2021年高考数学经典例题 专题一：集合与简易逻辑【含解析】

专题一 集合与简易逻辑
一、单选题
1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则(
)U
A
B =（ ）
A ．{3,3}-
B ．{0,2}
C ．{1,1}-
D ．{3,2,1,1,3}---
【答案】C 【解析】
首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 【详解】
由题意结合补集的定义可知：{}U
2,1,1B =--，则(
){}U
1,1A
B =-.
故选：C.
2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】
求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A.
3．设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4} D ．{x |1<x <4} 【答案】C 【解析】
根据集合并集概念求解. 【详解】
[1,3](2,4)[1,4)A B ==
故选：C
4．已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】
(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时， 若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；
若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；
(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12k
k k m απβ=+-=或
()()121k
k k m απβ=+-=+，
亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．
所以，“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件. 故选：C.
5．已知集合P ={|14}<<x x ，{|23}Q x x =<<，则P Q =（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|23}x x << C ．{|34}x x ≤< D ．{|14}<<x x
【答案】B 【解析】
根据集合交集定义求解. 【详解】
(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==
故选：B
6．已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 【详解】
依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，
当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.
当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而
,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.
综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B
7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
∵A ､B ､C 三点不共线,∴
|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |
⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC
的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C.
8．已知集合{}
{}2
|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的
个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D 【解析】
求解一元二次方程，得
{}
()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .
因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D.
9．已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
【答案】C 【解析】
采用列举法列举出A B 中元素的即可.
【详解】
由题意，A B 中的元素满足8
y x
x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，
由82x y x +=≥，得4x ≤，
所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故A
B 中元素的个数为4.
故选：C.
10．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
b =0 时，f(x)=cosx +bsinx =cosx , f(x)为偶函数； f(x)为偶函数时，f(−x)=f(x)对任意的x 恒成立， f(−x)=cos(−x)+bsin(−x)=cosx −bsinx
cosx +bsinx =cosx −bsinx ，得bsinx =0对任意的x 恒成立，从而b =0.从而“b =0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件，故选C.
11．已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）
A ．{4,1}-
B ．{1,5}
C ．{3,5}
D ．{1,3}
【答案】D 【解析】
首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.
【详解】
由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，
故选：D.
12．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2
C ．2
D ．4
【答案】B 【解析】
由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】
求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧
⎫=≤-⎨⎬⎩⎭
. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12
a
-=，解得：2a =-. 故选：B.
13．已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（ ） A ．∅ B ．{–3，–2，2，3） C ．{–2，0，2} D ．{–2，2}
【答案】D 【解析】
解绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】
因为{}
{}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--，
{}
{1,1B x x x Z x x =>∈=>或}1,x x Z <-∈，
所以{}2,2A
B =-.
故选：D.
14．已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U
A B ⋃=（ ）
A ．{−2，3}
B ．{−2，2，3}
C ．{−2，−1，0，3}
D ．{−2，−1，0，2，3}
【答案】A 【解析】
首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】
由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U
2,3A B =-.
故选：A.
15．设m R ∈，则“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
根据条件先求m 的取值范围，再比较集合的包含关系，判断充分必要条件. 【详解】
圆()()2
2
:123C x y m -+-=-，圆心()1,2，半径3r m =-
若直线l 与圆C 有公共点， 则圆心()1,2到直线的距离332
m d m -=
≤-13m ≤<，
{}12m m ≤≤ {}13m m ≤<，所以“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆
22:2420C x y x y m +--++=有公共点”的充分不必要条件.
故选：A
16．设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】
2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；
易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A. 17．已知集合{}0,1,2,4A =，{}2,n
B x x n A ==∈，则A
B =（ ）
A ．{}0,1,2
B ．{}0,1,4
C ．{}0,2,4
D ．{}1,2,4
【答案】D 【解析】
由题知{}1,2,4,16B =,再根据集合交集运算求解即可. 【详解】 因为{}0,1,2,4A =，{}1,2,4,16B =，所以{}1,2,4A
B =，
故选:D.
18． “21a =”是“直线1x ay +=与1ax y +=平行”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
首先根基两直线平行求出a 的值，再根据小范围推大范围选出答案.
【详解】
因为直线1x ay +=与1ax y +=平行， 所以0a ≠ 且两直线的斜率相等即1
a a
-
=解得1a =±； 而当1a =时直线1x ay +=为1x y +=，同时1ax y +=为1x y +=，两直线重合不满足题意；当1a =-时，
1x y -=与1x y -+=平行，满足题意；
故1a =-，
根据小范围推大范围可得：21a =是1a =-的必要不充分条件. 故选：B
19．已知命题:p “,a b 是两条不同的直线，α是一个平面，若,b a b α⊥⊥，则//a α”，命题:q “函数
1,1()23,1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩
，为R 上的增函数”，下列说法正确的是
A ．“p q ⌝∧”为真命题
B ．“p q ∧⌝”
为真命题
C ．“p q ∧” 为真命题
D ．“p q ⌝∧⌝” 为真命题
【答案】D 【解析】
依题意得p 是假命题；因为312<又()312f f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，得q 是假命题，则可判断正确结果． 【详解】
若,b a b α⊥⊥，则//a α或a α⊂，所以命题p 是假命题；
函数1,1()23,1
x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当1x =时()0
11f e ==，当32x =时3323022f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，
因为312<
又()312f f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，所以()f x 在R 上不是增函数，故q 是假命题； 所以p ⌝与q ⌝是真命题，故“p q ⌝∧⌝” 为真命题 故选：D ．
20．记不等式组6
20x y x y +⎧⎨-≥⎩
表示的平面区域为D ，命题:(,),29p x y D x y ∃∈+；命题
:(,),212q x y D x y ∀∈+.给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝，这四个命题
中，所有真命题的编号是（ ） A ．①③ B ．①②
C ．②③
D ．③④
【答案】A 【解析】
如图，平面区域D 为阴影部分，由2,6y x x y =⎧⎨
+=⎩得2
,4x y =⎧⎨=⎩
即A （2，4），直线29x y +=与直线212x y +=均过区域D ， 则p 真q 假，有p ⌝假q ⌝真，所以①③真②④假．故选A ．
21．已知集合{}1235711A =，
，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】B 【解析】
采用列举法列举出A B 中元素的即可.
【详解】
由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故A B 中元素的个数为3.
故选：B
22．已知M 、N 为R 的子集，若R
M N =∅，{}1,2,3N =，则满足题意的M 的个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．7
D ．8
【答案】D
【解析】
根据交集、补集的运算的意义，利用韦恩图可得出M ，N 关系，根据子集求解. 【详解】
因为M 、N 为R 的子集，且R
M N =∅，
画出韦恩图如图，
可知，M N ⊆， 因为{}1,2,3N =， 故N 的子集有32=8个. 故选：D
23． “0a =”是直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
根据直线与圆相交的判定，充分条件，必要条件即可求解 【详解】
当0a =时，直线为0x y -=，过圆心(0,0)，故直线与圆224x y +=相交，
当直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交时，圆心到直线的距离
2
2
2(1)(1)
d a a =
<++-，化简得220a +>，显然恒成立，不能推出0a =，
所以“0a =”是直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交的充分不必要条件， 故选：A
24．设集合()222021,2020A x y x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭
，(){},2x B x y y ==，则集合A B 中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】C
【解析】 分别作出222021
2020x y +=，2x y =图象，判断交点个数即可.
【详解】
依题意：集合A B 中元素的个数即222021
2020x y +=，2x y =图象交点个数
如图
所以一共有两个交点，所以集合A B 中元素的个数为2
故选：C
25．已知集合{}13A x x =≤<，{}B y y m =≤，且A B =∅，则实数m 应满足（
）
A ．1m <
B ．1m
C ．3m ≥
D ．3m >
【答案】A
【解析】
根据集合交集定义即可求解．
【详解】 解：∵集合{}13A x x =≤<，{}B y y m =≤，A B =∅
∴1m <，
故选：A ．
26．命题000:,20p x R x lnx ∃∈+<的否定为（ ）
A ．000,20x R x lnx ∃∉+≥
B ．000,20x R x lnx ∃∈+>
C ．,20x R x lnx ∀∈+>
D ．,20x R x lnx ∀∈+≥
【答案】D
【解析】 根据特称命题的否定是全称命题，直接写出即可.
【详解】
根据特称命题的否定是全称命题，
所以命题p 的否定为,20x R x lnx ∀∈+≥.
故选:D.
27．已知集合{}220A x x x =-->，则
A =R （ ） A ．{}12x x -<<
B ．{}12x x -≤≤
C ．}{}{|12x x x x <-⋃
D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥ 【答案】B
【解析】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.
详解：解不等式220x x -->得12x x -或，
所以{}
|12A x x x =<->或，
所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.
28．已知两条直线,a b 和平面α，若b α⊂，则//a b 是//a α的（ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 【答案】D
【解析】
当b α⊂时，
若//a b 时，a 与α的关系可能是//a α，也可能是a α⊂，即//a α不一定成立，故////a b a α⇒为假命题；
若//a α时，a 与b 的关系可能是//a b ，也可能是a 与b 异面，即//a b 不一定成立，故////a a b α⇒也
为假命题；
故//a b 是//a α的既不充分又不必要条件
故选：D
29.设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：
①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T
②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则
y x ∈S ； 下列命题正确的是（ ）
A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素
B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素
C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素
D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素
【答案】A
【解析】
分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.
【详解】
首先利用排除法：
若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S
T =，包含4个元素，排除选项 C ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；
若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S
T =，包含7个元素，排除选项B ；
下面来说明选项A 的正确性：
设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，
则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41
p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21
p S p ∈，
若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322
p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232
p p p p p ==，所以342p p =， 故{}
232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍. 若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111
,p p p p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331
p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}
3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈， 则31
q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，
此时{}234456*********,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.
故A 正确.
故选：A .
【点睛】
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
二、填空题
30．已知集合{}1,2A =，{}
2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1
【解析】
由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．
点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．
（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．
31．设有下列四个命题：
p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝
【答案】①③④
【解析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】
对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；
若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，
同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，
所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；
对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题2p 为假命题；
对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题3p 为假命题；
对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，
则m 垂直于平面α内所有直线，
直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，
命题4p 为真命题.
综上可知，，为真命题，，为假命题，
14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，
23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.
故答案为：①③④.
32．设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题： ①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；
②若12,A A 具有性质P ，且12A A ⋂≠∅，则12A A ⋂具有性质P ；
③若12,A A 具有性质P ，则12A A ⋃具有性质P ；
④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则A R 不具有性质P .
其中所有真命题的序号是___________.
【答案】①②
【解析】
举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法，结合举反例判断④.
【详解】
对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；
对于②，取12,x y A A ∈⋂，则1x A ∈，
2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈⋂⋂，所以12A A ⋂具有性质P ，故②正确；
对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A
∈，23A ∈，但1223A A +∉⋃，故③
错误；
对于④，假设A R 具有性质P ，即对任意,x y A ∈R ，都有,x y A xy A +∈∈R R ，即对任意,x y A ∉，都有,x y A xy A +∉∉，举反例{}|2,A x x k k Z ==∈，取1A ∉，3A ∉，但134A +=∈，故假设不成立，故④错误；
故答案为：①②
【点睛】
关键点点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于基础题.。