基于相空间重构理论的单变量金融时间序列波动预警

基于相空间重构理论的单变量金融时间序列波动预警
王朝勇;孙延风;裴志利
【摘要】针对单变量金融时间序列，本文基于相空间重构理论和Shannon信息
传输理论提出PSR－IDL波动预警方法，对深交所平安银行价格波动序列进行实证。

研究发现：在序列接近波动转换临界之前， PSR－IDL指数显著增加并且连续突破警戒阈值； PSR－IDL在接近波动转换临界点之前100天里有74天发出清晰预警信号，但经典的波动预警指标CSD却没有发出清晰稳定的预警信号。

这表明，在
缺少有效预测模型的情况下， PSR－IDL用作单变量金融时间序列波动临界转换预警是可行有效的。

%For the univariate financial time series , the paper proposed an early -warning method based on the PSR -IDL according to the theory of phase space reconstruction and Shannon information transmission and used it to carry out an empirical study on the daily closing stock price of Ping′an bank in the Shenzhen stock exchange market .The results showed the numerical value of PSR -IDL significantly increased and continuously exceeded the warning threshold value before the volatility series reached to the critical transition point .Experimental results showed that the clear warning pre-ceded the critical transition
point of volatility series by 100 trade days and accumulatively appeared for 74 days, while the classical early-warning index CSD could not deliver clear and stable signals for early warning .The study provided a proof of principle that the PSR -IDL may be used as an early -warning signal for the volatility critical transition of univa-riate financial time series even in the absence of a predictive model .
【期刊名称】《商业研究》
【年(卷),期】2015(000)002
【总页数】6页(P70-75)
【关键词】金融时间序列;波动预警;相空间重构;信息消散长度
【作者】王朝勇;孙延风;裴志利
【作者单位】吉林工程技术师范学院应用理学院，长春 130021;吉林大学计算机科学与技术学院，长春 130012;内蒙古民族大学计算机科学与技术学院，内蒙古通辽 028000
【正文语种】中文
【中图分类】F83
近年来，资产价格剧烈波动导致的金融危机对金融系统和实体经济都产生了较大的影响。

当市场参与者感受到金融波动增大时，都会采取避险行为，而各种决策的合力会使波动螺旋性扩大，助推风险进一步放大。

因此，建立有效的金融市场资产价格波动预警机制就显得尤为重要。

金融市场的参与者为了规避风险，往往利用投资和交易逐渐构筑了相互依赖、相互作用的网络系统[1-3]。

在这样复杂的金融动态网络系统里，由于缺少具有预测能力的洞察机制，使得提前探查到金融波动临界转换是相当困难的[4]。

然而，波动临界转换通常是由于系统内大部分系统单元突然并且同时发生了改变，导致系统整体进入波动的临界状态。

这一外在表现反映出系统内单元之间相互作用而形成长期关联性的本质，即系统内的任一单元在某种程度上都能感知其它元素的状态。

而这种感知，实质就是信息传递。

因此，通过系统单元之间信息传递的度量，便可测得
彼此关联的强度，从而实现探查波动转换临界的目的[1]。

当前，国际上最有影响力的波动预警指标是临界慢化 (Critical Slowing Down，CSD)，它是指当系统大幅波动时，其自相关系数相应增加[5]。

CSD的理论依据是：相对于稳定系统，不稳定系统被扰乱后恢复到自然状态相对较慢。

换言之，系统越稳定，恢复到它的自然状态的趋势就越强，对瞬间扰动的反应就越快。

还有一些针对高维时间序列的预警指标，例如系统信号的空间相关性和方差[6]。

文献 [1]提出了信息消散长度(Information Dissipation Length,IDL)并将其成功应用于雷曼兄
弟破产事件预警中，其所用数据来自于ING银行的欧元和美元期货的不同交割年
份的日利率互换价格序列，这从研究对象层面上看，属于多变量时间序列问题。

然而，面对现实客观的限制，很多时候许多问题都无法归结为多变量时间序列问题，这既有数据采集、数据质量的客观问题，也有影响因素确定的主观问题。

若能直接针对面向问题的单变量时间序列进行研究，既可以简化解决问题的过程，也是对金融时间序列研究方法的完善。

为此，本文在文献[1]的工作基础上，引进相空间重
构理论，对单变量金融时间序列波动预警问题提出了PSR-IDL预警方法，并用数
值检验对其有效性进行了验证，结果表明该方法是有效、稳定的。

(一)CSD预警方法
临界慢化CSD预警方法[5]的核心理论是，当一个随机强制系统接近由控制参数的阈值所决定的分叉点时，临界慢化试图使系统波动的自相关和方差放大。

举一个例子：假设一系统变量在每隔一个时期Δt，便有一次扰动；在两次扰动之间，平衡
状态的恢复是一个近似指数分布并且伴有恢复速度λ。

在一个简单自回归模型中，这一现象描述成如下数学表达式：
这里，εn代表服从正态分布的一个随机数，σ代表标准差。

引进yn代表平衡状态的变量x的偏差，则公式(1)又可以表示成：
yn+1=eλΔtyn+σεn
假如λ和Δt与变量yn相互独立，则公式(2)可以表示成如下一阶自回归模型：yn+1=c+αyn+σεn
当εn为白噪声数据时，自相关系数α≡eλΔt的值是零；否则，其值接近1。

一阶自相关过程的期望如下：
E(yn+1)=E(c)+αE(yn)+E(σεn)⟹μ=c+αμ+0⟹
当c=0时，期望值为零；方差Var(yn+1)=σ2/(1-σ2)。

当系统接近临界点时，系统恢复到平衡状态的速度降低，这意味着恢复速率λ趋近于0，并且自相关系数α趋近于1。

因此，系统变量的方差趋于无穷。

这些由控制参数的阈值所决定的临界慢化现象正是早期预警信号的特征。

(二)IDL预警方法
设代表对应不同交割期i=1,2,…,15在时刻t的IRS回报率代表相应的价格序列。

对于所测得的互信息采用以i为变量的指数衰减函数a+b·(f(t))1-i对其进行拟合，其中a是所有IRS回报率所共有的互信息，b是的正则化因子，并且f(t)是不同交割期回报率之间的互信息衰减率。

因此，IDL定义为log-1f(t)·log1/2。

通过构建向量和之间的关联表，互信息被估计出来[1]。

其中，w是在时刻t观测到的最近回报率样本数。

为了构建这样一个关联表，每一个向量值的范围被划分成大小可变的h个容器，使得在每个容器内包含相同数量的样本数。

如果两个观测的回报率被分到了同一个容器里，则认为二者相等。

(三)相空间重构
相空间重构是Takens基于混沌理论提出的一种非线性问题处理方法，目的在于从高维空间中恢复混沌吸引子，其理论依据是混沌吸引子包含有系统分量的相关信息[7]。

通过对给定的时间序列估计嵌入维数与时间延时，将原序列扩展到多维的空间中去，以便把时间序列中蕴藏的信息充分地显露出来。

Takens定理表明系统在重构的Rn空间中的轨迹与原动力系统保持微分同胚，即在拓扑等价的意义下恢复
系统原有的动力学特性，保持其混沌特征。

对于给定一个时间序列x=xn，
n=1,2,…,N，嵌入维数d和时间延迟τ的相空间矩阵X可通过行向量定义为
Xi=[xi+(d-1)τ,…,xi+τ,x i]，其中i=1,2,…,N-(d-1)τ。

Xi为相空间中的一个点。

相空间重构的关键在于嵌入维数d和时间延迟τ的选择[8]。

所以，只有选择恰当
的嵌入维数d和时间延迟τ，重构相空间才能够充分地反应系统运动的特征。

目前对于时间延迟的选择方法有自相关函数法、互信息量法等，而对于嵌入维数的选择有错误紧邻法、奇异值分析以及同时估计嵌入维数和时间延迟的C-C方法。

PSR-IDL预警方法的基本思想是：对给定的单变量金融时间序列，通过对其嵌入
维数与时间延时的估计，将原序列扩展到Rn空间中去，在保证重构的空间中的轨迹与原动力系统保持微分同胚的前提下，使蕴藏在单变量时间序列内的信息充分地显露出来，进而采用基于互信息理论的信息消散长度度量系统内部信息传递的强度，从而起到对单变量金融时间序列早期预警的作用。

PSR-IDL预警方法具体过程如下：设xt=f(t)∈L2(R)为单变量金融时间序列，定
义关联积分为：
其中
检测统计量为：
S1(m,N,r,t)=C(m,N,r,t)-Cm(1,N,r,t)
公式(6)在实际计算时，需要先把时间序列{x(n)}拆分为t个不相交的子序列，长度均为Ns=N/t，t为重构时延，即：
然后将公式(7)采用分块平均策略，计算每个序列的S(m,N,r,t)：
当N→∞时
定义增量为：
ΔS2(m,t)=max{S2(m,rj,t)}-min{S2(m,rj,t)}
上式度量了S2(m,r,t)～t对所有半径r的最大偏差。

所以局部最大时间t应该是
S2(m,r,t)的零点和ΔS2(m,t)的最小值，最优延迟时间τd对应着这些局部最大时间t中的第一个取的第一个零点或的第一个极小值作为时间序列独立的第一个局部最大值。

综合和取S2ωr(t)的全局最小值作为时间序列的时间窗口长度：τw=(m-1)τd，公式如下：
取得时间延迟τd和嵌入维数τw，依公式(7)得重构相空间。

其中，
Y={(y1,…,ytw)|[xt+(τw-1)τd,…,xt+τd,xt],t=1,2,…,N-(τd-1)τw}。

设sw为移动窗长度，则在时刻t序列和的互信息为：
其中这里pj是通过bins个容器对子序列的数值划分而统计得到的概率。

联合信息熵是通过联合信源的概率分布所获得，即：
于是，一组互信息值在时刻t便可获得。

设ft为信息在时刻t的损失率，并且以a+b·(ft)1-i形式在传递过程中损耗，其中a为所有子序列的共享信息，并且a与ft相互独立。

对上面所获得的互信息值进行指数衰减拟合，即y=a+b·ec(1-i)≈a+b·(ft)1-i，得到logft=c，于是，定义信息消散长度为：
PSRIDL(t)=log(1/2)/logft=log(1/2)/c
为了获得更加清晰的预警信号，在下面的实证检验中我们将采用风险度量常用的sigma原则(即PSRIDL的标准差)，以PSRIDL向上突破sigma作为预警系统即将进入临界转换状态的信号。

本实验数据来自深圳证券交易所A股市场的平安银行日收盘价的时间序列(股票代码：SZ000001)，数据采样区间是从1991年12月23日到2014年4月29日。

对平安银行日收盘数据所对应的单变量时间序列，首先采用嵌入维数和时间延迟同时估计的策略，得嵌入维数8以及延迟时间3；其次进行重构相空间得一个8维的多变量时间序列，从而满足互信息的使用条件。

在图1中，平安银行股票日收盘价时间序列展示在图1(a)部分，而对应的信息消
散长度IDL的指标在图1(b)部分。

选取了2个波动转换临界点，一个是图1(b)中
底部横坐标刻度为0所对应的2005年3月30日局部最低值，另外一个是图1(a)中上部横坐标刻度为0所对应的2007年11月1日局部最大值。

我们发现这2个波动临界转换点之前PSR-IDL的数值明显增大且向上突破预警阈值，而临界转换
点之后PSR-IDL的数值明显下降并重回预警阈值之下。

这一结果说明自组织转换
满足系统单元状态信息在系统内传输较长距离。

在图1(c)中，横坐标刻度为0对应的是波动转换临界点。

在第一个波动临界转换点，即图1(b)中标记为(1)的部分，第一次出现清晰的预警信号是在到达波动临界
转换点之前的220天，并且持续了8天，紧接着是在到达临界转换点的100天里连续出现了74天的预警信号；在第二个波动转换点，即图1(d)中横坐标刻度为0对应的点，对应图1(b)中标记为(2)的部分，第一次出现清晰预警信号是在到达波
动临界转换点之前的138天，并且持续了19天，紧接着是21天连续预警。

基于以上实证结果，我们得到两个结论：一是单变量时间序列的波动转换是隶属于自组织临界转换问题；二是PSR-IDL有能力检测到波动临界转换点，并且误报的
几率低。

这表明基于PSR思想所构造的子序列之间的序列相关性得到了有效度量，即信息消散长度能有效反应系统波动转换前后的状态变化。

另外，运用目前广泛使用的临界慢化预警方法，在所有移动窗口取值的情况下，计算了股票价格波动序列的一阶自回归系数，获得图2的代表性结果。

在图2中，我们发现当W=300和400时，在左侧竖线对应的临界点之前的确发
出了预警信号，但是在随后的第二个波动临界点却未能发出有效预警信号。

即使有突破预警阈值的现象发生，但也多是在临界转换之后，这对于预警来说，已经失去意义。

并且，在实验过程中，我们发现可以提供相对稳定的预警信号的参数值是很难设定的，这也说明，临界慢化对于单变量时间序列的波动预警随机性较强，稳定性不如我们提出的PSR-IDL方法强。

本文针对单变量金融时间序列波动预警问题，提出了PSR-IDL预警方法。

对深圳证券交易所的平安银行日收盘价格序列波动预警的实证检验以及与临界慢化的波动预警的对比分析表明，PSR-IDL预警方法是有效和稳定的。

PSR-IDL单变量时间序列波动预警方法的提出，不仅改善了波动预警的效果，而且对于单变量时间序列研究方法是一次完善。

当然，PSR-IDL预警方法在实际使用中也存在参数设定的随机性以及不能反映PSR-IDL曲线行为与不同金融事件之间的深层关系等不足，这是未来研究工作的重点。

【相关文献】
[1] Quax, Rick, Drona Kandhai, and Peter MA Sloot. Information dissipation as an early-warning signal for the Lehman Brothers collapse in financial time series [J]. Scientific reports, 2013, 3.
[2] Johnson, Neil F., Paul Jefferies, and Pak Ming Hui. Financial market complexity[J]. OUP Catalogue, 2003.
[3] May, Robert M., and Nimalan Arinaminpathy. Systemic risk: the dynamics of model banking systems[J]. Journal of the Royal Society Interface, 2010, 7(46): 823-838.
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[8] Kantz, Holger, and Thomas Schreiber. Nonlinear time series analysis [M]. Cambridge university press, 2004.。