湖北省孝感高级中学高二数学下学期期末考试试题 文

湖北省孝感高级中学2012—2013学年度高中二年级下学期期末考试
数 学（文科）
考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1． 设全集U 是实数集R ，{20},{2}M x x N x x =-≥=≤，则()u C M N =I （ ） A ．{2}
B ．∅
C ．{2}x x ≤
D ．{2}x x <
2． “0a ≥”是“函数()2f x ax =-在区间[1,2]-上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3． 已知命题:,ln(101)0x
p R ∀∈+>，则p ⌝为（ ）
A ．,ln(101)0x
x R ∀∈+< B ．00,ln(101)0x
x R ∃∈+> C ．,ln(101)0x x R ∀∈+≤
D ．00,ln(101)0x
x R ∃∈+≤
7． 下列命题中的真命题是（ ）
A ．x R ∃∈，使得3
sin cos 5
x x = B ．(,0),x ∃∈-∞使得21x
> C ．,x R ∀∈都有2
1x x ≥-
D ．(0,),x π∀∈都有sin cos x x >
8． 函数()ln f x x x =-的图象在(1,(1))f 处的切线的倾斜角为（ ）
A ．1-
B ．
4
π
C ．4π-
D ．34π
9． 若对正实数x ，不等式211a
x x
≤+都成立，则a 的最小值为（ ）
A ．1
B
C
．
2
D ．
12
10．若点(,)a b 在函数lg y x =的图象上，1a ≠，则下列点也在此图象上的是（ ）
A ．1(,)b a
B ．(10,1)a b -
C ．10
(
,1)b a
+
D ．2
(,2)a b
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

请将各题的答案填写在答题卷中对应的横线上。

11．化简160
2
[(2)](1)---的值为____________. 12．“2x >”是“
11
2
x <”的____________条件. 13．曲线3
ln y x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为____________.
14．若不等式12x x m --+≤对任意实数均成立，则实数m 的取值范围为__________. 15．若全集U R =，集合{215}A x x =+<，{ln(1)}B x y x ==+则()u C A B =I _______.
16．若1
2
2,2
()lg(1),2
x e x f x x x -⎧<⎪=⎨+≥⎪⎩，若(3)()3f f a +=，则实数a 的值为____________. 17．以下关于命题的说法正确的有____________（填写所有正确命题的序号）.
①“若2log 0a >，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a ≠，则0ab ≠”；
③命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a M ∈，则b M ∉”与命题“若b M ∈，则a M ∉”等价.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分12分）已知函数2
()23f x x ax =++，[4,6]x ∈-， （1）当2a =-时，求()f x 的值域；
（2）求实数a 的取值范围，使函数()y f x =在区间[4,6]-上是单调函数.
19．（本小题满分12分）已知0a >，设命题:x
p y a =在R 上单调递增，命题:q 不等式
210ax ax -+>对x R ∀∈恒成立，若“p 且q ⌝”为真，求a 的取值范围.
20．（本小题满分13分）已知,a b R ∈且1,1a b <<，试比较a b -与1ab -的大小，并证
明你的结论.
21．（本小题满分14分）某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与
投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）.
（1） 分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2） 已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A 、B 两种产品的生产. ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？
其最大利润约为多少万元？
22．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)()1
ax
f x x a R x =++∈+， （1）当1a =时，求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的极值； （3）求证：2222
1121311
ln(1)123n n n ----+>
+++⋅⋅⋅+
.
高二数学文科答案
一、选择题
DBDCD DCDDD 二、填空题 11．7
12．充分不必要
13．43y x =-
14．31m -≤≤
15．(,1][2,)-∞-+∞U
16．1或
17．②④
三、解答题
18．解：（1）2a =-时，22
()43(2)1f x x x x =-+=--
∴ 2x =时，min ()1f x =-
4x =-时，max ()35f x =
∴()f x 的值域为[1,35]-……………………………………………………………………6分
（2）对称轴x a =-，要使()f x 在[4,6]-上是单调函数
则4a -≤-或6a -≥
∴4a ≥或6a ≤-……………………………………………………………………………12分
19．解：若p 真：1a >……………………………………………………………………………3分 若q 真：2
4004a a a ∆=-<⇒<<
则q 假：4a ≥
∵p 且q ⌝为真
∴p 真q 假……………………………………………………………………………………9分 ∴1
44
a a a >⎧⇒≥⎨
≥⎩…………………………………………………………………………12分
20．证明： ∵1,1a b <<
∴10,10,10a b ab ±>±>->…………………………………………………2分若a b ≥则1(1)()(1)(1)0ab a b ab a b a b ---=---=-->
∴1ab a b ->-………………………………………………………………………7分若a b <则1(1)()(1)(1)0ab a b ab a b a b ---=-+-=+->
∴1ab a b ->-……………………………………………………………………12分∴1a b ab -<-………………………………………………………………………13分
21．解：（1）对A 产品1
(0)4
y x x =≥…………………………………………………………2分
对B
产品0)y x =≥ (4)
分
（2
）①1
98.254
y =⨯+=（万元） ∴平均投入生产两种产品，可获利8.25万元 (7)
分
②设投资B 产品x 万元，利润为y 万元 则投资A 产品18x -万元
∴1
(18)4
y x =
-+(018)x ≤≤
21
(18)
4
1
4)8.5
4
x =--=-+
∴4=即16x =时max 8.5y = (12)
分
∴投入2万元生产A 产品，16万元生产B 产品，利润最大，为8.5万元.………14分
22．（1）解1a =时，()ln(1)1
x
f x x x =++
+ ∴22
1(1)2()1(1)(1)x x x f x x x x +-+'=
+=+++ ∴(0)2f '=又(0)0f =
∴()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为2y x =………………………………………………4分
（2）22
1(1)1()(1)1(1)(1)a x ax x a
f x x x x x +-++'=
+=>-+++ 若11a --≤-即0a ≥ 则()0f x '>恒成立 此时()f x 无极值
若11a -->-即0a < 则11x a -<<--时 ()0f x '<
1x a >--时()0f x '>
此时()f x 在1x a =--处取极小值ln()1a a -++………………………………………8分 （3）当1a =-时 由（2）知min ()(0)0f x f == ∴ln(1)01
x
x x +-
≥+
即 ln(1)1
x x x +≥
+ 令1x n = 则 1
11ln(1)111n n n n
+≥=++
∴11ln()1n n n
+≥
+ 而
2211101(1)
n n n n n --=>++ ∴
211
1n n n ->+ ∴211
ln n n n n +-> ∴222223*********
ln ln ln ln
123123n n n n
+----+++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+ ∴22221121311
ln(1)123n n n
----+≥+++⋅⋅⋅+……………………………………………14分。