高一数学二倍角的正弦、余弦、正切3

课 题：47二倍角的正弦、余弦、正切（3）
教学目的：
要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力 教学重点：二倍角公式的应用
教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式
授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入： 二倍角公式:
αααcos sin 22sin =；)(2αS ααα22sin cos 2cos -=；)(2αC α
α
α2tan 1tan 22tan -=
；)(2αT
1cos 22cos 2-=αα
αα2sin 212cos -=)(2
αC ' 2
2cos 1sin ,2
2cos 1cos 22α
-=
αα+=
α 二、讲解新课：
1．积化和差公式的推导
sin(α + β) + sin(α - β) = 2sin αcos β
⇒ sin αcos β =2
1[sin(α + β) + sin(α - β)] sin(α + β) - sin(α - β) = 2cos αsin β ⇒ cos αsin β =2
1[sin(α + β) - sin(α - β)] cos(α + β) + cos(α - β) = 2cos αcos β ⇒ cos αcos β =21[cos(α + β) + cos(α - β)] cos(α + β) - cos(α - β) = - 2sin αsin β ⇒ sin αsin β = -21[cos(α + β) - cos(α - β)] 2．和差化积公式的推导
若令α + β = θ，α - β = φ，则2φ+θ=
α，2
φ
-θ=β 代入得： )sin (sin 2
1)]22sin()22[sin(212cos 2sin φ+θ=φ-θ-φ+θ+φ-θ+φ+θ=φ-θφ+θ
∴2cos 2sin 2sin sin φ
-θφ+θ=φ+θ 2sin 2cos 2sin sin φ
-θφ+θ=φ-θ 2cos 2cos 2cos cos φ
-θφ+θ=φ+θ 2
sin 2sin 2cos cos φ
-θφ+θ-=φ-θ 3．半角公式
α
+α
-±
=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin
α
α-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan
证：1︒在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2
α
代α 即得：
2sin 21cos 2α-=α ∴2
cos 12sin 2α
-=α
2︒在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2
α
代α 即得：
12
cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α
+=α
3︒以上结果相除得：α+α-=
αcos 1cos 12tan 2
4︒
2tan 2cos
2sin
2
cos
2
sin
2)
2sin 21(1sin cos 12ααα
α
α
α
α
α
==
--=
- 2
tan 2
cos
2sin
12cos 212cos
2
sin
2cos 1sin 2ααα
ααα
α
α
==-+=
+ 4．万能公式
2
tan 12tan
2tan ,2
tan 12tan 1cos ,2
tan 12tan
2sin 2
2
22
α
α
αα
ααα
α
α-=+-=
+=
证：1︒2tan 12tan
22cos 2sin 2cos 2sin
21
sin sin 2
22α+α=α+ααα=
α=α 2︒2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1
cos cos 2
2
2222α+α-=α+αα-α=
α=α 3︒2
tan 12tan
22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2
22α-α=α-ααα=
α
α=α 三、讲解范例：
例1已知
5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ
+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值 解：∵
5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ
+θ ∴cos θ ≠ 0 (否则 2 = - 5 ) ∴
53
tan 1
tan 2-=-θ+θ 解之得：tan θ = 2 ∴原式57
2122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(32
22222=+⨯⨯++-=θ+θ⨯+θ+θ-=
例2已知π<α<π
2，0<β<π-，tan α =31-，tan β =7
1-，求2α + β 解：43tan 1tan 22tan 2
-=α-α=
α ∴1tan 2tan 1tan 2tan )2tan(-=β
α-β
+α=β+α
又∵tan2α < 0，tan β < 0 ∴
π<α<π2223，02
<β<π
- ∴π<β+α<π22 ∴2α + β = 4
7π
例3已知sin α - cos α = 21，π<α<π2，求2
tan α
和tan α的值
解：∵sin α - cos α = 2
1 ∴
212
tan 12tan 12tan 12tan 22
2
2=α+α--α+α 化简得：032
tan 42tan 2=-α
+α
∴722
12
1642tan ±-=+±-=
α ∵π<α<π2 ∴π<α<π22
∴02
tan <α
即722
tan
--=α
374725727410724)72(1)72(22
tan
12tan
2tan 2
2-=++=----=-----=α-α=α 例4已知cos α - cos β = 21，sin α - sin β = 3
1
-，求sin(α + β)
的值
解：∵cos α - cos β = 21，∴21
2sin 2sin
2=β-αβ+α- ①
sin α - sin β =31-，∴3
1
2sin 2cos
2-=β-αβ+α- ② ∵02sin ≠β-α ∴232tan -=β+α- ∴2
3
2tan =β+α ∴13
124
912322tan 12tan 2)sin(2=+
⨯
=β+α+β+α=β+α 例5求证：sin3αsin 3α + cos3αcos 3α = cos 32α 证：左边 = (sin3αsin α)sin 2α + (cos3αcos α)cos 2α
= -2
1
(cos4α - cos2α)sin 2α + 2
1(cos4α + cos2α)cos 2α
= -
21cos4αsin 2α +21cos2αsin 2α +2
1cos4αcos 2α +2
1cos2αcos 2α
= 21cos4αcos2α + 21cos2α = 21cos2α(cos4α + 1)
= 2
1
cos2α2cos 22α = cos 32α = 右边
∴原式得证 四、课堂练习：
1已知α、β为锐角，且3sin 2α＋2sin 2β＝1，3sin2α－2sin2
β＝0
求证：α＋2β＝
2
π
证法1：由已知得3sin 2α＝cos2β
3sin2α＝2sin2β
②
①÷②得tan α＝)22tan()
22
cos()
22sin(2sin 2cos βπβπβπ
ββ-=--=
∵α、
β
∴0＜β＜2
π，0＜2β＜π，－π＜－2β＜
∴－2π＜2π－2β＜2
π ∴α＝2
π－2β，α＋2β＝2
π 证法
2
3sin 2α＝cos2
β 3sin2α＝2sin2
β
∴cos （α＋2β）＝cos α·cos2β－sin α·sin2
β
＝cos α·3sin 2α－sin α·2
3sin2
α
＝3sin 2αcos α－sin α·3sin αcos α＝
又由α＋2β∈（0，2
3π
）
∴α＋2β＝
2
π
证法3：由已知可得⎪⎩
⎪⎨⎧==βαβ
α2sin 2sin 32cos sin 32
2
∴sin （α＋2β）＝sin αcos2β＋cos αsin2β ＝sin α·3sin 2α＋2
3cos α·sin2
α ＝3sin α（sin 2α＋cos 2α）＝3sin
α
又由②，得3sin α·cos α＝sin2β
③ ①2＋③2，得9sin 4α＋9sin 2αcos 2α＝
1
∴sin α＝3
1，即sin （α＋2β）＝
1
又0＜α＋2β＜2
3π ∴α＋2β＝2
π
评述：一般地，若所求角在（0，π）上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在（－2π，2
π)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切
2在△ABC 中，sin A 是cos （B ＋C ）与cos （B －C ）的等差中项，
试求(1)tan B ＋tan C 的值(2)证明tan B ＝（1＋tan C ）·cot （45
°＋C ）
(1)解：△ABC 中，sin A ＝sin （B ＋C ） ∴2sin （B ＋C ）＝cos （B ＋C ）＋
cos （B －C
∴2sin B cos C ＋2cos B sin C ＝
2cos B cos C
①
∵cos B cos C ≠0 ∴tan B ＋tan C ＝1
（2）证明：又由上：tan β＝1－tan C ＝（1＋tan C ）·C
C tan 1tan 1+-
＝（1＋tan C ）·tan （45°－C ）＝（1＋tan C ）·cot （45°＋C ）
3求值：
1
40cos 40cos 2)
40cos 21(40sin 2
-︒+︒︒+︒ 解：原式＝︒+︒︒
+︒=︒+︒︒︒+︒40cos 80cos 80sin 40sin 40cos 80cos 40cos 40sin 240sin
360tan 20cos 60cos 220cos 60sin 2=︒=︒
︒︒︒= 五、小结 通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积
公式（不要求记，半角公式和万能公式的方法，要知道它们的互化关系另外，要注意半角公式的推导与正确使用
六、课后作业： 1如果｜cos θ｜＝51，
25π＜θ＜3π,则sin 2
θ
的值等于( ) 5
15
D.
515C. 510B. 510A.--
2设5π＜θ＜6π且cos 2θ
＝a ,则sin 4
θ等于( )
2
1D. 21C. 21B. 21A.a
a a a --
+---+-
3已知tan76°≈4，则tan7°的值约为( )
15
8
D. 178C.
417B. 417A.+- 4tan
12π－cot 12
π
的值等于 5已知sin A ＋cos A ＝1，0＜Ａ＜π，则tan 6
A
＝
6已知tan α、tan β是方程7ｘ2－8ｘ＋1＝0的两根，则tan 2
β
α+＝
7设25sin 2ｘ＋sin ｘ－24＝0且ｘ是第二象限角，求2
8已知cos2θ＝
3
2
，求sin 4θ＋cos 4θ的值 9求证
.2
tan cos 1cos 2cos 12cos 4cos 14sin x
x x x x x x =+⋅+⋅+
参考答案：1C 2D 3A 4－23 52－3 6－2
2
1
7 3
4 81811 9 x x x x x x cos 1cos 2cos 12cos 4cos 14sin +⋅+⋅+x
x
x x x cos 1cos 2cos 12cos 2tan +⋅+⋅=
x x x x cos 1cos 2cos 12sin +⋅+=x x x cos 1cos tan +⋅=x x cos 1sin +=.2
tan x = 七、板书设计（略） 八、课后记：。