2003年河南省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

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2003年河南省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题
选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。

1.函数y=(x-1)的定义域是( )
A.(1,+∞)
B.(2,+∞)
C.[2,+∞)
D.空集
正确答案:C
解析:因ln(x-1)≥0,得x-1≥1,即x≥2.
2.函数y=1-arctanx是( )
A.单调增加且有界函数
B.单调减少且有界函数
C.奇函数
D.偶函数
正确答案:B
解析:因y’=<0,所以函数单调减少,且有界
3.下列等式成立的是
( )
A.
B.
C.
D.
正确答案:C
解析:根据两个重要极限,很显然C正确.
4.当x→0时,无穷小量1-cosx2是比x4的( )
A.等价无穷小
B.同阶无穷小
C.较高阶无穷小
D.较低阶无穷小
正确答案:B
解析:因x→0时,所以1-cosx2是比x4的同阶无穷小.
5.x=0是函数f(x)=-1的( )
A.连续点
B.可去间断点
C.跳跃间断点
D.第二类间断点
正确答案:D
解析:因为=+∞,所以x=0为第二类间断点.
6.下列方程在[0,1]上有实根的是( )
A.sinx+x-=0
B.x2+3x+1=0
C.arcsinx+3=0
D.x-sinx+=0
正确答案:A
解析:对于A,函数f(x):sinx+x-满足在区间[0,1]上连续,且f(0)=<0,f(1)=sinl+>0,所以选A.
7.若f(x)在点x0处不连续,则f(x)在点x0处( )
A.必定不可导
B.一定可导
C.可能可导
D.极限一定不存在
正确答案:A
解析:因连续为可导的必要条件,故f(x)在x0处不连续,则f(x)在x0处必不可导.
8.曲线y=( )
A.有水平渐近线,无垂直渐近线
B.无水平渐近线,有垂直渐近线
C.无水平渐近线,也无垂直渐近线
D.有水平渐近线,也有垂直渐近线
正确答案:B
解析:因=∞,所以有垂直渐近线x=1;因=∞,所以无水平渐近线.
9.已知f(x)=0,f’(0)=1,则( )
A.2
B.1
C.0
D.∞
正确答案:B
解析:
10.若y=sine-x,则有( )
A.dy=cose-xdx
B.dy=e-xsine-xdx
C.dy=-e-xcose-xdx
D.dy=e-xcose-xdx
正确答案:C
解析:dy=(-1)cose-x.e-xdx.
11.设( )
A.
B.2t
C.1
D.t
正确答案:A
解析:
12.若f(x)在(a,b)内二阶可导,且f’(x)>0,f’’(x)<0,则f(x)在(a,b)内( )
A.单调增加且是凸的
B.单调增加且是凹的
C.单调减少且是凸的
D.单调减少且是凹的
正确答案:A
解析:因f’(x)>0,且f’’(x)<0,故曲线为单调增加且为凸的.
13.已知f(x)在[0,+∞)上可导,且f’(x)<0,f(0)>0,则方程f(x)=0在[0,+∞)上( )
A.有唯一根
B.至少存在一个根
C.不能确定有根
D.没有根
正确答案:C
解析:题目所给条件无法判断是否有实根.
14.函数f(x)=x-的极值点的个数是( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
正确答案:C
解析:y’=,x=1是驻点,x=0是不可导点,根据判断极值的第一充分条件,x=1,x=0都是极值点.
15.下列函数中,在[1,e]上满足拉格朗日中值足理条件的是( ) A.y=lnlnx
B.y=lnx
C.y=
D.y=|x-2|
正确答案:B
解析:因为y=lnx在[1,e]上连续,在(1,e)内可导,所以满足拉格朗日定理.
16.若f(x)的一个原函数为ln2x,则f’(x)= ( )
A.2xln2x
B.ln2x
C.
D.
正确答案:D
解析:因f(x)=(ln2x)’=,所以f’(x)=
17.dx =
( )
A.
B.
C.
D.
正确答案:B
解析:因为
18.设函数ψ(x)=,则ψ’(x)= ( )
A.xe
B.-xe
C.
D.
正确答案:C
解析:φ’(x)=2x.
19.下列广义积分收敛的是
( )
A.
B.
C.
D.
正确答案:D
解析:对于,当n>1时,广义积分收敛;当n≤1时,广义积分发散,故收敛.
20.直线与平面x+2y-z+3=0的位置关系是( )
A.互相垂直
B.互相平行但直线不在平面上
C.直线在平面上
D.斜交
正确答案:C
解析:因为直线的方向向量和平面的法向量满足{1,2,-}.{3,-1,1}=1×3+2×(-1)+(-1)×1=0,所以这两个向量垂直,那么对应的直线与平面平行,又因为直线上的点(1,-1,2)在平面上,所以直线在平面上.
21.方程x=确定二元隐函数z=f(x,y),则= ( )
A.1
B.ex
C.yex
D.y
正确答案:C
解析:由x=得,z=yex,所以=yex
22.设z=x3-3x-y,则它在点(1,0)处( )
A.取得极大值
B.无极值
C.取得极小值
D.无法判定是否有极值
正确答案:B
解析:因=-1,所以(1,0)不是驻点,函数不会存在极值.23.设D={(x,y)|1≤x2+y2≤4},则dxdy=
( )
A.
B.
C.
D.
正确答案:C
解析:因为区域D:{(x,y)|≤x2+y2≤4},则可另表示为D:{(r,θ)|0≤θ<2π,1≤r≤2},所以原二重积分可化为
24.设D由直线x+y=1,x=0,y=0所围成,则dxdy= ( )
A.1
B.2e
C.e-1
D.2e-1
正确答案:A
解析:
25.设D={(x,y),)|(x-1)2+y2≤1},则dxdy= ( )
A.3π
B.4π
C.π
D.π2
正确答案:C
解析:dxdy即为圆(x-1)2+y2=1的面积,dxdy=π
26.设L为从点(1,1)到点(0,0)的直线段,则∫L(x2-y2)dx+xydy= ( )
A.
B.3
C.0
D.
正确答案:D
解析:∫L(x2-y2)dx+xydy=
27.正项级数满足下列哪一个条件时必定收敛
( )
A.
B.
C.
D.
正确答案:C
解析:由正项级数敛散性比值判别法,当<1时,收敛,由选项C:
28.的收敛性为( )
A.发散
B.条件收敛
C.绝对收敛
D.无法确定
正确答案:B
解析:因为级数为交错级数,且满足莱布尼兹条件,所以收敛,
又因为加绝对值后所成的级数发散,故该级数为条件收敛
29.下列微分方程中,通解为y=(C1+C2x)e-3x的二阶常系数齐次线性微分方程是( )
A.y’’-6y’+9y=0
B.y’’+6y’+9y=0
C.y’’+6y’+9y:1
D.y’’+6y’=0
正确答案:B
解析:因特征根r=-3为重根,所以对应的微分方程为y’’+6y’+9y=0.
30.微分方程ylnxdx=xlnydy满足y|x=1=1的特解是( )
A.In2+In2y=0
B.In2x+In2y=1
C.In2x=In2y
D.ln2x=In2y+1
正确答案:C
解析:变量分离得+C,因当x=1时,y=1,所以C=0
填空题
31.设f(x)=arctanc,g(x)=sin,则g[f(x-1)]=_______
正确答案:
解析:f(-1)=,所以g[f(-1)]=g
32.函数f(x)=1-ln(2x+1)的反函数f-1(x)=____
正确答案:y=(e1-x-1),x∈R.
解析:因ln(2x+1)=1-y,所以x=(e1-y-1),所以f-1(x)=(e1-x-1),x∈R
33.[ln(1+x)-lnx]=________
正确答案:1
解析:原式=
34.若f(x)=,在x=0处连续,则a=_______ 正确答案:
解析:
35.已知y=sinx,则y(10)=______
正确答案:-sinx
解析:由(sinx)(n)=sin(x+n.)知,y(10)=sin(x+)=-sinx
36.设x2y-e2x=siny,则=_________
正确答案:
解析:方程两端分别对x求导,得2xy+x2y’-2e2x=cosy.y’所以y’= 37.设y=f(lntanx),且f(x)可微,则=______
正确答案:f’(lntanx)
解析:=f’(lntanx)(lntanx)’=f’(lntanx)(tanx)’=f’(Ilntanx)
38.曲线y在点(1,1)处的切线方程为_______
正确答案:x+y-2=0
解析:因y’=,所以y’|x=1=-1,所求切线方程为:y-1=-(x-1),即x+y-2=0 39.函数f(x)=x-ln(1+x2)在[-1,2]上的最大值为________
正确答案:2-ln5
解析:因y’=1-≥0,所以函数y为单调增加,在区间[-l,2]上的最大值为f(2)=2-ln5.
40.曲线y=6x2-x3的拐点为________
正确答案:(2,16)
解析:因y’=12x-3x2,y’’=12-6x,令y’’=0,得x=2,当x2时,y’’=________
正确答案:0
解析:奇函数在对称区间上的定积分为0.
42.由向量a=(2,2,1),b=(4,5,3)为邻边构成的平行四边形面积为_________ 正确答案:3
解析:因a×b=={1,-2,2},所以|a×b|=3.
43.设z=ln(x2+y2),则=________
正确答案:dx+dy
解析:因dz=,则dz|(1,1)=+dy.
44.若I=dy,则交换积分顺序后I=_______
正确答案:
解析:由题意可知积分区域D可表示为{(x,y)|1≤x≤e,0≤y≤lnx},转化为先对x后对y的积分,则积分区域D表示为{(x,y)1 0≤y≤1,ey≤x≤e},于
是I=
45.微分方程y”=24x的通解为_______
正确答案:y=x4+c1x2+c2x+c3(其中c1,c2,c3为常数)
解析:y’’=12x2+c1,y’=4x3+c1x+c2,y=x4+c1x2+c2x+c3
解答题解答时应写出推理、演算步骤。

46.求极限
正确答案:原式=
47.求函数y=的导数
正确答案:lny=x[lnx-ln(1+x)] 则
48.计算
正确答案:令x=tant,则dx=原式=
49.计算
正确答案:原式=
50.设z=f(),且z=f(u,v)可微,求
正确答案:
51.计算,其中D是由y=x,y2=x所围成的区域
正确答案:如第51题图所示,区域D可表示为D={(x,y)|0≤y≤1,y2≤x≤y}.原式
==1-cos1
52.将函数f(x)=展开为(x-1)的幂级数,并写出其收敛域.
正确答案:f(x)=
收敛区域为:-1<x<3.
53.求微分方程=x的通解.
正确答案:原方程变形为:应用变量可分离的方法,得
=-2xdx.两边积分,得y=令y=C(x),并代人原方程,整
理得C’(x)=x 两边积分,得C(x)=+C 所以y=
综合题
54.某工厂生产两种产品甲和乙,出售单价分别为10元和9元,生产甲产品戈件与生产乙产品y件的总费用是400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)元,问两种产品的产量各为多少件时,能够取得最大利润?
正确答案:令总利润为L(x,y),则总利润L(x,
y)=(10x+9y)-[400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)].得(120,80)为驻点.又因为Lxx=-0.06=A,Lxy=-0.01=B,Lyy=-0.06=C,B2-AC <0,且A,直线y=x-2及x轴所围成.
55.求此平面图形的面积;
正确答案:平面图形D如第55题图中阴影部分所示.
由,得交点坐标为(4,2) 所求面积S=(平方单位).
56.求此平面图形绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积.
正确答案:绕x轴旋转一周而成的旋转体体积VX=(立方单位).
证明题
57.证明:当0<x<时,cosx<
正确答案:设F(X)=+1-cosX,X∈(0,
).F’(X)=-x+sinx,f’’(x)=x-1+cosx,f’’’(x)=1-sinx>0,所以f’’(x)单调增加,说明f’’(x)>f’’(0)=0,所以f’(x)单调增加,说明f’(x)>f’(0)=0,所以f(x)单调增
加,说明f(x)>f(0)=0,即+1-cosx>0,故当0<x<时,cosx<。

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