n 互质〕的
图象不经过第三象限，则p 可取任意正整数，m 、n 中一个为奇数，另一个为偶数.
4 指数与指数函数 一．指数的概念
1．分数指数幂与根式：
如果n
x a =，则称x 是a 的n 次方根，0的n 次方根为0，假设0a ≠，则当n 为奇数时，a 的n 次方根有1个，
记做n a ；当n 为偶数时，负数没有n 次方根，正数a 的n 次方根有2个，其中正的n 次方根记做n
a ．负的n 次方
根记做n
a -．
1．负数没有偶次方根；
2．两个关系式：()n n
a a =；
||n
n
a n a a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 3．正数的正分数指数幂的意义：m
n
m
n
a
a =；1m n
n m a a
=〔0,,a m n N *>∈，且1n >〕
正数的负分数指数幂的意义：
1m n n m
a a -=
．〔0,,a m n N *>∈，且1n >〕 4．分数指数幂的运算性质：
⑴ m n m n a a a +⋅=； ⑵ m n m n
a a a -÷=；
⑶ ()m n mn a a =； ⑷ ()m m m
a b a b ⋅=⋅；
⑸ 0
1a =，其中m 、n 均为有理数，a ，b 均为正整数
5．指数运算法则：〔1〕r s r s
a a a +=； 〔2〕
()s
r rs
a a =；
〔3〕
()r
r r
ab a b =
二．指数的图像
函数 指数函数
()0,1x y a a a =>≠
定义域 x R ∈ 值域
()0,y ∈+∞
图象
性质
过定点(0,1)
减函数
增函数
(,0)(1,)(0,)(0,1)
x y x y ∈-∞∈+∞∈+∞∈时，时，
(,0)(0,1)(0,)(1,)
x y x y ∈-∞∈∈+∞∈+∞时，时，
a b <
a b >
⑵ 对数的换底公式
log log log m a m N
N a =
(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠,0N >).
图象
性质
过定点(1,0)
减函数
增函数
(0,1)(0,)(1,)(,0)x y x y ∈∈+∞∈+∞∈-∞时，时，
(0,1)(,0)(1,)(0,)x y x y ∈∈-∞∈+∞∈+∞时，时，
a b <
a b >
奇偶性
非奇非偶
6 函数的图像
()y f x =→()y f x k =+
将()y f x =图像上每一点向上(0)k >或向下(0)k <平移||k 个单位，
()y f x =→()y f x h =+
将()y f x =图像上每一点向左(0)h >或向右(0)h <平移||h 个单位，
()y f x =→()y af x =
将()y f x =图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(1)a >或压缩
(01)a <<为原来的a 倍，
()y f x =→()y f ax =
将()y f x =图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩(1)a >或拉伸
(01)a <<为原来的
1a
， ()y f x =→()y f x =-
立体几何1 空间几何体的结构、三视图和直观图
一．柱、锥、台、球的结构特征
二．斜二测画法：
① 原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；
②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。

2 空间几何体的外表积与体积 一．体积公式：
柱体：h S V ⋅= 圆柱体：h r V ⋅=2π 圆锥体：h r V ⋅=231π 锥体：h S V ⋅=31 球体：3
34
r V π=
圆台和棱台：
h
S S S S V •+'+'=
)(3
1
，其中S '和S 分别为上、下底面积，h 为高
二．侧面积： 圆柱侧面积：rl S π2= 圆柱外表积)(2l r r S +⋅=π
圆锥侧面积：rl S π=
圆锥外表积)(l r r S +=π
圆台侧面积l r r S )(+'=π 圆台外表积
)(22rl l r r r S +'++'=π 球的外表积：2
4r S π=
三．几个基本公式：
弧长公式：r l ⋅=α〔α是圆心角的弧度数，α>0〕；
扇形面积公式：r
l S ⋅=21
ch S =直棱柱侧面积
'2
1ch S =
正棱锥侧面积 ')(2
1
21h c c S +=
正棱台侧面积 3 直线、平面平行的判定和性质 一．直线与平面平行 1．判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

〔线面平行→线线平行〕 ① 直线a 在平面α外②直线b 在平面α内③两直线a 、b 平行b a b a ∥α，α，⊂⊄ 2．性质定理
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行〔线面平行→线线平行〕 b a b a a ∥，则ββ，αα，∥=⋂⊂ 二．平面与平面平行 1．判定定理
判定定理1：如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行〔线面平行→面面平行〕
β∥αβ∥β∥α
α⇒=⋂⊂⊂b a P b a b a
判定定理2：如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 β
∥αβα
⇒⊥⊥l l
判定定理3：平行于同一个平面的两个平面平行 γ
∥αγ∥ββ
∥α⇒ 2．性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行〔面面平行→线线平行〕
b a b a ∥β∥γα∥γβ
∥α⇒==
三．证明方法
1．证明直线与直线的平行的思考途径
〔1〕转化为判定共面二直线无交点； 〔2〕转化为二直线同与第三条直线平行； 〔3〕转化为线面平行； 〔4〕转化为线面垂直； 〔5〕转化为面面平行.
2．证明直线与平面的平行的思考途径
〔1〕转化为直线与平面无公共点； 〔2〕转化为线线平行； 〔3〕转化为面面平行.
3．证明平面与平面平行的思考途径
〔1〕转化为判定二平面无公共点； 〔2〕转化为线面平行； 〔3〕转化为线面垂直. 4直线、平面垂直的判定和性质 一．直线与平面垂直 1．判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
αα
α
⊥⇒⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l B n m n m
2.性质定理
性质定理1：垂直于同一个平面的两条直线平行 b a b a ∥βα
⇒⊥⊥
性质定理2
如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
〔1〕转化为相交垂直；
〔2〕转化为线面垂直；
〔3〕转化为线与另一线的射影垂直；
〔4〕转化为线与形成射影的斜线垂直.
2．证明直线与平面垂直的思考途径
〔1〕转化为该直线与平面内任一直线垂直；
〔2〕转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
〔3〕转化为该直线与平面的一条垂线平行；
〔4〕转化为该直线垂直于另一个平行平面；
〔5〕转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
3．证明平面与平面的垂直的思考途径
〔1〕转化为判断二面角是直二面角；
〔2〕转化为线面垂直.
平面向量
1 平面向量与平面向量的线性运算
一．向量的基本概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用一条有向线段来表示．
2．向量的长度：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度〔也称为AB 的模〕，记作||AB ．
3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的． 4．单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量．
5．平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量，也叫做共线向量，假设向量a 、b 平行，记作//a b ．0与任一向量平行。

6．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． 二．向量的加、减的法则
1．两个向量的和：已知向量a 、b ，平移向量b ，使b 的起点与a 的终点重合，那么以a 的起点为起点，b 的终点为终点的向量叫做向量a 与向量b 的和．求两个向量和的运算叫做向量的加法．
2．向量加法的三角形法则：根据向量和的定义，以第一个向量a 的终点A 为起点作第二个向量b ，则以a 的起点O 为起点，以b 的终点B 为终点的向量OB 就是a 与b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的三角形法则．
3．向量加法的平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线AC 就是a b +，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 4．向量加法运算律：
⑴ 交换律：a b b a +=+ ⑵ 结合律：
()()a b c a b c ++=++
5．相反向量：与向量a 方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作a -．
规定：零向量的相反向量仍是零向量． 性质：⑴
()a a --= ⑵()0a a +-=
6．两个向量的差：a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，即：
()a b a b -=+-
法则：如下图，已知向量a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，则BA a b =-，即a b -表示从向量b
的终点指向a 的终点的向量． 三．实数与向量的积
1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下： ⑴
||||||a a λλ=⋅
⑵当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同； 当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反
2．实数与向量的积所满足的运算律：设λ、μ为实数，那么： ⑴()()a a λμλμ⋅=⋅；
⑵()a a a λμλμ+⋅=⋅+⋅
⑶
()a b a b λλλ⋅+=⋅+⋅
2平面向量的基本定理及坐标运算 一．平面向量基本定理： 如果
1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使
1122a e e λλ=+．
二．平面向量的坐标：
1．概念：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j
作为基底，对于一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得
a x i y j =⋅+⋅，则称(,)x y 为向量a 的坐标，记做(,)a x y =．
2．平面向量的坐标运算： 设
11(,)a x y =，22(,)b x y =，R λ∈，则： ⑴ 1212(,)a b x x y y +=++； ⑵ 1212(,)a b x x y y -=--；
⑶
11(,)a x y λλλ=．
假设点
11(,)
A x y ，
22(,)
B x y ，则
2121(,)AB x x y y =--．
3.向量平行〔共线〕的坐标表示 1．向量
11(,)a x y =与22(,)b x y =共线的充要条件是21120x y x y -=．
2．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=． 3平面向量的数量积及运算律 1．两个向量的夹角：
已知两个非零向量，作OA a =，OB b =，则AOB θ∠=〔0180θ≤≤〕叫做向量a 与b 的夹角．
当0θ=时，a 与b 同向；当180θ=时，a 与b 反向，如果a 与b 的夹角是90时，则称a 与b 垂直，记作a b ⊥． 2．两个向量的数量积：
已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量
||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积，记作a b ⋅，即：
||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即00a ⋅=． 3．向量数量积的几何意义：
||cos b θ⋅叫做向量b 在a 方向上的投影，其中当θ为锐角时，它是正值，当θ为钝角时，它是负值，当90
θ=时，它是0，当0θ=时，它是||b -．
a b ⋅的几何意义是：数量积a b ⋅等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ⋅的乘积．
4．向量数量积的性质：
设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则： ⑴
||cos e a a e a θ⋅=⋅=〔e 是与b 方向相同的单位向量〕
⑵a b ⊥⇔0a b ⋅= ⑶ 当a 与b 同向时，
||||a b a b ⋅=⋅； 当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-⋅；
特殊的，2
||a a a ⋅=，或者2||()a a =
⑷cos ||||a b
a b θ⋅=
⋅
⑸
||||||a b a b ⋅≤⋅
5．向量的数量积的运算律： ⑴a b b a ⋅=⋅； ⑵
()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅
⑶
()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅
6．向量数量积的坐标运算： ⑴ 设
11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+．
⑵ 假设向量
11(,)a x y =，22(,)b x y =垂直的充要条件是12120x x y y +=．
⑵ 假设(,)a x y =，则2||a x =+
⑶ 设
11(,)
A x y ，
22(
,)
B x y ，则
||AB =
三角函数
1三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式 一．角度与弧度制
1．弧度与角度的互化：180π=
2．终边相同角：与角α有相同终边的角的集合可以表示为：{|2,}k k Z ββαπ=+∈ 3．特殊角的集合： ⑴ 各个象限的角的集合
第一象限角：
{|22,}
2
k k k Z π
απαπ<<
+∈
第二象限角：
{|
22,}
2
k k k Z π
απαππ+<<+∈
第三象限角：3
{|22,}
2k k k Z αππαππ+<<+∈ 第四象限角：3
{|222,}
2k k k Z αππαππ+<<+∈
⑵ 角的终边在各个坐标轴上的角的集合 终边在x 轴的角：{|,}k k Z ααπ=⋅∈
终边在y 轴的角：
{|,}
2
k k Z π
ααπ=
+∈
终边在坐标轴上的角：
{|,}
2
k k Z π
αα=⋅
∈
终边在第一三象限角平分线上：
{|,}
4
k k Z π
ααπ=
+∈
终边在第二四象限角平分线上：3
{|,}
4k k Z ααππ=+∈
4．弧长公式和扇形面积公式
设扇形的半径为r ，圆心角为α，则弧长l =||r α⋅，扇形的面积S =2
11
||22l r r α⋅⋅=⋅⋅
二．任意角三角函数的定义：
1．定义：以角α顶点为原点O ，始边为x 轴的非负半轴建立直角坐标系。

在角α的终边上任取不同于原点O 的一
则22
||PO r x y ==+，则角
点(,)P x y ，设P 点与原点O 的距离为r (0)r >，
α的六个三角函数依次为：
sin y r α=
，
cos x r α=， tan y
x α=
， ，
2．三角函数的定义域与值域：
定义域 值域
sin α
R [1,1]- cos α
R
[1,1]-
tan α
{|,}
2
k k Z π
ααπ≠
+∈
R
3．三角函数值的符号：
sin αcos αtan α
4．三角函数线
正弦线、余弦线
正切线
以角α的终边与单位圆的公共点P 作x 轴的垂线PM x ⊥轴，垂足为
M ，则
sin MP α= cos OM α=
过点(1,0)A 作x 轴的垂线交α的终边或终边的延长线于T 点，则：
tan AT α=
5．同角三角函数基本关系式：
商数关系：
sin tan cos ααα=
、cos cot sin α
αα=
平方关系：22
sin cos 1αα+=
6．三角函数的诱导公式：
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
()5sin cos 2π
αα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭．
()6sin cos 2π
αα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭．
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
7.诱导公式可简单的概括为：“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇变偶不变”的含义为：当k 为奇数时，
2
k π
α
⋅
±的三角函数值为α的余函数，当k 为偶数时，2k π
α
⋅±的三角函数值为α的原函数；“符号看象限”的含义为在α的
三角函数前加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号. 8．特殊角的值
α
6π
4π 3π 2π
sin α
21
22
23
1
2 三角恒等变换 一．基本公式：
sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=⋅+⋅ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=⋅-⋅
cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅-⋅ cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=
-⋅tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ--=
+⋅
sin 22sin cos ααα=⋅
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
22tan tan 21tan α
αα=
-
二．两角和与差的正切公式的变形：
tan tan tan()[1tan tan ]αβαβαβ+=+⋅-⋅ tan tan tan()[1tan tan ]αβαβαβ-=-⋅+⋅
三．二倍角与余弦的变形应用
1．升幂 21cos 22cos αα+=2
1cos 22sin αα-=
2．降幂
21cos 2sin 2αα-=
21cos 2cos 2α
α+=
四．二倍角与正弦的变形应用
21sin 2(sin cos )ααα+=+21sin 2(sin cos )ααα-=-
3 三角函数的图像及性质
一．正弦、余弦、正切函数的图像： 1．正弦函数sin y x =
2．余弦函数
cos y x =
2．正切函数
tan
y x
=
函数
名称
正弦函数
x
y sin
=
余弦函数
x
y cos
=
正切函数
tan
y x
=
定义域R R {|,}
2
k k Z
π
ααπ
≠+∈
值域[1,1]
-[1,1]
-R
最值
max
1
y=
min
1
y=-
2
π
-
π
2
min
，
2
π
π
2
max k
x
k
x=
+
=
max
1
y=
min
1
y=-
π
2
π
min
π，
2
max k
x
k
x+
=
=
最小正
周期
2π2ππ
奇偶性奇函数偶函数奇函数
二．三角函数图像的基本概念
函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是
ωπ
2=
T ，频率是
πω2=
f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)
(2Z k k x ∈+=+π
πϕω，但凡该图象与直线B
y =的交点都是该图象的对称中心。

三．三角函数的图象变换：
1．
sin sin y x y A x =−−−−→=振幅变换：将sin y x =图象上各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(1)A >或压缩(01)A <<为原来的A 倍得到．
2．sin sin y x y x ω=−−−−→=周期变换：将sin y x =图象上各点纵坐标保持不变，横坐标压缩(1)ω>或拉伸(01)
ω<<为原来的ω1
倍得到．
3．sin sin()y x y x ϕ=−−−−
→=+相位变换
：将sin y x =的图象向右(0)ϕ<或向左(0)ϕ>平移||ϕ个单位得到． 4．函数sin()y A x ωϕ=+(,0,1)A A ω>≠的图象可以看作是由函数sin y x =的图象分别经过下面的两种方法得到：
⑴sin sin()y x y x ϕ=−−−−
→=+相位变换
sin()y x ωϕ−−−−→=+周期变换
sin()y A x ωϕ−−−−→=+振幅变换
① 将sin y x =的图象向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平移||ϕ个单位，可得到函数sin()y x ϕ=+图象；
② 将得到图象点的纵坐标保持不变，横坐标压缩(1)ω>或拉伸(01)ω<<为原来的ω1
倍，得到函数
sin()y x ωϕ=+图象；
③ 将新图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(1)A >或压缩(01)A <<为原来的A 倍，可得函数
sin()y A x ωϕ=+图象．
⑵
sin sin y x y x ω=−−−−→=周期变换
sin ()sin()y x x ϕ
ωωϕω−−−−→=+
=+相位变换
sin()y A x ωϕ−−−−→=+振幅变换
① 将sin y x =图象点纵坐标保持不变，横坐标压缩(1)ω>或拉伸(01)ω<<为原来的ω1
倍，可以得到函数
sin y x ω=图象；
② 将得到的图象向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平移||
ϕω个单位就得到函数sin()y x ωϕ=+图象；
③ 将新的图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(1)A >或压缩(01)A <<为原来的A 倍，可得函数
sin()y A x ωϕ=+的图象．
〔老师推荐①振幅变化②周期变化③相位变化〕
四．形如sin()y A x ωϕ=+的函数图像的画法 —— 五点法，即根据x ωϕ+分别取0、2π、π、32π
、2π时对
应的x 与y 的值描点作出sin()y A x ωϕ=+的一个周期的图像．
4解三角形 一．正弦定理：
在一个三角形中，各边和他所对角的正弦的比都等于该三角形外接圆的直径，即sin sin sin 2A B C
R a b c ===
二．余弦定理：
三角形任意一边的平方等于其他两边的平方减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：
2222cos a b c bc A =+-⋅ 2222cos b a c ac B =+-⋅
2222cos c a b ab C =+-⋅
推论：222cos 2b c a A bc +-=；222
cos 2a c b B ac +-=；222cos 2a b c C ab +-=
三．相关结论：
在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
⑴ A B C π++=， A B C π+=-，
222A B C π+=-
⑵ sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-，tan()tan A B C +=-
sin
cos 22A B C +=，cos sin 22A B C +=，tan cot 22A B C
+=
⑶ 根据正弦定理：2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =
::sin :sin :sin a b c A B C =
⑷ 三角形面积公式：
① 三角形的面积等于三角形任意一边与对应边上的高的乘积的一半，即：
123111
222ABC S a h b h c h ∆=
⋅=⋅=⋅
② 三角形的面积等于三角形的任意两边与其夹角的正弦值乘积的一半，即：
111
sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B
∆===
5 三角函数的综合应用 三角方法求最值的常见函数 变正弦
sin cos )a x b x x ϕ+=+
2
2
cos b
a a +=
ϕ2
2
sin b
a b +=
ϕ
变余弦
)cos cos sin (sin 22ϕϕx x b a y ++= )cos(22ϕ-+=x b a y
导数及其应用
1导数的概念及运算 一．
)(x f 在0x 处的导数
00000()()()lim
lim
x x x x f x x f x y
f x y x x =∆→∆→+∆-∆''
===∆∆
二．函数)(x f y =在点0x
处的导数的几何意义
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)
(0x f '，相应的切线方程是
))((000x x x f y y -'=-.
三．
几种常见函数的导数 (1)0='C 〔C 为常数〕. (2)
'1()()
n n x nx n Q -=∈.
(3)x x cos )(sin ='. (4)x x sin )(cos -='.
(5)
x x 1)(ln =
'；e
a x x a log 1)(log ='.
(6) x x e e =')(;
a a a x
x ln )(='. 四． 导数的运算法则
〔1〕'''()u v u v ±=±. 〔2〕'''()uv u v uv =+.
〔3〕'''2
()(0)u u v uv v v v -=≠.
2.导数的应用 一．极值、最值的概念
1.极值 设函数()y f x =在区间(,)a b 内有定义,0x 是区间(,)a b 内的一个点,如果对于点0x
附近的任意点
x 0()x x ≠,0()()f x f x <都成立,则称0()f x 是函数()y f x =的一个极大值；如果对于点0x 附近的任意点x 0()x x ≠,0()()f x f x >都成立,则称0()f x 是函数()y f x =的一个极小值。

极大值和极小值统称为极值。

使函数
取得极值的点统称极值点
2.最值 函数()y f x =在区间
[],a b 内取得的最大的函数值叫做函数的最大值；函数()y f x =在[],a b 区间内
取得的最小的函数值叫做函数的最小值。

最大值和最小值统称为最值。

二．用导数求多项式函数的单调区间、极值及闭区间上的最值
1. 多项式函数()y f x =单调性的判别法
(1) 如果在(,)a b 内()0f x '>，则函数()y f x =在(,)a b 内单调增加，此时的(,)a b 叫做单调增区间；
(2) 如果在(,)a b 内()0f x '<，则函数()y f x =在(,)a b 内单调减加，时的(,)a b 叫做单调减区间。

2. 多项式函数()y f x =极值的判别法 设
0()0
f x '=〔假设
0()0f x '=，则点0x
叫做函数()f x 的驻点〕
(1) 如果0x x <时，()0f x '>；0x x >时，()0f x '<，则函数()y f x =在0x 处取得极大值。

图()a (2) 如果0x x <时，()0f x '<；0x x >时，()0f x '>，则函数()y f x =在0x 处取得极小值。

图()b
(3) 如果
0x 的两侧，
()f x '具有相同的符号，则函数
()y f x =在
x 处不取得极值。

图
()c
3. 求多项式函数()y f x =的单调性区间、极值的步骤：
(1) 求y '
；
(2) 令0y '=，求出驻点0x ；
(3) 分析各驻点是不是极值点，是极大值点还是极小值点；
(4) 极大值点左侧紧邻单调增区间，右侧紧邻单调减区间；极小值点左侧紧邻单调减区间，右侧紧邻单调增区间；
(5) 将各极值点代入()y f x =即可得各个极值。

数列
1.数列的概念及其表示 一．数列的概念
1. 数列：按照一定顺序排列着的一列数．
2. 数列的项：数列中的每一个数．
3. 有穷数列：项数有限的数列．
4. 无穷数列：项数无限的数列．
5. 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
6. 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
7. 常数列：各项相等的数列．
8. 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 二．数列的表示
)0
>6.3
图
1. 数列的通项公式：表示数列
{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．
2. 数列的递推公式：表示任一项
n
a 与它的前一项
1
n a -〔或前几项〕间的关系的公式．
3. 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称
为等差数列的公差． 4. 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．假设
2a c
b +=
，
则称b 为a 与c 的等差中项． 5. 数列的前n 项和：
1231n n n
S a a a a a -=+++⋅⋅⋅++
6. n S 与n a 的关系：
1
112n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩ 2.等差数列及其前n 项和 一．等差数列的概念
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

二．等差数列的判定方法
1． 定义法：对于数列{}n a ，假设d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。

2．等差中项：对于数列{}n a ，假设2
12+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

三．等差数列的通项公式 如果等差数列
{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d
n a a n
)1(1-+=。

假设已知
m
a 、d ，则
()n m a a n m d
=+-
[说明]该公式整理后是关于n 的一次函数。

四．等差数列的前n 项和
1．
2)(1n n a a n S +=
2.d
n n na S n 2)
1(1-+=
[说明]对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。

五．等差中项
如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

即：
2b
a A +=
或b a A +=2
[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项〔有穷等差数列的末项除外〕都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

六．等差数列的性质
1．等差数列任意两项间的关系：如果
n
a 是等差数列的第n 项，
m
a 是等差数列的第m 项，公差为d ，则有
d
m n a a m n )(-+=
对于等差数列{}n a ，假设q p m n +=+，则q
p m
n a a a a +=+。

假设某几项的项数成等差数列，则对应的项也成
等差数列，
即：假设假设2m n k +=，则2m n k
a a a +=．
2．。