11-12学年高中数学 1.1.1 变化率问题同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2 1.1 第1课时变化率问题
一、选择题
1．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx( )
A．大于零B．小于零
C．等于零D．不等于零
[答案] D
[解析] Δx可正，可负，但不为0，故应选D.
2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变化到x0＋Δx时，函数的改变量Δy 为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
[答案] D
[解析] 由定义，函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D.
3．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为( ) A．3 B．0.29
C．2.09 D．2.9
[答案] D
[解析] f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.
f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.
∴平均变化率为f(－0.9)－f(－1)
－0.9－(－1)
＝
－1.71－(－2)
0.1
＝2.9，故应选D.
4．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，x A＝1，x B＝1.3，则直线AB的斜率为( )
A．2 B．2.3
C．2.09 D．2.1
[答案] B
[解析] f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.
∴k AB＝f(1.3)－f(1)
1.3－1
＝
5.69－5
0.3
＝2.3，故应选B.
5．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为( ) A．2－Δx B．－2－Δx
C．2＋Δx D．(Δx)2－2·Δx
[答案] B
[解析] ∵f(2)＝－22＋2×2＝0，
∴f(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)
＝－2Δx－(Δx)2，
∴f(2＋Δx)－f(2)
2＋Δx－2
＝－2－Δx，故应选B.
6．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则
Δy
Δx 等于( )
A ．2
B ．2x
C ．2＋Δx
D ．2＋(Δx )2
[答案] C
[解析]
Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)
Δx
＝[(1＋Δx )2＋1]－2
Δx
＝2＋Δx .故应选C.
7．质点运动规律S (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3
D ．9.3
[答案] A
[解析] S (3)＝12，S (3.3)＝13.89，
∴平均速度v ＝
S (3.3)－S (3)3.3－3
＝1.890.3
＝6.3，故应选A.
8．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3
、④y ＝1
x
中，平均变化率最大的是( )
A ．④
B ．③
C ．②
D ．①
[答案] B
[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1
x
在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－
1
1＋Δx
＝－
10
13
.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B. 9．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是( )
A ．v 0 B.
Δt
s (t 0＋Δt )－s (t 0)
C.
s (t 0＋Δt )－s (t 0)
Δt
D.
s (t )
t
[答案] C
[解析] 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C.
10．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一
点，则点Q 的坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1＋Δx ，14(Δx )2
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
Δx ，14(Δx )2
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1＋Δx ，14(Δx ＋1)2
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
Δx ，14(1＋Δx )2
[答案] C
[解析] 点Q的横坐标应为1＋Δx，所以其纵坐标为f(1＋Δx)＝1
4
(Δx＋1)2，故应选C.
二、填空题
11．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，Δy
Δx
＝________.
[答案] (Δx)2＋6Δx＋12
[解析] Δy
Δx
＝
(2＋Δx)3－2－(23－2)
Δx
＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx
Δx
＝(Δx)2＋6Δx＋12.
12．在x＝2附近，Δx＝1
4
时，函数y＝
1
x
的平均变化率为________．
[答案] －2
9
[解析] Δy
Δx
＝
1
2＋Δx
－
1
2
Δx
＝－
1
4＋2Δx
＝－
2
9
.
13．函数y＝x在x＝1附近，当Δx＝1
2
时的平均变化率为________．
[答案] 6－2
14．已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．[答案] 5 4.1
[解析] 当Δx＝1时，割线AB的斜率
k
1＝
Δy
Δx
＝
(2＋Δx)2－1－22＋1
Δx
＝
(2＋1)2－22
1
＝5.
当Δx＝0.1时，割线AB的斜率
k
2＝
Δy
Δx
＝
(2＋0.1)2－1－22＋1
0.1
＝4.1.
三、解答题
15．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．
[解析] 函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为
f(－1)－f(－3)－1－(－3)＝
[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]
2
＝2.
函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为
f(5)－f(0)
5－0
＝2.
函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为
g (－1)－g (－3)－1－(－3)
＝－2.
函数g (x )在[0,5]上的平均变化率为
g (5)－g (0)
5－0
＝－2.
16．过曲线f (x )＝2
x
2的图象上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线
AB ，求出当Δx ＝1
4
时割线的斜率．
[解析] 割线AB 的斜率k ＝(2＋Δy )－2(1＋Δx )－1＝Δy
Δx
＝2
(1＋Δx )2－2
Δx ＝－2(Δx ＋2)(1＋Δx )2＝－
7225
. 17．求函数y ＝x 2在x ＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？
[解析] 在x ＝2附近的平均变化率为
k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；
在x ＝2附近的平均变化率为
k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22
Δx ＝4＋Δx ；
在x ＝3附近的平均变化率为
k
3＝
f(3＋Δx)－f(3)
Δx
＝
(3＋Δx)2－32
Δx
＝6＋Δx.
对任意Δx有，k1＜k2＜k3，
∴在x＝3附近的平均变化率最大．
18．(2010·杭州高二检测)路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯．
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；
(2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率．
[解析] (1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为x m，AB为
身影长度，AB的长度为y m，由于CD∥BE，
则AB
AC
＝
BE
CD
，
即y
y＋x ＝
1.6
8
，所以y＝f(x)＝
1
4
x.
(2)84m/min＝1.4m/s，在[0,10]内自变量的增量为
x
2
－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，
f(x
2)－f(x1)＝
1
4
×14－
1
4
×0＝
7
2
.
所以f(x
2
)－f(x1)
x
2
－x1
＝
7
2
14
＝
1
4
.
1 4.
即人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率为。