《均值不等式》学案

3．2 均值不等式学案
【预习达标】
⒈正数a、b的算术平均数为；几何平均数为．
⒉均值不等式是。

其中前者是，后者是．如何给出几何解释？
⒊在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外等号成立的条件是．
⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）
（1）a2+b2 ( ) （2）（）
（3）＋（）（4）x＋ (x>0)
（5）x＋ (x<0) （6）ab≤（）
⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b或ab是否为值，并且还需要注意等号是否成立．
6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；．
⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；
⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是；此时x的值为___________________；
⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是；此时x的值为___________________。

【典例解析】
例⒈已知a、b、c∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证 ++≥9．
例⒉（1）已知x<，求函数y=4x－2+的最大值．
（2）已知x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值。

（3）已知a、b为常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。

【达标练习】
一．选择题：
⒈下列命题正确的是（）
Ａ．a2+1>2a Ｂ．│x+│≥2 Ｃ．≤2 Ｄ．sinx+最小值为4．
⒉以下各命题(1)x2+的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+）(b+)
的最小值是4，其中正确的个数是（）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（）
Ａ．＋≥2 Ｂ．a2+b2≥2ab
Ｃ．＋≥a＋b Ｄ．2+
⒋设a、bR＋，若a+b=2，则的最小值等于（）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
⒌已知ab>0，下列不等式错误的是（）
Ａ．a2+b2≥2ab Ｂ．Ｃ．Ｄ．
二．填空题：
⒍若a、b为正数且a+b=4，则ab的最大值是________．
⒎已知x>1.5，则函数y＝2x+的最小值是_________．
⒏已知a、b为常数且0<x<1，则的最小值是_________________________．
三．解答题：
⒐（1）设a=，b=，c=且x≠0，试判断a、b、c的大小。

（2）设c<b<a，设判断与的大小。

⒑在△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，一条直线分△ABC的面积为相等的两个部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长。

参考答案：
【预习达标】
1．；
2．≥；算术平均数；几何平均数；圆中的相交弦定理的推论（略）。

3．a，b∈R＋；a=b
4．⑴≥2ab（a,b∈R）⑵≥( a，b∈R＋)⑶≥2（a、b同号）或≤－2（a、b异号）
⑷≥2⑸≤－2⑹≤（）2（a,b∈R）；
5．定。

6．⑴1，1；⑵2，1；⑶，；⑷－1，－1。

【典例解析】
例1．解析：原式＝（ ++）（a+b+c）＝3＋（）＋（）＋（）≥3＋2＋2＋2＝9当且仅当a=b=c=时取等号。

例⒉解析：
（1）∵x< ∴4x-5<0 ∴y=4x－2+=(4x-5)++3≤－2＋3＝1当且仅当4x-5＝时即4x-5＝－1，x＝1时等号成立，∴当x＝1时，取最大值是1
（2）解法一、原式＝（x＋y）（）＝+10≥6＋10＝16当且仅当＝时等号成立，又＝1∴x=4,y=12时，取得最小值16。

解法二、由＝1得（x-1）(y-9)=9为定值，又依题意可知x>1，y>9∴当且仅当x-1=y-9=3时即x=4，y=12时，取最小值16。

（3）解法一、转化为二次函数求最值问题（略）
解法二、∵≥（∴y=(x-a)2+(x-b)2＝y=(x-a)2+(b-x)2≥2[]2＝，当且仅当x-a=b-x即x=时，等号成立。

∴当x=时取得最小值。

【双基达标】
一、1．B解析：A中当a=1时不成立；C需要分a、b同号还是异号D中等号成立的条件是sinx=2。

这是不可能的。

实际上│x+│＝│x│＋││≥2
2．C解析：（1）（2）正确，（3）不正确，实际上（a+）(b+)＝（a+b）+2+()≥1＋2＋2＝5，当且仅当a=b=时等号成立。

3．D解析：A、B显然正确；C中+a≥2b，+b≥2a，∴＋≥a＋b ；D中a=b=2时就不成立。

4．B解析：原式＝（）＝（2＋）≥2
5．C解析：C、D必然有一个是错误的，实际上几何平均数≥调和平均数＝
二、6．4解析：∵ab≤＝4
7．7解析：y＝2x+＝y＝（2x－3）+＋3≥7
8．解析：原式＝（）[x+(1-x)]=a2+b2++≥a2+b2+2ab=。

三、9．解析：（1）a=为算术平均数，b=＝为几何平均数，c=＝为平方平均数。

∵x≠0∴∴
c>a>b。

（2）＝≥
10．解析：设直线为EF，交BC于E，交AB于F，设BF＝x，BE＝y则S△BEF＝＝＝3∴xy=10∴EF2＝x2+y2-2xycosB= x2+y2-=4，当且仅当时等号成立，此时EF＝2。