学2019-2020学年高二数学下学期4月月考试题文(含解析)

学2019-2020学年高二数学下学期4月月考试
题文（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设i为虚数单位，则复数（1+i）2=
A. 0
B. 2
C. 2i
D. 2+2i
【答案】C
【解析】
试题分析：，故选C.
【考点】复数的运算
【名师点睛】本题考查复数的运算．复数的概念及运算是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．
2.在下列各散点图中，两个变量具有正相关关系的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正相关的知识，直接选出正确选项.
【详解】A,C两个选项散点不具有线性相关关系，B选项具有负相关关系，D选项具有正相关关系.故本小题选D.
【点睛】本小题主要考查散点图的识别，考查正相关关系，属于基础题.
3.复数（是虚数单位），则的模为（）
A. 0
B. 1
C.
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据模长的定义求得结果.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.
4.有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知
是指数函数；则是增函数”的结论显然是错误的，这是因为
A. 大前提错误
B. 小前提错误
C. 推理形式错误
D. 非以上错误
【答案】A
【解析】
“指数函数都是增函数”是错误的,即大前提错误,故选A.
5.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R如下，其中拟合效果最好的模型是（）A. 模型1的相关指数 B. 模型2的相关指数
C. 模型3的相关指数
D. 模型4的相关指数
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相关指数的意义知，相关指数的绝对值越接近1，相关性越强即可求解.
【详解】因为相关指数的绝对值越大相关性越强，
所以模型4的拟合效果最好，
故选：D
【点睛】本题主要考查了相关关系中相关指数的意义，属于容易题.
6.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】执行如图所示的程序框图可得，
第一次循环：满足判断条件，；
第二次循环：满足判断条件，；
不满足判断条件，此时输出结果，故选B．
7.利用反证法证明：若，则，假设为( )
A. 都不为0
B. 不都为0
C. 都不为0，且
D. 至少有一个为0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果.
【详解】的否定为，即，不都为0，选B.【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.
8.在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据，整理、分析数据得出“吸烟与患肺癌有关”的结论，并有99%的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（）
A. 吸烟人患肺癌的概率为99%
B. 认为“吸烟与患肺癌有关”犯错误的概率不超过1%
C. 吸烟的人一定会患肺癌
D. 100个吸烟的人大约有99个人患有肺癌
【答案】B
【解析】
∵“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过
的前提下认为这个结论是成立的，表示有99%的把握认为这个结论成立，与多少个人患肺癌没有关系，只有B选项正确，故选B.
9.已知两变量x和y的一组观测值如下表所示：
如果两变量线性相关，且线性回归方程为，则＝( ) A. － B. －
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算＝＝3，＝＝5，代入方程即可．
【详解】＝＝3，＝＝5，代入线性回归方程可得5＝3＋，解之得＝.故选D
【点睛】线性回归直线必过样本中心．
10.某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现K2的观测值k＝
6.023，根据这一数据查阅表，市政府断言“市民收入增减与旅游愿望有关系”这一断言犯错误的概率不超过( )
3
841
A. 0.1
B. 0.05
C. 0.025
D. 0.005
【答案】C
【解析】
【分析】
根据所给的这组数据的观测值，把观测值同临界值进行比较，6.023＞5.024，得到市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系，这一断言犯错误的概率不超过0.025．
【详解】∵K2=6.023，6.023＞5.024，
∴市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系，这一断言犯错误的概率不超过0.025，
故选C．
【点睛】本题考查独立性检验，只要把所给的事件和所给的表格进行检验即可，注意临界值表中得到的概率与可信度之间的关系．
11.某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如表关系，与的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（）
2
30
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】
将代入与的线性回归方程为得出对应销售额的预测值，然后再求残差．
【详解】因为与的线性回归方程为，
所以当时，
由表格当广告支出万元时，销售额为万元，所以随机误差效应（残差）为
故选A.
【点睛】本题考查利用线性回归方程进行误差分析，属于简单题．
12.观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）
A. 23
B. 75
C. 77
D. 139
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图形可归纳品字形上方数字为1，3，5，7，9，11，品字形下方第一个数为，2，4，8，，第2个数字与第一个数字的差为品字形上方的数字，即可求解.
【详解】由图形可知，
品字形上方数字为1，3，5，7，9，11可知，所求为第6个图形，
观察品字形下方第一个数字，可知规律为：，
即，
由规律可知，
所以，
故选：B
【点睛】本题主要考查了合情推理中的不完全归纳法，属于容易题.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是_____________.
【答案】乙
【解析】
【详解】假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲，则甲和丙说的都是假话，乙说的是真话，不满足题意；
假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙，
则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意；
假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙，
则甲、乙、丙说都是假话，不满足题意。

故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙。

故答案为：乙
14.复数的实部为．
【答案】
【解析】
复数，其实部为.
考点：复数的乘法运算、实部.
15.已知x，y之间的一组数据如下表所示，则回归方程
所表示的直线经过的定点为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据直线回归方程必经过点，即可求解.
【详解】因为，，
所以回归方程所表示的直线经过的定点为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了回归方程过定点问题，属于容易题.
16.设为虚数单位，复数的模为______．
【答案】5
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘法运算化简，然后代入复数模的公式，即可求得答案．
【详解】由题意，复数，则复数的模为
．
故答案为5
【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数模的计算，其中熟记复数的运算法则，和复数模的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知复数.
（1）求z的共轭复数；
（2）若，求实数a，b的值.
【答案】（1）（2），.
【解析】
【分析】
（1）根据复数的四则运算法则化简计算z，即可求出；（2）根据复数相等的条件计算即可求值.
【详解】（1）
∴
（2），即，
∴，
解得，.
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，共轭复数的概念，复数相等，属于中档题.
18.（1）已知，，用分析法证明：；
（2）已知实数a，b，c，d满足，用反证法证明：方程与方程至少有一个方程有实根.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由结论出发，根据不等式的性质探索命题成立的充分条件即可；
（2）假设结论不成立，利用判别式小于0可得
，与题设矛盾，即可证明原命题正确.
【详解】（1）要证明成立.由于，，
则证明，
即证成立，
即成立，
即成立即可，
由条件知成立，则成立.
（2）反证法：假设结论不成立，即方程与方程都没有实根，
则判别式满足，，
则，即，即，
即，与条件矛盾，
即假设不成立，则原命题成立.
【点睛】本题主要考查了分析法证明命题，反证法证明命题，属于中档题.
19.已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，.
（1）若是纯虚数，求m的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据纯虚数的概念，只需实部为0，虚部不为0即可求解；
（2）根据复数的几何意义，只需复数的实部大于0，虚部小于0即可求解.
【详解】（1）因为复数是纯虚数，
所以，且，解得；
（2）因为复数在复平面内对应的点位于第
四象限，
所以，解之得；
【点睛】本题主要考查了复数的概念，复数的几何意义，考查了运算能力，属于中档题.
20.某学校食堂对30名高三学生偏爱蔬菜与偏爱肉类进行了一次调查，将统计数据制成如下表格：
男生人4
女生人16
（1）求这30名学生中偏爱蔬菜的概率；
（2）根据表格中的数据，是否有99.5%的把握认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关？
附：，
【答案】（1）（2）有
【解析】
【分析】
（1）根据表格知30人中偏爱蔬菜的20人，利用古典概型计算即可；
（2）计算，与临界值比较可得出结论.
【详解】（1）由已知抽取学生总数30人，其中偏爱蔬菜的有人，
由古典概型的概率计算公式，
得所求的概率.
（2）由已知，列联表为
所以，
故有99.5%的把握认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关.
【点睛】本题主要考查了古典概型，独立性检验，属于中档题.
21.已知数列满足：，
（1）求，，；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；
【答案】（1），，.（2）猜想数列的通项公式为：，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据递推关系，求解即可;
（2）猜想，第一步验证时成立，第二步证明
成立的前提下，即可求证.
详解】（1）∵，，
∴当时，，
解得，
当时，，
解得，
当时，，
解得.
（2）猜想数列的通项公式为：，
证明：当时，成立，
假设当时，结论成立，即，
则当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，结论成立，
∴.
【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，数学归纳法证明，属于中档题.
22.国家二孩政策放开后，某市政府主管部门理论预测2018年到2022年全市人口总数与年份的关系有如表所示：
年份(年)0
人口数 (十万)5
（Ⅰ）请根据表中提供的数据，运用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）据此，估计2023年该市人口总数.
【附】参考公式：，.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）196万.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据表中数据，代入，，即可求出回归直线方程；
（Ⅱ）把x=5代入回归直线方程，即可得到结果.
【详解】（Ⅰ）由题设，得，，
，
，
∴，.
∴所求y关于x的线性回归方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）及题意，当时，.
据此估计2023年该市人口总数约为196万.
【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于中档题.
学2019-2020学年高二数学下学期4月月考试
题文（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设i为虚数单位，则复数（1+i）2=
A. 0
B. 2
C. 2i
D. 2+2i
【答案】C
【解析】
试题分析：，故选C.
【考点】复数的运算
【名师点睛】本题考查复数的运算．复数的概念及运算是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．
2.在下列各散点图中，两个变量具有正相关关系的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正相关的知识，直接选出正确选项.
【详解】A,C两个选项散点不具有线性相关关系，B选项具有负相关关系，D选项具有正相关关系.故本小题选D.
【点睛】本小题主要考查散点图的识别，考查正相关关系，属于基础题.
3.复数（是虚数单位），则的模为（）
A. 0
B. 1
C.
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据模长的定义求得结果.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.
4.有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知是指数函数；则是增函数”的结论显然是错误的，这是因为
A. 大前提错误
B. 小前提错误
C. 推理形式错误
D. 非以上错误
【答案】A
【解析】
“指数函数都是增函数”是错误的,即大前提错误,故选A.
5.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R如下，其中拟合效果最好的模型是（）
A. 模型1的相关指数
B. 模型2的相关指数
C. 模型3的相关指数
D. 模型4的相关指数
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相关指数的意义知，相关指数的绝对值越接近1，相关性越强即可求解.
【详解】因为相关指数的绝对值越大相关性越强，
所以模型4的拟合效果最好，
故选：D
【点睛】本题主要考查了相关关系中相关指数的意义，属于容易题.
6.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】执行如图所示的程序框图可得，
第一次循环：满足判断条件，；
第二次循环：满足判断条件，；
不满足判断条件，此时输出结果，故选B．
7.利用反证法证明：若，则，假设为( )
A. 都不为0
B. 不都为0
C. 都不为0，且
D. 至少有一个为0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果.
【详解】的否定为，即，不都为0，选B.
【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.
8.在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据，整理、分析数据得出“吸烟与患肺癌有关”的结论，并有99%的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（）
A. 吸烟人患肺癌的概率为99%
B. 认为“吸烟与患肺癌有关”犯错误的概率不超过1%
C. 吸烟的人一定会患肺癌
D. 100个吸烟的人大约有99个人患有肺癌
【答案】B
【解析】
∵“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过的前提下认为这个结论是成立的，表示有99%的把握认为这个结论成立，与多少个人患肺癌没有关系，只有B选项正确，故选B.
9.已知两变量x和y的一组观测值如下表所示：
如果两变量线性相关，且线性回归方程为，则＝( )
A. －
B. －
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算＝＝3，＝＝5，代入方程即可．
【详解】＝＝3，＝＝5，代入线性回归方程可得5＝3＋，解之得＝.故选D
【点睛】线性回归直线必过样本中心．
10.某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现K2的观测值k＝6.023，根据这一数据查阅表，市政府断言“市民收入增减与旅游愿望有关系”这一断言犯错误的概率不超过( )
3841
A. 0.1
B. 0.05
C. 0.025
D. 0.005
【答案】C
【解析】
【分析】
根据所给的这组数据的观测值，把观测值同临界值进行比较，6.023＞5.024，得到市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系，这一断言犯错误的概率不超过0.025．
【详解】∵K2=6.023，6.023＞5.024，
∴市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系，这一断言犯错误的概率不超过0.025，
故选C．
【点睛】本题考查独立性检验，只要把所给的事件和所给的表格进行检验即可，注意临界值表中得到的概率与可信度之间的关系．
11.某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如表关系，与的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（）
2
30
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】
将代入与的线性回归方程为得出对应销售额的预测值，然后再求残差．
【详解】因为与的线性回归方程为，
所以当时，
由表格当广告支出万元时，销售额为万元，所以随机误差效应（残差）为
故选A.
【点睛】本题考查利用线性回归方程进行误差分析，属于简单题．
12.观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）
A. 23
B. 75
C. 77
D. 139
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图形可归纳品字形上方数字为1，3，5，7，9，11，品字形下方第一个数为，2，4，8，，第2个数字与第一个数字的差为品字形上方的数字，即可求解.
【详解】由图形可知，
品字形上方数字为1，3，5，7，9，11可知，所求为第6个图形，
观察品字形下方第一个数字，可知规律为：，
即，
由规律可知，
所以，
故选：B
【点睛】本题主要考查了合情推理中的不完全归纳法，属于容易题.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是_____________.【答案】乙
【解析】
【详解】假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲，
则甲和丙说的都是假话，乙说的是真话，不满足题意；
假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙，
则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意；
假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙，
则甲、乙、丙说都是假话，不满足题意。

故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙。

故答案为：乙
14.复数的实部为．
【答案】
【解析】
复数，其实部为.
考点：复数的乘法运算、实部.
15.已知x，y之间的一组数据如下表所示，则回归方程所表示的直线经过的定点为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据直线回归方程必经过点，即可求解.
【详解】因为，，
所以回归方程所表示的直线经过的定点为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了回归方程过定点问题，属于容易题.
16.设为虚数单位，复数的模为______．
【答案】5
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘法运算化简，然后代入复数模的公式，即可求得答案．
【详解】由题意，复数，则复数的模为
．
故答案为5
【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数模的计算，其中熟记复数的运算法则，和复数模的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知复数.
（1）求z的共轭复数；
（2）若，求实数a，b的值.
【答案】（1）（2），.
【解析】
【分析】
（1）根据复数的四则运算法则化简计算z，即可求出；
（2）根据复数相等的条件计算即可求值.
【详解】（1）
∴
（2），即，
∴，
解得，.
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，共轭复数的概念，复数相等，属于中档题.
18.（1）已知，，用分析法证明：；
（2）已知实数a，b，c，d满足，用反证法证明：方程与方程
至少有一个方程有实根.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由结论出发，根据不等式的性质探索命题成立的充分条件即可；
（2）假设结论不成立，利用判别式小于0可得，与题设矛盾，即可证明原命题正确.
【详解】（1）要证明成立.由于，，
则证明，
即证成立，
即成立，
即成立即可，
由条件知成立，则成立.
（2）反证法：假设结论不成立，即方程与方程都没有实根，
则判别式满足，，
则，即，即，
即，与条件矛盾，
即假设不成立，则原命题成立.
【点睛】本题主要考查了分析法证明命题，反证法证明命题，属于中档题.
19.已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，.
（1）若是纯虚数，求m的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据纯虚数的概念，只需实部为0，虚部不为0即可求解；
（2）根据复数的几何意义，只需复数的实部大于0，虚部小于0即可求解.
【详解】（1）因为复数是纯虚数，
所以，且，解得；
（2）因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，
所以，解之得；
【点睛】本题主要考查了复数的概念，复数的几何意义，考查了运算能力，属于中档题.
20.某学校食堂对30名高三学生偏爱蔬菜与偏爱肉类进行了一次调查，将统计数据制成如下表格：
男生人4
女生人16
（1）求这30名学生中偏爱蔬菜的概率；
（2）根据表格中的数据，是否有99.5%的把握认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关？
附：，
【答案】（1）（2）有
【解析】
【分析】
（1）根据表格知30人中偏爱蔬菜的20人，利用古典概型计算即可；
（2）计算，与临界值比较可得出结论.
【详解】（1）由已知抽取学生总数30人，其中偏爱蔬菜的有人，
由古典概型的概率计算公式，
得所求的概率.
（2）由已知，列联表为
所以，
故有99.5%的把握认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关.
【点睛】本题主要考查了古典概型，独立性检验，属于中档题.
21.已知数列满足：，
（1）求，，；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；
【答案】（1），，.（2）猜想数列的通项公式为：，见解析【解析】
【分析】
（1）根据递推关系，求解即可;
（2）猜想，第一步验证时成立，第二步证明成立的前提下，
即可求证.
详解】（1）∵，，
∴当时，，
解得，
当时，，
解得，
当时，，
解得.
（2）猜想数列的通项公式为：，
证明：当时，成立，
假设当时，结论成立，即，
则当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，结论成立，
∴.
【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，数学归纳法证明，属于中档题.
22.国家二孩政策放开后，某市政府主管部门理论预测2018年到2022年全市人口总数与年份的关系有如表所示：
年份(年)0
人口数 (十万)5
（Ⅰ）请根据表中提供的数据，运用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）据此，估计2023年该市人口总数.
【附】参考公式：，.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）196万.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据表中数据，代入，，即可求出回归直线方程；
（Ⅱ）把x=5代入回归直线方程，即可得到结果.
【详解】（Ⅰ）由题设，得，，
，
，
∴，.
∴所求y关于x的线性回归方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）及题意，当时，.
据此估计2023年该市人口总数约为196万.
【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于中档题.。