专题02(第二篇)-备战2121年高考满分秘籍之数学压轴题天天练(解析版)

第一题
第二题
专题 02
高考满分秘籍之高考数学压轴试题天天练 02
【河南省洛阳市 2019 届高三第二次】如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角 ，
若向弦图内随机抛掷 200 颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大
约为（ ）
A ．20
B ．27
C ．54
D ．64
【答案】B
【解析】
设大正方体的边长为 ，则小正方体的边长，
设落在小正方形内的米粒数大约 ， 则，解得：
故选：B
【河南省许昌市、洛阳市 2019 届高三第三次】在四面体 中， 平面
若四面 的外接球的表面积为
，则四面
的体积为（
） A ．24
B ．12
C ．8
D ．4
【答案】C
【解析】
取 BC 的中点 E ，由 ，BC=2，所 为等腰三角形 ，AE=3，CE=1，所
外接圆的圆心 在 AE 上.设 外接圆半径为 r ，则在直角三角形
中
，设四
面体
的外接球球心为 O ，连接
,
， ， ，
第三题
第四题
则平面 ABC,平 ，所 ∥,又 OA=OB=OC=OD ，所以
设四面体 的外接球的半径为 R ， ，
,在直角三角形
中
,
故选 C.
【湖南省衡阳市 2019 届高三二模】若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数 ，
中，与函数 不．是．
亲密函数的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】
易知幂函 定义域 ，偶函数， 上 ， 上 ，.四选项中函数
的定义域都 且都为偶函数，单调性也
保持一致， 显然
上递增，又 ， 递增，当
，除
（显
）外，其他
函数 值都趋向
.故选 B.
【河南省许昌市、洛阳市 2019 届高三三模】已知数
，
的 项和分别 ，
， ，
，
，
恒成立， 的最小值为（
）
A ．
B ．
C ．49
【答案】B
【解析】
当时 ，解 . 时， ， ，两式
相减并化简得 ， 由 于 ， 所以
， 故 是
,
,
,
所以
首项，公差的等差数列，所.则，故
，由是单调递增数列，，故的最小值为，故选B.
第五题
【河南省许昌市、洛阳市2019 届高三第三次】已，曲与有公共点，且在公共点处的切线相同，则实的最小值为（）
A．0 B．C．D．
【答案】B
【解析】
由，，由，.
设两曲线的公共点，因为两曲线在公共点处的切线相同，
所以，由，，，所，消得
，
设，，
，此，又，
时，，所时取极小值.
故选B.
第六题
【河南省洛阳市2019 届高三第二次】若函恰有两个极值点，则实的取值范围为（）
A．C．D．
【答案】D
【解析】
作出 的简图如下：
要使得 有两个不同的实数根，则 由题可得：
，
因为函 恰有两个极值点， 所以函
有两个不同的零点.
令
，等价转化成 有两个不同的实数根，
记：
，所以 ，
当
时， ，此时函 在此区间上递增，
当
时， ，此时函 在此区间上递增， 时
，此时函
在此区间上递减，
，即 ，
整理得 .
故选：D
第七题
【河北省衡水中学2019 届高三下学期一调】已知抛物的焦点，，是抛物线
上的两个动点，，则的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
因为，
所以，
在中，由余弦定理得：
，
又，
所以，
所以，
所以的最大值为，
故选B.
第八题
【河南省许昌市、洛阳市2019 届高三第三次】已知，，且，则的最小值为．
【答案】
【解析】
因为，所，
=（当且仅当即，时取等号），
所以的最小值为，
故答案
.
【湖南省衡阳市 2019 届高三二模理】若函与函 的图象存在公切线，则实
的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】C
【解析】
设公切线与函 ，分别切于 ，，则 ，的切线分别为：
，两切线重合，则有 代入
，构造函数：
，
只须
.
，
，
，
，∴
，
.欲合题意，
【河南省许昌市、洛阳市 2019 届高三第三次检测】已知过椭圆 的左顶 作
直交轴于 ，交椭圆于 ， 是等腰三角形， ，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【解析】
因 是等腰三角形 ，所 .
设
，因
，所
，
得，,又 Q 在椭圆上，
所 ，
，又 ， 所以
，
，
，
,
第十题 第九题
、
得：
，
， ，
.
故答案为.
第十一题
【河南省洛阳市2019 届高三第二次】正四面中是的中点是上一动点的最小值，则该四面体内切球的体积为.
【答案】
【解析】
如下图，正方体中作出一个正四面
将正三角和正三角沿边展开后使它们在同一平面内，如下图：
要使最小，三点共线，即，
设正四面体的边长，在三角中，由余弦定理可得：
，解得，
所以正方体的边长为2，正四面体的体积为：，设四正面体内切球的半径，由等体积法可得：，
整理得：，解得：，
所以该四面体内切球的体积为.
第十二题
【河北省衡水中学2018 届高三十五模】若存在一个实，使成立，则为函的一个不动点.设
函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足
，且当时，.若存，且为函数的一个不动点，则实的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
∵f（﹣x）+f（x）=x2
∴令，
∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2
∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，
∵F′（x）=f′（x）﹣x，
且当0 时，f′（x）＜x，
∴F′（x）＜0 对x＜0 恒成立，
∵F（x）为奇函数，
∴F（x）在R 上单调递减，
∵f（x）+ ≥f（1﹣x）+x，
∴f（x）+ ≥f（1﹣x）+x﹣，
即F（x）≥F（1﹣x），
∴x≤1﹣x，
x0≤，
∵为函的一个不动点
∴g（x0）=x0，
即h（x）= =0 在]有解．
∵h′（x）=e x-，
∴h（x）在R 上单调递减．
∴h（x）min=h（）=﹣a 即可，
∴a≥
．
故选：B
第十三题
【河南省洛阳市2019 届高三第二次】已知直与：相交，两点，为圆周上一点，线的中在线上，，．
【答案】
【解析】
依据题意作出如下图象，其，垂足，
所以为线的中点，
由题可得：原点到直的距离，
不妨，可得，，
则，
在中，有，
在中，有，
联立方程组（1）（2），解得：
【河南省许昌市、洛阳市2019 届高三第三次检测】某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15 至45 岁的人群，按比例随机抽取了300 份，进行了数据统计，具体情况如下表：
组别年龄
组统计结果组统计结果
经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车
27 人
13 人40 人20 人
23 人17 人35 人25 人
20 人20 人35 人25 人
（1）先用分层抽样的方法从上述300 人中按“年龄是否达到35 岁”抽出一个容量为60 人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35 岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.
①求这60 人中“年龄达到35 岁且偶尔使用单车”的人数；
②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35 岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有3 份礼品赠送给其中3 人，每人1 份（其余人员仅赠送骑行优惠券）.已知参加座谈会的人员中有且只有4 人来组，组这4 人中得到礼品的人的分布列和数学期望；
（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记岁）有关”的结论.在用独立性检验的方
参考公式，其中.
【答案】(1) ①9 人②见解析；(2)
【解析】
第十四题
（1）①从 300 人中抽取 60 人，其中“年龄达到 35 岁”的有 人，再将这 20 人用分层抽样法按“是
否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数.
②组这 4 人中得到礼品的人的可能取值为 0，1，2，3，相应概率为：
，
.
故其分布列为
1
2
3
∴.
（2）按“年龄是否达到 35 岁”对数据进行整理，得到如下列联表：
经常使用单车
偶尔使用单车 合计 未达到 35 岁 125 75 200 达到 35 岁 55 45 100 合计
180
120
300
时，由（1）中的列联表，可求
的观测值
.
时，按“年龄是否达到 25 岁”对数据进行整理，得到如下列联表：
经常使用单车
偶尔使用单车 合计 未达到 25 岁 67 33 100 达到 25 岁 113 87 200 合计
180
120
300
可求 的观测值
.
，
，
∴，
欲使犯错误的概率尽可能小，需
.
【湖南省衡阳市 2019 届高三二模理】已知椭圆 上 ，过 作两直线分别交
于点 ， ，当点 ， 关于坐标原点 对称且直线 ， 斜率存在时， .
（1）求椭 的标准方程； （2）若直 ，关于直 对称， 面积最大时，求直 的方程.
【答案】 （2）
【解析】
（1） ，关于坐标原 对称， ，，依题：
，故椭圆 的标准方程
.
（2）设 ， ，依题： ，设直线 ，
，.
同 ，
.
设直 ：
，
，
，
取等）
故直线 方程
.
【河南省洛阳市 2019 届高三第二次】已知椭圆 ： ， 为坐标原点， 为椭
第十五题
第十六题
， .（
，
，
圆的左焦点，离心率为 ，直与椭圆相交 ，两点. （1）求椭 的方程； （2） 是 的中点 是椭 上一点，
的面积最大值.
【答案】 ；（2）
.
【解析】 ∵
， 为椭圆 的左焦点，
设椭 的焦距 ，所 ， ∵离心率 ，∴ ，又
，所以
，
∴椭圆 的方程为.
（2） ，
. ∵
是 的中点，∴直 的斜率存在，设斜率 ，
则直 的方程为
，
.
由
联立，整理得
，
因为直线与椭圆相交，所 成立.
∴
，
，
∴ ，
∴
∴直 的方程为
，
，
∴ .
要
的面积最大值，
是定值， 点 的距离最大即可.
设与直线 平行的直线方程为：
，
由方程组联立，，
令，.
∵是椭上一点，
∴点的最大距离，即直到直的距.
而，
此.
因此，的面积最大值.
第十七题
【河南省许昌市、洛阳市2019 届高三第三次检测】已知函. （1）讨的极值点的个数；
（2）若方在上有且只有一个实根，的取值范围.
【答案】(1) 时有一个极值点；时有两个极值点.
(2) 或
【解析】
（1）的定义域为.
由得.
当时，得，得，
∴在上单调递增，
在上单调递减在处取得极小值，无极大值；
当，时，得，或，
得，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
在
处取得极小值， 处取得极大值.
综上，当 时， 有一个极值点；当 时，
有两个极值点.
（2）当 时，设
，
则
在
上有且只有一个零点.
显然函 与
的单调性是一致的.
① 时，由（1）知函 在区
上递减 上递增，
所 在
上的最小值
， 由于 ，要
在
上有且只有一个零点， 需满足 或
，解得
.
②当 时，因为函数
在
上单调递增，
上单调递减，在
上单调递增.
∵
，∴当 时，总
.
，又
∴ 在 上必有零点.
∵
∴当
在
上单调递增，
时， 在
上有且只有一个零点.
综上，
或
时，方
在
上有且只有一个实根.
【湖南省衡阳市 2019 届高三二模理】已知函.
（1）求函
的单调区间；
（2）解关 的不等式
.
【答案】（1）见解析；（2）
第十八题
∵ ，
∴
，
，
.令
， ， 【解析】
（1）依题：
在定义域上单调递增， ∴
， ； ，
， .
.
证
证 ，，.
.
.
，
，∴
（2）【法一】当 时， ，不合题意. 当时，不等式左右相等，不合题意.
当
时，易证 ，现证： ，证：
.
令
，
，∴
，∴
.
∴合题.
当
时，不等
，
，
，
易证 ，∴
，
，
综上可得： .
【法二】 当 时 ，不合题意.
当
时，不等式左右相等，不合题意.
当 时，易证：
，现证：
， 证：
.
∴
，∴
，∴
合题.
当
先证：
时，
证
，易证：
证
令， 时 ，∴.
综上可得
.
【河南省洛阳市 2018-2019 学年高中三年级第二次统一考】已知函.
（1）讨论函 的单调性； （2）
，函
在区
上恰有两个零点， 的取值范围. 【答案】（1）详见解析 .
【解析】
的定义域 ，
①
时 ，所 在上单调递增；
②时， 得
，
得
.
即
在
上单调递减， 上单调递增.
综上： 时 在
上单调递减； 当
时
在
上单调递减，
上单调递增.
（2）
时，由（1） 在上单调递减， 上单调递增，
①
， 时
在上单调递增，
，
在区 上无零点.
②
，
时
在
上单调递减，
上单调递增，
.
∵
在区间
上恰有两个零点，
第十九题
（1） .
∴.
③若，即
，时，在上单调递减，
，在区上有一个零点.
综上，在区间上恰有两个零点时的取值范围.
第二十题
【河北省衡水中学2019 届高三下学期一调】如图①，中，的中点，在的延长线上，.固定，在平面内移动顶，使得分别与，的延长线相切，并
始终的延长线相切于，记顶的轨迹为曲. 所在直线轴为坐标原点建立平面直角
坐标系，如图②所示.
（1）求曲的方程；
（2）过的直与曲交于不同的两，，直，分别交曲于，，，
，的取值范
围.
【答案】（2）
【解析】
（1）由题意，，
设动与的延长线相切于，与相切于，
，
所
，
所以的轨迹是，为焦点，长轴长的椭圆，且挖去长轴的两个顶点，
则曲线的方程.
（2）设，，，由题意得，
则，.
由，得，即.
当直与轴不垂直时，直的方程为，即，
代入椭的方程并整理，
则，，故.
当直与轴垂直时，的横坐标为，显成立.
同理可.
设直的方程，
代入椭的方程并整理.
由题意得，
解得.
又，
所以.
由，得，
故的取值范围.
第二十一题
【湖南师范大学附属中学2019 届高三月考（五)】已知函有两个不同的极值点.
（1）求实数的取值范围；
设 ，则直线 y ＝a 与 因为
，由
，且 ，
，
，即
.
此时
在
和
内各有 1 个零点，且
（2） ，讨论函数 的零点个数. 【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)
时，
有 2 个零点；
时，
有 1 个零点；
时，
没有零点． 【解析】
(Ⅰ)由题意，求 ，因 有两个不同的极值点， 有两个不同的零
点． 令 ，则
，
.
函
的图象有两个不同的交点．
，得 ln x ＜0，即
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，从 .
因为当
时
；当
时 ； 时 ，
所以 a 的取值范围．
(Ⅱ)因 ，为
的两个极值点， ，为直 与曲 的两个交点的横坐
标． 由(Ⅰ)可知， 因为当
或 时 ；当
时， ，即 ，
则在，
上单调递减，
上单调递增，
所 的极小值点 ，极大值点 .
当
时，因为
， ，
，则 ，
所以
在区间
内无零点．
因为 ①当
，即
时，
.
，
，则
又
，则
，所以
.
②，时，此在内有1 个零点，且.
③，时，此在内无零点，且.
综上分析，时，有2 个零点；时，有1 个零点；当时，没有零点．
21。