人教A版必修二第二章点、平面、直线之间的位置关系基础测试题

人教A 版必修二第二章点、平面、直线之间的位置关系基础测试题
一、单选题
1．设b .c 表示两条直线，α.β表示两个平面，则下列命题正确的是（ ）
A ．若//b α.c α⊂，则//b c
B ．若b α⊂.//b c ，则c α⊂
C ．若//c α，αβ⊥，则c β⊥
D ．若//c α，c β⊥，则αβ⊥
2．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线（ ）
A ．只和这个平面内的一条直线平行
B ．只和这个平面内的两相交直线不相交
C ．和这个平面内的任何一条直线都平行
D ．和这个平面内的任何一条直线都不相交
3．如图.AB 是圆的直径，PA AC ⊥，PA BC ⊥，C 是圆上一点(不同于A ，B )，且PA AC =，则二面角P BC A --的平面角为（ ）
A ．PAC ∠
B ．CPA ∠
C ．PCA ∠
D ．CAB ∠ 4．若异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且l α
β=，则直线l （ ）
A ．与直线,a b 都相交
B ．至少与,a b 中的一条相交
C ．至多与,a b 中的一条相交
D ．与,a b 中的一条相交，另一条平行 5．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）
A ．αγ⊥，βγ⊥
B ．m ，n 是两条异面直线，且//m β，βn//，//m α，//n α
C ．m ，n 是α内的两条直线，且//m β，βn//
D ．α内存在不共线的三点到β的距离相等
6．已知：空间四边形ABCD 如图所示，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且13CG BC =，13CH DC =，则直线FH 与直线EG （ ）
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．垂直
7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，体对角线1AC 与面对角线BD 的位置关系一定是（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．共面
8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为BC ，1BB 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）
A ．直线1AA
B ．直线11A B
C ．直线11A
D D ．直线11B C 9．平面α∥平面β，,a b αβ⊂⊂，则直线a 和b 的位置关系（ ）
A ．平行
B ．平行或异面
C ．平行或相交
D ．平行或相交或
异面
10．若1l 、2l 为异面直线，直线3l 与2l 平行，则1l 与3l 的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．异面
C ．平行
D ．异面或相交
11．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A ．若//m α，//n α，则 //m n ，
B ．若 //αβ，m α⊂，n β⊂，则 //m n
C ．若 m α⊥，m n ⊥，则 //n α
D ．若 m α⊥，//m n ，βn//，则 αβ⊥
12．如图所示的是平行四边形ABCD 所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD ；②平面BD ；③平面AD ；④平面ABC ；⑤AC ；⑥平面α.其中不正确的是（ ）
A ．④⑤
B ．③④⑤
C ．②③④⑤
D ．③⑤
二、填空题 13．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，异面直线AD 与1CB 所成的角为____________
14．在正方体1111D ABC A B C D -中，对角线1AC 与底面ABCD 所成角的正弦值为________；
15．有如下命题：
①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；
②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
③平行于同一条直线的两条直线平行；
④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
其中作为公理（基本事实）的是_____（填写序号）．
16．已知a ，b ，c 表示直线，α表示平面，给出下列命题：①若//a α，//b α，则a ∥b ；
②若b α⊂，a ∥b ，则a ∥α；③若a c ⊥，b c ⊥，则a b ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则a ∥b .
其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的编号）
三、解答题
17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111B C CC ⊥，点E ，F 分别是BC ，11A B 的中点，平面11AC CA ⊥平面11BCC B ．
（1）求证：111
B C AC ⊥； （2）求证：EF //平面11AC CA ．
18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别为棱11,AC A B 的中点，且AB BC =
（1）求证：平面BMN ⊥平面11ACC A ；
（2）求证：MN ∥平面11BCC B .
19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，点D 是AB 的中点.
（1）求证：1AC BC ⊥；
（2）若1CC BC =，求三棱锥1B BCD -的体积.
20．已知正方体1111ABCD A B C D -，
（1）证明：1//D A 平面1C BD ；
（2）求异面直线1D A 与BD 所成的角．
21．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点.
（1）求证：CD ⊥平面11ABB A ；
（2）已知13AA =，2AB =，求正三棱柱111ABC A B C -的侧面积.
22．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14AA =，P 为线段11B D 上一点．
（1）求证：AC BP ⊥；
（2）当P 为线段11B D 的中点时，求点A 到平面PBC 的距离．
参考答案
1．D
【分析】
利用线面平行的位置关系可判断A ；根据线面之间的位置关系可判断B 、C ；利用面面垂直的判定定理可判断D.
【详解】
A 错，∵线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面，
B 错，∵与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行，
C 错，∵两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；
D 对，∵线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直，
故选：D .
2．D
【分析】
由线面平行的性质逐项判断即可得解.
【详解】
若一条直线和一个平面平行，则该直线与平面内的无数条直线平行，故A 错误；
该直线与平面内的所有直线平行或者异面，故B 、C 错误，D 正确.
故选：D.
3．C
【分析】
由圆的性质知：AC BC ⊥，根据线面垂直的判定得到BC ⊥面PAC ，即BC PC ⊥，结合二面角定义可确定二面角P BC A --的平面角.
【详解】
∵C 是圆上一点(不同于A ，B )，AB 是圆的直径，
∴AC BC ⊥，PA BC ⊥，AC PA A ⋂=，即BC ⊥面PAC ，而PC ⊂面PAC ， ∴BC PC ⊥，又面ABC 面PBC BC =，PC AC C ⋂=，
∴由二面角的定义：PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.
故选：C
4．B
【分析】
利用空间中线线、线面、面面的位置关系，分析判断即可得答案.
【详解】
因为l αβ=，所以,l l αβ⊂⊂，
则l 与a 平行或相交，l 与b 平行或相交，
又,a b 为异面直线，所以l 不能与,a b 同时平行，即l 与,a b 可都相交，也可能与一条相交， 所以A 、C 、D 错误，
故选：B
5．B
【分析】
根据面面的位置关系和面面平行的判定定理逐一判断选项即可.
【详解】
对于A 选项：若αγ⊥，βγ⊥，则平面α与β平行或相交，故A 不正确；
对于B 选项： 在直线n .上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m'，所以m'与n 是两条相交直线，
所以'm β⊂，n β⊂，且'//,//m n βα，根据面面平行的判定定理可得//αβ，所以B 正确. 对于C 选项：若m ，n 是α内的两条直线，且//m β，βn//，则根据面面平行的判定定理可得，平面α与β平行或相交，所以C 不正确.
对于D 选项：若α内不共线的三点到的距离相等，则根据面面的位置关系可得：平面α与β平行或相交，故D 不正确.
故选：B.
6．B
【分析】
由已知EF 为三角形ABD 的中位线，从而//EF BD 且12
EF BD =，由11.33
CG BC CH DC ==，得在四边形EFHG 中，//EF HG ，即E ，F ，G ，H 四点共面，且EF HG ≠，由此能得出结论．
【详解】
如图所示，连接EF ,GH.
四边形ABCD 是空间四边形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，
EF ∴为三角形ABD 的中位线
//EF BD ∴且12EF BD =
又11.
33
CG BC CH DC ==， CHG CDB ∴∽，且//HG BD ，13
HG BD = ∴在四边形EFHG 中，//EF HG
即E ，F ，G ，H 四点共面，且EF HG ≠，
∴四边形EFGH 是梯形，
∴直线FH 与直线EG 相交，
故选：B
【点睛】
方法点睛：证明两直线相交，首先要证明两直线共面，再证明它们不平行.所以本题先证明E ，F ，G ，H 四点共面，再证明直线FH 与直线EG 不平行.
7．C
【分析】
根据异面直线的判定定理可得答案.
【详解】
因为BD ⊂平面ABCD ，1AC ⊄平面ABCD ，1A AC ∈，A BD ∉，
所以根据异面直线的判定定理可知1AC 与BD 为异面直线.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：利用异面直线的判定定判断是解题关键.属于基础题.
8．D
【分析】
根据异面直线的概念即可判断.
【详解】
根据异面直线的概念可看出直线1AA ，11A B ，11A D 都和直线EF 是异面直线， 而直线11B C 和直线EF 在同一平面11BB C C 内，且这两直线不平行，
∴直线11B C 与直线EF 相交.
故选：D.
9．B
【分析】
利用平面α∥平面β，可得平面α与平面β没有公共点，根据,a b αβ⊂⊂，可得直线a ，b 没有公共点，即可得到结论．
【详解】
∵平面//α平面β，∴平面α与平面β没有公共点
∵a α⊂，b β⊂，∴直线a ，b 没有公共点
∴直线a ，b 的位置关系是平行或异面，
故选：B .
10．D
【分析】
根据异面直线所成角判断.
【详解】
因为1l 、2l 为异面直线，
所以1l 、2l 所成的角为锐角或直角，
因为直线3l 与2l 平行，
所以1l 与3l 所成的角为锐角或直角，
所以1l 与3l 的位置关系是异面或相交，
故选：D
【分析】
利用线线、线面、面面之间的位置关系逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.
【详解】
对于选项A ：//m α，//n α，则,m n 可能相交、平行或异面，故选项A 不正确； 对于选项B ：//αβ，m α⊂，n β⊂，则,m n 可能平行或异面，故选项B 不正确； 对于选项C ：m α⊥，m n ⊥，则 //n α或n ⊂α，故选项C 不正确；
对于选项D ：若 m α⊥，//m n ，可得n α⊥，又因为βn//，所以αβ⊥，故选项D 正确.
故选：D
12．D
【分析】
根据平面的表示方法判断．
【详解】
③中AD 不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.
故选：D .
13．45︒
【分析】
利用平行关系，异面直线转化为相交直线所成的角.
【详解】
//AD BC ，∴异面直线AD 与1CB 所成的角为BC 与1B C 所成的角，即1BCB ∠， 1BCB △是等腰直角三角形，所以145BCB ∠=.
故答案为：45
14【分析】
由1CC ⊥平面ABCD ，得1C AC ∠是1AC 与底面ABCD 所成的角，由此能求出1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值．
1C C ⊥底面ABCD ，
1C AC ∴∠是1AC 与底面ABCD 所成的角，
设正方体1AC 的棱长为a ，
则1C C a =
，AC =
，1AC =，
111sin C C C AC AC ∴∠==．
【点睛】 本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意合理地化空间问题为平面问题．
15．①②③
【分析】
根据公理1~4可得出结论.
【详解】
公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理1；
公理2:过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理2；
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； 公理4:平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理4.
命题④为等角定理.
故答案为：①②③.
【点睛】
本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.
16．④
【分析】
利用线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理分析判断即可
解：对于①，当//a α，//b α时，直线a ，b 可以相交，也可能平行，也可能异面，所以①错误；
对于②，若b α⊂，a ∥b ，则直线a 有可能在平面α内，所以②错误；
对于③，若a c ⊥，b c ⊥，则直线a ，b 可以相交，也可能平行，也可能异面，所以③错误；
对于④，由线面垂直的性质定理可知是正确的，
故答案为：④
【点睛】
此题考查线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于基础题
17．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，可得11B C ⊥平面11ACC A ，可得结果.
（2）取11A C 的中点G ，根据 EC //FG ，且EC FG =，可得平行四边形FECG 是平行四边形，然后根据EF //GC ，以及线面平行的判定定理，可得结果.
【详解】
（1）因为111B C C C ⊥，平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，
平面11AC CA ⋂平面111BCC B C C =，
11B C ⊂平面11BCC B ，则11B C ⊥平面11ACC A ．
又因为1
AC ⊂平面11AC CA ， 所以111
B C AC ⊥． （2）取11A C 的中点G ，连接FG ，GC ．
在111A B C △中，因为F ，G 分别是11A B ，11A C 的中点，
所以FG //11B C ，且1112
FG B C =． 在平行四边形11BCC B 中，因为E 是BC 的中点，
所以EC //11B C ，且1112
EC B C =， 所以EC //FG ，且EC FG =
在平行四边形FECG 是平行四边形，
所以EF //GC ．
又因为EF ⊄平面11AC CA ，GC ⊂平面11AC CA ，
所以EF //平面11AC CA ．
【点睛】
本题考查面面垂直的性质定理，以及线面平行的判定，属基础题.
18．（1）见证明；（2）见证明
【分析】
（1）先证明11BM ACC A ⊥平面，即证平面BMN ⊥平面ACC 1A 1.(2) 取BC 的中点P ，连接1B P 和MP ，证明1MN PB ，再证明MN ∥平面BCC 1B 1．
【详解】
(1)证明：因为M 为棱AC 的中点，且AB BC =，
所以BM AC ⊥，
因为111ABC A B C -是直三棱柱，
所以1AA ABC ⊥平面，
因为BM ABC ⊂平面，
1又因为111,AC A A ACC A ⊂平面，且1AC A A A ⋂=，
所以11BM ACC A ⊥平面，
因为BM BMN ⊂平面，
所以平面11BMN ACC A ⊥平面.
(2)取BC 的中点P ，连接1B P 和MP ，
因为M P 、为棱AC BC 、的中点，
所以MP AB ，且12
MP AB =， 因为111ABC A B C -是棱柱，
所以1111,A B AB A B AB =，
因为N 为棱11A B 的中点，
所以1B N BA ，且112B N BA =， 所以1B N PM ，且1B N PM =，
所以1MNB P 是平行四边形，
1又因为11111,MN BCC B PB BCC B ⊄⊂平面平面，
所以11MN
BCC B 平面.
【点睛】
本题主要考查空间几何元素的平行垂直关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.
19．（1）证明见解析；（2）4
【分析】
（1）利用勾股定理，可得AC BC ⊥，结合1AC CC ⊥，根据线面垂直的判定定理以及性质定理，可得结果.
（2）计算∆BCD S ，1BB ，然后根据三棱锥的体积公式，可得结果.
【详解】
（1）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，
∴1CC ⊥平面ABC ，
∵AC ⊂平面ABC ，
∴1CC AC ⊥，
∵在ABC ∆中，3AC =，4BC =，5AB =，
∴222AC BC AB +=，
∴90ACB ∠=︒，
∴AC BC ⊥，
∵1CC ⊂平面11CC B B ，CB ⊂平面11CC B B ， 1CC CB C =，
∴AC ⊥平面11CC B B ，
∵1BC ⊂平面11CC B B ，
∴1AC BC ⊥.
（2）∵D 是AB 中点， ∴111343222
BCD ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯=， ∵1BB ⊥平面ABC ，114BB AA ==， ∴111134433B BCD BCD V S BB -∆=
⋅=⨯⨯=. 【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理以及性质定理，还考查了锥体的体积公式，难点在于根据线段长度关系利用勾股定理得出垂直，重点在于对定理的应用，属基础题.
20．（1）证明见解析；（2）
3
π． 【分析】
（1）证明11//D A C B ，再根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）1C BD ∠即为异面直线1D A 与BD 所成的角，求出即可．
【详解】
（1）证：在正方体1111ABCD A B C D -中， 11//AB C D ，且11AB C D =，
∴四边形11ABC D 为平行四边形，
∴11//D A C B ，
又∵1D A ⊄平面1C BD ，1C B ⊂平面1C BD ；
∴1//D A 平面1C BD ；
（2）解：∵11//D A C B ，
∴1C BD ∠即为异面直线1D A 与BD 所成的角，
设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ，
则易得11C B BD C D ==，
∴1C BD ∆为等边三角形，
∴13C BD π
∠=，
故异面直线1D A 与BD 所成的角为
3
π． 【点睛】 本题主要考查线面平行的判定与异面直线所成的角，属于基础题． 21．（1）证明见解析；（2）18.
【分析】
（1）证明CD AB ⊥，1AA CD ⊥利用线面垂直的判定定理即可求证； （2）由三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，可知三个侧面都是长为3，宽为2的矩形，求三个面积之和即可.
【详解】
（1）因为正三棱柱111ABC A B C -，
所以ABC 是等边三角形，
因为D 为AB 的中点，
所以CD AB ⊥，
因为1AA ⊥底面ABC ， CD ⊂底面ABC ，
所以1AA CD ⊥.
又因为1AA AB A =，AB 平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ， 所以CD ⊥平面11ABB A .
（2）∵13AA =，2AB =，111ABC A B C -为正三棱柱， 所以侧面积为1113332318A ABB S AB AA =⋅⋅=⨯⨯=.
22．（1）证明见解析；（2． 【分析】
（1）利用线面垂直推导出线线垂直即可
（2）利用等体积法A PBC P ABC V V --=，进而求解即可
【详解】
（1）证明：连接BD ，
因为1111ABCD A B C D -是长方体，且2AB BC ==，所以四边形ABCD 是正方形，所以
AC BD ⊥，
因为在长方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥，因为BD ⊂平面11BB D D ，1BB ⊂平面11BB D D ，且1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥平面11BB D D ，因为BP ⊂平面11BB D D ，所以AC BP ⊥． （2）点P 到平面ABC 的距离24AA =，ABC 的面积122ABC S AB BC =⋅⋅=△， 所以111824333
P ABC ABC V S AA -=⋅=⨯⨯=△， 在1Rt BB P △中，14BB =，12B P ，所以32BP = 同理32CP =2BC =，所以的面积()
2212321172PBC S =⨯-=△ 设三棱锥A PBC -的高为h ，则因为A PBC P ABC V V --=，所以1
833PBC S h ⋅=
△， 1783=，解得817h =，即三棱锥A PBC -817． 所以点A 到平面A PBC -817 【点睛】
关键点睛：解题的关键在于利用等体积法A PBC P ABC V V --=，进而得出
11133
P ABC ABC A PBC PBC V S AA V S h --=⋅=⋅=△△，进而求出三棱锥A PBC -的高h。