局部解情况下的裂纹尖端单元划分

局部解情况下的裂纹尖端单元划分
［摘要］在弹塑性情况下，通过比较在无限大板情况下，裂纹尖端的单元采用无钝化的奇异单元和有钝化的非奇异单元有限元计算结果同Prandtl场的解析解进行对照，结果表明采用有钝化的非奇异单元在裂纹尖端区域的计算结果是正确的。

［关键词］断裂力学；有限元法；单元剖分
在弹塑性情况下，含裂纹的无限大板，在两端载荷的作用下，在裂纹尖端附近范围内，材料会发生强烈的非线性变形，这一非线性的塑性区内随着，应力场的奇异性凸显。

在有限元中，为了计算时裂纹尖端的塑性区的应力场，就需要对裂纹尖端进行单独的单元划分。

由于裂纹尖端的奇异性，因此对裂纹尖端的小范围区域内单元的划分有很高的要求，不同的划分形式使得有限元计算结果有着显著的差异。

一、裂纹尖端局部解析解
假设理想塑性材料，并且不可压缩，对于平面应变问题，有：
则可以采用塑性力学中平面滑移线理论。

含裂纹平面应变问题的滑移线（图1）
各分区的应力解为：
A区：A区的裂纹表面为自由，故为均匀应力区。

B区：该区有直线边为X轴，其上故也为均匀应力区。

C区（扇形区）：
这个由A，B，C三个区域构成的场，称为Prandtl场。

其应力应变场如图2所示
二、有限元计算模型和单元总体划分
对一近似无限大板的裂纹尖端进行有限元程序的计算，对该无限大板采用下图形式进行划分。

计算模型参数如下：
长L=150
宽W=50
裂纹长度b=25
非裂纹长度a=25
屈服极限
杨氏模量E=222.5GPa
波松比V=0.3
由于裂纹尖端应力场的计算需要较高的网格精度，所以把整个模型分为两组单元，第一组为围绕裂纹尖端的第一圈单元，其余为第二组单元。

第一组单元半径
三、裂纹尖端不同单元划分形式的比较
由于裂纹尖端对单元的划分具有极高的敏感度，采用不同的单元划分形式会对计算结果有不同的影响，甚至左右计算结果的正确性，所以，采用一种合适的单元划分形式会使有限元计算结果和真实的解析解十分吻合。

现对无限大板采用不同的划分形式进行比较
1．裂纹尖端不考虑钝化。

在无限大板网格划分不变的情况下，裂纹尖端的第一组单元采用奇异单元，围绕裂纹尖端的第一圈单元其裂纹尖端点都为同一节点，划分形式如下左图所示，其有限元结果如下右图所示。

2．裂纹尖端考虑钝化
在无限大板网格划分不变的情况下，裂纹尖端的第一组单元采用非奇异单元形式，围绕裂纹尖端的第一圈单元其裂纹尖端点的节点号随单元增长，但最内层节点的坐标值都为原点坐标（0，0），划分形式如下左图所示，其有限元计算结果如下右图所示
四、结论
通过以上的计算结果与滑移线场的解析解进行对照，可以明显地看出在弹塑性条件下，采用无钝化形式的奇异单元其计算结果仅在Prandtl场的B区（即0-45度）内的计算结果与解析解的结果相符合。

而采用有钝化单元形式的非奇异单元的计算结果在全部范围内都与Prandtl场解析解的结果相符合。

因此，在需要求解弹塑性裂纹（即需要求解裂纹尖端塑性区）应力场结果的情况下，必须采用有钝化形式的非奇异单元，才能得到准确的计算结果。

参考文献
[1] 丁遂栋，孙利民，《断裂力学》，机械工业出版社。

[2] 范天佑，《断裂理论基础》，科学出版社。

[3] 刘宝琛，蔺书田，静止裂纹尖端试验的HRR奇异场，力学学报，1993年1月。

[4] X.K.Zhu, Y.J.Chao , Characterization of Constraint of Fully Plastic Crack-Tip Field in Non-hardening Materials by the Three-Term Solution, International Journal of Solids an Structures 36(1999)4497-4517
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF阅读原文”。