2019年重点高中提前招生考试数学试卷

宁波市重点高中提前招生考试试卷
数 学
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分） 1、如图，AB 是函数x
k
y =
图象上两点，点C 、D 、E 、F 分别在坐标轴上，且与点A,B,O 分别构成正方形和长方形，若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积为（ ）
A 、3
B 、6
C 、9
D 、12
2、甲、乙、丙三人同时玩“石头、剪子、布”的游戏，游戏规则是：石头胜剪子、剪子胜布、布胜石头，则甲获胜（并列不计）的概率是（ ） A 、
31B 、61C 、91D 、12
1 3、在△ABC 中，AB ＝AC=a ，BC=b ，∠A ＝36°，记b
a b a m -+=，()ab b a n 2
+=
，33
b
a p =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ）
A 、m ＞n ＞p
B 、p ＞m ＞n
C 、n ＞p ＞m
D 、m=n=p
4、如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB ，AD 上的点，EF 与对角线AC 交于点P ，若
b a EB AE =，n m DF AF =（a,b,m,n 均为正数），则
PC
AP
的值为（ ）
A 、
bm an am +B 、bm an bn +C 、bm an am am ++D 、bn
bm an bn ++
5、方程01223=--x x 的实数根个数为（ ） A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个
P C
D B
A
F E
6、已知实数a,b,c 的积为负数，和为正数，且bc
bc ac ac ab ab c c b b a a x +++++=
，则123+++cx bx ax 的值为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、-1
7、如图，五边形ABCDE 中，∠BAE=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC=1,AE=DE=2，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使△AMN 的周长最小，则△AMN 的最小周长为（ ）
A 、62
B 、72
C 、24
D 、5
8、已知()x
x x f ++=
11，记()()()()n f f f n S +++= 21，其中n 为正数，使
()9<n S 成立的n 的最大值为（ ）
A 、96
B 、97
C 、98
D 、99
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分） 9、已知：
441,361,241=
+=+=+c a ac c b bc b a ab ，则ac
bc ab abc
++＝_________ 10、实数321,,x x x 满足()3213212
1
93421x x x x x x ++=
-+-+-，则321x x x ++＝__________
11、已知：2121,,,y y x x 满足22
22
1=+x x ，12112=-y x y x ，32211=+y x y x ，则
2
221y y +＝___________
12、壁虎是蚊子的天敌，如图（1）是某办公大厅的圆柱，矩形CDEF 是该圆柱的左视图（如图（2）），其中CD ＝1m ，CF ＝4m ，现在点A 处的壁虎发现在点1B 处有一蚊子，这只壁虎要吃掉蚊子所爬的最短路程为________
13、如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边
A
B
N
E
A
B
A
B 1F
C
AB ，AC ，BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ，DE ∥AC ，GF ∥AB ， 则梯形DEFG 面积的最大可
能值为________
14、如图，有一条长度为1的线段EF ，其端点E ，F 在边长为3的正方形ABCD 的四边上滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹的长是____________
三、解答题（共80分）
15、（12分）宁海中学高一段组织了围棋比赛，共有10名选手进入决赛，决赛阶段实行单循环赛（即每两名参赛选手都要赛一局，且每局比赛都决出胜负），若一号选手1a 局，输1b 局；二号选手胜2a 局，输2b 局，…，十号选手胜10a 局，输10b 局。

试比较2
102
22
1a a a +++ 与2
102
22
1b b b ++的大小，并叙述理由。

16、（12分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC ，AB 分别交于点D ，E ，且⊙O 与直线BD 刚好相切。

（1）试证：∠CBD ＝∠A （2）若cosA ＝
5
5
2，BD ＝52，试计算⊙O 的面积
A
B
C
B
A
E
17、（16分）试求方程01422=---x x x 的四个根之和；当1＜b ＜5时，再求方程
01422=+---b x x x 的四个根之和
18、（20分）试证明：二次函数n mx nx y 222--=的图象与x 轴交于不同的A ，B 两点，并回答下列问题： （1）m,n 间有何关系？
（2）设以AB 为直径的圆与y 轴交于点C ，D ，弦CD 的长是否为定值？
19、（20分）先自学下列材料，再解题，在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式：若0,0≥≥b a ，则ab b
a ≥+2
；① 若0,0,0≥≥≥c b a ，则
3
3
abc c b a ≥++。

② 不等式①②反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数，这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用。

现举例如下：
若0>ab ，试证不等式：
()()()()32
2
3
2ab ab b a ab b a ⋅⋅+≥++ 证明：∵0>ab
∴
()()()()()32
2
23
32ab ab b a ab ab b a ab b a ⋅⋅+≥+++=++ 现请你利用上述不等式①②证明下列不等式：
（1）当0≥ab 时，试证明：()32
22
224
1210b a b a ab b a +≥
++
B
A
（2）当b a ,为任意实数时，试证明：()32
22
224
3b a b a ab b a +≥
++。