九年级最新数学中考二轮复习测试题初三数学下册复习检测题带图文答案解析100篇二轮复习19期开放探究问

中考二轮复习19期：开放探究问题
（答题时间：90分钟）
1. 如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（）
A. ∠1＝∠2
B. ∠1＝∠5
C. ∠1＋∠3＝180°
D. ∠3＝∠5
2. 如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）
A. ∠A＝∠C
B. AD＝CB
C. BE＝DF
D. AD∥BC
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为（）
A. BD＝CE
B. AD＝AE
C. DA＝DE
D. BE＝CD
4. 如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）
A. BD＝DC、AB＝AC
B. ∠ADB＝∠ADC、BD＝DC
C. ∠B＝∠C、∠BAD＝∠CAD
D. ∠B＝∠C、BD＝DC
5. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线OM是正比例函数y3的图象，点A的坐标为（1，0），在直线OM上找点N，使△ONA是等腰三角形，符合条件的点N的个数是（）
O A x
y
M A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
6. 如图所示，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. △ACE ≌△BCD
B. △BGC ≌△AFC
C. △DCG ≌△ECF
D. △ADB ≌△CEA
*7. 如图所示，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且AE ＝EF ＝FA 。

下列结论：①△ABE ≌△ADF ；②CE ＝CF ；③∠AEB ＝75°；④BE ＋DF ＝EF ；⑤S △ABE ＋S △ADF ＝S △CEF ，其中正确的个数是（ ）
A B
C D
E F
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
**8. 在锐角△ABC 中，∠BAC ＝60°，BN 、CM 为高，P 为BC 的中点，连接MN 、MP 、NP ，则结论：①NP ＝MP ，②当∠ABC ＝60°时，MN ∥BC ，③BN ＝2AN ，④AN ∶AB ＝AM ∶AC ，一定正确的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
9. （湘潭）如图，直线a 、b 被直线c 所截，若满足__________，则a 、b 平行。

10. 如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个
．．条件：__________，使四边形ABCD 为矩形。

A
B C D
O
11. 如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，请添加一个适当的条件________，使得△EAB≌△BCD。

12. 如图，P是四边形ABCD的边DC上的一个动点，当四边形ABCD满足条件__________时，△PBA的面积始终保持不变。

（注：只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）
13. 写出一个过点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系式：
__________。

（填上一个答案即可）
14. 已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数
k
y
x
图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜
y2，则k的一个值可为__________。

15. 四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款。

如图是该班同学捐款的条形统计图，写出一条你从图中所获得的信息：____________________。

16. 如图所示，弦AB、CD相交于点O，连接AD、BC，请在不添加辅助线的情况下，从图中找出一对相等的角，它们是__________。

17. 如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D在AB上，连接BE，请找出一对全等三角形，并说明理由。

18. （1）先求解下列两题：①如图①，点B、D在射线AM上，点C、E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE，已知∠EDM＝84°，求∠A的度数；
②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B、C的横坐标都是3，
且BC＝2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数
k
y
x
（x＞0）的图象经过点B、
D，求k的值。

（2）解题后，你发现以上两个小题有什么共同点？请简单地写出来。

19. 盐城市交警支队对某校学生进行交通安全知识宣传，事先以无记名的方式随机调查了该校部分学生闯红灯的情况，并绘制成如图所示的统计图。

请根据图中的信息回答下列问题：（1）本次共调查了多少名学生？
（2）如果该校共有1500名学生，请你估计该校经常闯红灯的学生大约有多少人；
（3）针对图中反映的信息，谈谈你的认识。

（不超过30个字）
20. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，－3）。

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式。

*21. 如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P。

（1）求证：PC＝PG；
（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为5，求弦ED 的长。

**22. 一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O，点PD分别在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE。

（1）理清思路，完成解答：本题证明的思路可用下列框图表示：
根据上述思路，请你完整书写本题的证明过程。

（2）特殊位置，证明结论：若PB平分∠ABO，其余条件不变，求证：AP＝CD。

（3）知识迁移，探索新知：若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系。

（不必写解答过程）
**23. 在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，
连接BF、FG、GB，设AB
BC
＝k。

（1）证明：△BGF是等腰三角形；
（2）当k为何值时，△BGF是等边三角形？
（3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等。

事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立。

利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围。

**24. 用如图①、②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：
探究一：将以上两个三角形按图③所示方法拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P。

（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；
（2）当点P在运动的过程中出现PA＝FC时，求∠PAB的度数。

探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN。

在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由。

1. C
2. B 解析：若添加∠A＝∠C，可用ASA证明△ADF≌△CBE；若添加BE＝DF，可用SAS证明；若添加AD∥BC，可用ASA证明；但添加AD＝CB不能满足三角形全等的条件。

3. C 解析：A. 添加BD＝CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB＝∠EAC，故本选项错误；B. 添加AD＝AE，根据等边对等角可得∠ADE＝∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB＝∠EAC，故本选项错误；C. 添加DA＝DE无法求出∠DAB＝∠EAC，故本选项正确；D. 添加BE＝CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB＝∠EAC，故本选项错误。

4. D 解析：∵AD＝AD，当BD＝DC、AB＝AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD；当∠ADB＝∠ADC、BD＝DC时，利用SAS证明△ABC≌△ACD；当∠B＝∠C、∠BAD＝∠CAD时，利用AAS证明△ADC≌△ACD；当∠B＝∠C、BD＝DC时，不能证明△ABC ≌△ACD。

5. A 解析：根据正比例函数图象的性质和锐角三角函数，可以求出∠AON2＝60°，故当OA＝ON2时，AN2＝OA，因此符合条件的点N只有N1和N2两个。

O
A
x y
M
N1
N2
6. D 解析：A. ∵BC＝AC，∠BCD＝60°＋∠ACD＝∠ACE，CD＝CE，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
B. ∵BC＝AC，由选项A得∠GBC＝∠FAC，∠BCG＝60°＝∠ACF，
∴△BGC≌△AFC（AAS）；
C. ∵DC＝EC，由选项A得∠GDC＝∠FEC，∠GCD＝60°＝∠FCE，∴△DCG≌△ECF（AAS）；
D. △ADB≌△CEA不一定成立，只有△ABC≌△CDE时才成立。

*7. C 解析：由已知得AB＝AD，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）；利用全等三角形的性质判断①②③正确：在AD上取一点G，连接FG，使AG＝GF，由正方形、等边三角形的性质可知∠DAF＝15°，从而得∠DGF＝30°，设DF＝1，则AG＝GF＝2，DG 3，AD＝CD＝23，CF＝CE＝CD－DF＝13EF2CF26
BE＋DF＝2，∴④错误；S△ABE＋S△ADF＝2×1
2
×1×（2323，S△CEF＝
1
2
×（1
3）×（1323
A B
C D
F
G
**8. C 解析：①由BN 、CM 为高，P 为BC 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得NP ＝MP ，故①正确；②由BN 、CM 为高与∠A 是公共角，易证△AMN ∽△ABC ，然后由∠BAC ＝60°与∠ABC ＝60°，可得△ABC 是等边三角形，则得∠AMN ＝∠ABC ＝60°，即可得MN ∥BC ，故②正确；③∵∠BAC ＝60°，tan60°＝3=AN
BN ，③错误；④由②△AMN ∽△ABC ，根据相似三角形的对应边成比例的性质，即可证得AN ∶AB ＝AM ∶AC ，故④正确。

综上所述，①②④一定正确，即正确的有3个。

9. ∠1＝∠2或∠2＝∠3或∠3＋∠4＝180°
10. ∠ABC ＝90°或AC ＝BD 解析：要使一个平行四边形是矩形有两个方法：一是有一个角是90°，二是对角线相等。

11. AE ＝CB （答案不唯一）
12. AB ∥CD （答案不唯一）
13. y ＝－x ＋3 解析：设此一次函数关系式是：y ＝kx ＋b 。

把x ＝0，y ＝3代入得：b ＝3，又根据y 随x 的增大而减小，知：k ＜0，故此题只要给定k 一个负数值，代入解出b 值即可。

14. －1 解析：根据题意，此反比例函数的图象分布在第二、四象限内，k 取负值即可。

15. 该班有50人参与了献爱心活动（只要与统计图中所提供的信息相符即可）16. ∠A 与∠C （答案不唯一） 解析：找圆周角和对顶角。

17. 解：△ACD ≌△BCE 。

证明如下：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，
∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ，即∠ACD ＝∠BCE 。

∵△ABC 与△CDE 均是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，
∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，在△ACD 和△BCE 中，CD CE ACD BCE CA CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△BCE 。

18. 解：（1）①∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ，∴∠A ＝∠BCA ，∠CBD ＝∠BDC ，∠ECD ＝∠CED ，根据三角形的外角性质，∠A ＋∠BCA ＝∠CBD ，∠A ＋∠CDB ＝∠ECD ，∠A ＋∠CED ＝∠EDM ，又∵∠EDM ＝84°，∴∠A ＋3∠A ＝84°，解得∠A ＝21°；②∵点B 在反比例函数
y ＝
k x 的图象上，点B 、C 的横坐标都是3，∴点B （3，3k ），∵BC ＝2，∴点C （3，3
k ＋2），∵AC ∥x 轴，点D 在AC 上，且横坐标为1，∴D （1，3
k ＋2），∵点D 也在反比例函数图象上，∴3k ＋2＝k ，解得k ＝3；（2）共同点：用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转化的思维和方法。

（开放题）
19. 解：（1）调查的总人数是：55＋30＋15＝100（人）；（2）经常闯红灯的人数是：1500×15100＝225（人）；（3）学生的交通安全意识不强，还需要进行教育。

20. 解：（1）∵抛物线与x 轴交于点A （1，0），B （3，0），可设抛物线的解析式为y ＝a （x －1）（x －3），把C （0，－3）代入得：3a ＝－3，解得a ＝－1，故抛物线的解析式为y ＝－（x －1）（x －3），即y ＝－x 2＋4x －3，∵y ＝－x 2＋4x －3＝－（x －2）2＋1，∴顶点坐标（2，1）；（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y ＝－x 2，平移后抛物线的顶点为（0，0），落在直线y ＝－x 上。

*21. （1）证明：连接OC ，如图，∵PC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥PC ，∴∠OCG ＋∠PCG ＝90°，∵ED ⊥AB ，∴∠B ＋∠BGF ＝90°，∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCG ，∴∠PCG ＝∠BGF ，而∠BGF ＝∠PGC ，∴∠PGC ＝∠PCG ，∴PC ＝PG ；（2）解：CG 、BF 、BO 三者之间的数量关系为CG 2＝BO•BF 。

理由如下：连接OG ，如图，∵点G 是BC 的中点，∴OG ⊥BC ，BG ＝CG ，∴∠OGB ＝90°，∵∠OBG ＝∠GBF ，∴Rt △BOG ∽Rt △BGF ，∴BG ∶BF ＝BO ∶BG ，∴BG 2＝BO•BF ，∴CG 2＝BO•BF ；（3）解：连接OE ，如图，由（2）得OG ⊥BC ，∴OG ＝5，在Rt △OBG 中，OB ＝5，∴BG ＝22OB OG -＝25，由（2）得BG 2＝BO•BF ，
∴BF ＝
205
＝4，∴OF ＝1，在Rt △OEF 中，EF ＝22OE OF -＝26，∵AB ⊥ED ，∴EF ＝DF ，∴DE ＝2EF ＝46。

**22. 解：（1）证明：∵PB ＝PD ，∴∠2＝∠PBD ，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠C ＝45°，∵BO ⊥AC ，∴∠1＝45°，∴∠1＝∠C ＝45°，∵∠3＝∠PBO －∠1，∠4＝∠2－∠C ，∴∠3＝∠4，∵BO ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠BOP ＝∠PED ＝90°，在△BPO 和△PDE 中3=4BOP=PED BP=PD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，∴△BPO ≌△PDE （AAS ）
；（2）证明：由（1）可得：∠3＝∠4，∵BP 平分∠ABO ，∴∠ABP ＝∠3，∴∠ABP ＝∠4，在△ABP 和△CPD 中4A C ABP PB PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴
△ABP ≌△CPD （AAS ），∴AP ＝CD ；（3）解：CD′与AP′的数量关系是CD′2，理由是：如图，设OP ＝PC ＝x ，则AO ＝OC ＝2x ＝BO ，则AP ＝2x ＋x ＝3x ，由（2）知BO ＝PE ，PE ＝2x ，CE ＝2x －x ＝x ，∵∠E ＝90°，∠ECD ＝∠ACB ＝45°，∴DE ＝x ，由勾股定理得：CD 2x ，即AP ＝3x ，CD 2x ，∴CD′与AP′的数量关系是CD′2AP′。

**23. 解：（1）证明：∵EF⊥AC于点F，∴∠AFE＝90°，∵在Rt△AEF中，G为斜边
AE的中点，∴GF＝1
2
AE。

在Rt△ABE中，同理可得BG＝
1
2
AE，∴GF＝GB，∴△BGF
为等腰三角形；（2）当△BGF为等边三角形时，∠BGF＝60°，∵GF＝GB＝AG，∴∠BGE
＝2∠BAE，∠FGE＝2∠CAE，∴∠BGF＝2∠BAC，∴∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°，∴AB BC
＝tan∠ACB＝3，∴当k＝3时，△BGF为等边三角形；（3）由（1）得△BGF为等腰三
角形，由（2）得∠BAC＝1
2
∠BGF，∴当△BGF为锐角三角形时，∠BGF＜90°，∴∠BAC
＜45°，∴AB＞BC，∴k＝AB
BC
＞1；当△BGF为直角三角形时，∠BGF＝90°，∴∠BAC＝
45°，∴AB＝BC，∴k＝AB
BC
＝1；当△BGF为钝角三角形时，∠BGF＞90°，∴∠BAC＞45°，
∴AB＜BC，∴k＝AB
BC
＜1。

∴0＜k＜1。

**24. 解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：由题意，得∠CFB＝60°，FP
为角平分线，则∠CFP＝30°，∴CF＝BC•sin30°＝3×
3
3
＝3，∴CP＝CF•tan∠CFP＝
3×
3
3
＝1。

过点A作AG⊥BC于点G，则AG＝
1
2
BC＝
3
2
，∴PG＝CG－CP＝
3
2
－1
＝1
2。

在Rt△APG中，由勾股定理得：AP＝2222
3110
()()
222
AG PG
+=+=；（2）由（1）可知，FC3。

如答图2所示，以点A为圆心，以FC3
画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1＝AP23过点A过AG⊥BC于点G，则AG＝1
2 BC
＝3
2
，在Rt△AGP1中，cos∠P1AG＝
1
3
3
2
3
AG
AP
==，∴∠P1AG＝30°，∴∠P1AB＝45°
－30°＝15°；同理求得，∠P2AG＝30°，∠P2AB＝45°＋30°＝75°。

∴∠PAB的度数为15°或75°。

探究二：△AMN 的周长存在最小值。

如答图3所示，连接AD ，∵△ABC 为等腰直角三角形，点D 为斜边BC 的中点，∴AD ＝CD ，∠C ＝∠MAD ＝45°。

∵∠EDF ＝90°，∠ADC
＝90°，∴∠MDA ＝∠NDC 。

∵在△AMD 与△CND 中，MAD C AD CD MDA NDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴△AMD ≌
△CND （ASA ），∴AM ＝CN 。

设AM ＝x ，则CN ＝x ，AN ＝AC －CN ＝22BC －CN ＝322－x ，在Rt △AMN 中，由勾股定理得：MN ＝222232()2+=+-=AM AN x x 292322++x x ＝2329(-)44
x +，△AMN 的周长为：AM ＋AN ＋MN ＝322＋2329(-
)44
x +，当x ＝324时，有最小值，最小值为32924+＝3322+。

∴△AMN 周长的最小值为3322+。