高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章 空间向量与立体几何 3.1.4

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
课时目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．
1．空间向量基本定理
(1)设i 、j 、k 是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O ，那么，对于空间任一向量p ，存在一个______________，使得____________，我们称______，______，______为向量p 在i 、j 、k 上的分向量．
(2)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c ________，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得________________．
(3)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是___________．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个________，a ，b ，c 都叫做__________．空间中任何三个________的向量都可构成空间的一个基底．
2．空间向量的坐标表示
若e 1、e 2、e 3是有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为____________________，以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1、e 2、e 3的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，那么，对于空间任意一个向量p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作____________．
一、选择题
1．在以下3个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；
②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2.已知O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－
OC →，则与a 、b 不能构成空间基底的是( )
A. OA → B ．OB → C.OC → D.OA →或OB →
3．以下四个命题中，正确的是( )
A.若OP ＝12OA →＋13
OB →，则P 、A 、B 三点共线 B ．设向量{a ，b ，c }是空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底
C ．|(a·b )c |＝|a|·|b|·|c |
D. △ABC 是直角三角形的充要条件AB →·AC →＝0
4.设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3G ,G 1若OG ＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )
A ．(14，14，14)
B ．(34，34，34
) C ．(13，13，13) D ．(23，23，23
) 5．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点
A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )
A ．(12,14,10)
B ．(10,12,14)
C ．(14,12,10)
D ．(4,3,2)
6.已知空间四边形OABC 中OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N
为BC 的中点，则MN →等于( )
A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12
c C.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12
c 二、填空题
7．设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，则向量a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k 的坐标分别是____________．
8.已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分
别为E 、F ，则EF →＝____________.
9.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为AC 1与BD 1的交点，AO ＝xAB →＋yBC →＋zCC 1→，
则x ＋y ＋z ＝______.
三、解答题
10.四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO 平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E 、
F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示BF →、BE →、AE →、EF →.
11.已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA=AD,
求MN 、DC →的坐标．
能力提升
12．甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F 1，F 2，F 3，若i 、j 、k 是空间中的三个不共面的基向量，F 1＝i ＋2j ＋3k ，F 2＝－2i ＋3j －k ，F 3＝3i －4j ＋5k ，则这三名工人的合力F ＝x i ＋y j ＋z k ，求x 、y 、z .
13.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC .
1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．
2. OP ＝xOA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，当且仅当x ＋y ＋z ＝1时，P 、A 、B 、C 四点共面．
3．对于基底{a ，b ，c }除了应知道a ，b ，c 不共面，还应明确：
(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．
(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量
不共面，就隐含着它们都不是0.
3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
知识梳理
1．(1)有序实数组{x ，y ，z } p ＝x i ＋y j ＋z k x i y j z k (2)不共面 p ＝x a ＋y b ＋z c
(3){p |p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R } 基底 基向量 不共面
2．单位正交基底 p ＝(x ，y ，z )
作业设计
1．C [命题①，②是真命题，命题③是假命题．]
2．C [∵OC →＝12
(a －b )，OC →与a 、b 共面， ∴a ，b ，OC →不能构成空间基底．]
3．B [A 中若OP →＝12OA →＋12
OB →，则P 、A 、B 三点共线，故A 错； B 中，假设存在实数k 1，k 2，使c ＋a ＝k 1(a ＋b )＋k 2(b ＋c )＝k 1a ＋(k 1＋k 2)b ＋k 2c ，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝1；k 1＋k 2＝0；
k 2＝1.方程组无解，
即向量a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，故B 正确．
C 中，a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉≤|a|·|b |，故C 错．
D 中，由AB →·AC →＝0⇒△ABC 是直角三角形，但△ABC 是直角三角形，可能角B 等于90°，
则有BA →·BC →＝0.故D 错．]
4．A [因为OG →＝34OG 1→＝34
(OA →＋AG 1→) ＝34OA →＋34×23[12
(AB →＋AC →)] ＝34OA →＋14
[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝14OA →＋14OB →＋14
OC →， 而OG →＝x OA →＋y OB →＋z OC →，
所以x ＝14，y ＝14，z ＝14
.] 5．A [设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，
则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i
＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．]
6．B [MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23
OA → ＝－23a ＋12b ＋12
c .] 7．(3,2，－1)，(－2,4,2)
8．3a ＋3b －5c
解析 ∵EF →＝EA →＋AB →＋BF →，
又EF →＝EC →＋CD →＋DF →，
∴两式相加得
2EF →＝(EA →＋EC →)＋AB →＋CD →＋(BF →＋DF →)．
∵E 为AC 中点，故EA →＋EC ＝0，同理BF →＋DF →＝0，
∴2EF →＝AB →＋CD →＝(a －2c )＋(5a ＋6b －8c )
＝6a ＋6b －10c ，∴EF →＝3a ＋3b －5c . 9.32 解析 AO →＝12A C 1→＝12(AB →＋BC →＋CC 1→)． 故x ＝y ＝z ＝12，∴x ＋y ＋z ＝32
. 10．解 BF →＝12BP →＝12
(BO →＋OP →) ＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12
c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →
＝－a ＋12
(CO →＋OP →) ＝－a －12b ＋12
c . AE →＝AP →＋PE →
＝AO →＋OP →＋12
(PO →＋OC →) ＝－a ＋c ＋12
(－c ＋b ) ＝－a ＋12b ＋12
c . EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .
11．解
∵P A ＝AD ＝AB ，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，
∴可设DA →＝e 1，AB →＝e 2，AP →＝e 3.
以e 1、e 2、e 3为坐标向量建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示．
∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →
＝MA →＋AP →＋12
PC → ＝MA →＋AP →＋12
(PA →＋AD →＋DC →) ＝－12e 2＋e 3＋12
(－e 3－e 1＋e 2) ＝－12e 1＋12
e 3， ∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－12
，0，12，DC →＝AB →＝e 2＝(0,1,0)． 12．解 由题意，得F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(i ＋2j ＋3k )＋(－2i ＋3j －k )＋(3i －4j ＋5k )＝2i ＋j ＋7k .
又因为F ＝x i ＋y j ＋z k ，所以x ＝2，y ＝1，z ＝7.
13．证明 设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，
则EF →＝EB 1→＋B 1F →
＝12
(BB 1→＋B 1D 1→) ＝12
(AA 1→＋BD →) ＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12
(－a ＋b ＋c )， AB 1→＝AB →＋EB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .
∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )
＝12
(b 2－a 2－a·b ＋a·b ＋c·a ＋c·b ) ＝12
(|b |2－|a |2)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1.
同理，EF ⊥B 1C .
又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .
小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

在中学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。

如何培养中学生的自主学习能力？
01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。

2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。

4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。

6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。

8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。

9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。

10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。

12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。

02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。

16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。

18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。

19、作业总是在自己规定的时间内完成。

20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。

03 学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。

22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。

24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。

25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。

27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。

29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。

30、常对学过的知识进行分类、比较。

31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。

33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。

34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。

36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。

38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。

04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。

40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。

42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。

43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。

44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。

05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。

47、常让同学提问自己学过的知识。

48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。

49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。

51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。

52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。

53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。

54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。

06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。

56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。

58、自己到书店选择适合自己的参考书。

59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。