关于 版高等数学课后习题答案复旦大学出版社李开复编

高等数学（上）
第一章 函数与极限
1. 设
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<=3||,03|||,sin |)(π
πϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2
x f ； ⑵()x f sin ；
⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么
（1）][；，
－的定义域为所以知－11)(,11102
2
x f x x ≤≤≤≤ 3. 设
()⎪⎩
⎪⎨⎧>-=<=1
110
11
x x x x f ，()x
e x g =，求()[]x g
f 和()[]x f
g ，并做出这两
个函数的图形。

4. 设数列{}n
x 有界, 又,
0lim =∞
→n
n y
证明: .
0lim =∞
→n
n
n y
x
5. 根据函数的定义证明: ⑴ ()813lim 3
=-→x x
(2) 0sin lim =+∞
→x x x
6. 根据定义证明: 当0→x 时,函数x x y 21+=是无穷大.问x 应满足什么条件时,才能使?104
>y 7. 求极限:
⑴
1
3lim
223+-→x x x =0
⑵ ()h
x h x h 2
2
lim
-+→=x h h x h h 2)2(lim 0
=+→
⑶
1
3lim 24
2+-+∞→x x x x x =0
(4) ()2
121lim n
n n -+++∞
→ =212)
1(lim 2
=
-∞→n n n n (5)
⎪⎭⎫ ⎝
⎛---→311311
lim x x x =
1)
1)(1(3
1lim 221-=++--++→x x x x x x
(6) ()2
2
32
22lim -+→x x x x =∞
8. 计算下列极限: ⑴ x
x
x 1
sin
lim 2
0→=0
⑵ x x x arctan lim ∞
→=0arctan .1
lim =∞
→x x
x 9. 计算下列极限:
⑴ x x x ωsin lim 0
→=ϖϖϖϖ=→.sin lim 0
x
x x ⑵ x x x 3tan lim 0
→=33cos 1.3sin lim 0
=→x
x x x ⑶ x
x x
x sin 2cos 1lim 0-→=
2sin .sin 2lim 20=→x
x x
x
(4)
x
x x 321⎪⎭⎫ ⎝
⎛-∞→lim =
6
6
20)21(lim ---→=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-e x x
x
（5）()x
x x 1
21+→lim =2
2.210
)
21(lim e x x
x =+→
（6）
x
x x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--∞→13lim =
2
1)2.(2
1)12
1(lim -+--∞→=-+e x
x
x
10. 利用极限存在准则证明:
⑴ 11211
lim 22
2
=⎪⎭
⎫
⎝⎛++++++∞
→πππn n n
n n n
故原式＝1
⑵ 数列 ,222,22,2+++的极限存在,并求其极限. 11. 当0→x 时, 2
2x x -与3
2
x x -相比, 哪一个是较高阶的无穷小
12. 当1→x 时, 无穷小x -1和()2
12
1x -是否同阶是否等价 13. 证明: 当0→x 时, 有
2
~
1sec 2
x x -.
14. 利用等价无穷小的代换定理, 求极限: x
x
x x 3
sin sin tan lim -→. 15. 讨论
()201
212
x x f x x x ⎧≤<=⎨
-≤≤⎩ 的连续性, 并画出其图形.
16. 指出下列函数的间断点属于哪一类.若是可去间
断点,则补充或改变函数的定义使其连续. ⑴
2
,
12
312
2==+--=x x x x x y
⑵ 1
1
311
=⎩
⎨
⎧>-≤-=x x x
x x y
1
x y ==0
17. 讨论函数()x
x x x f n
n
n 2211lim +-=∞→的连续性, 若有间断点, 判
别其类型。

18. 求函数
()6
33223-+--+=
x x x x x x f 的连续区间, 并求
()()
x f x f x x 3
lim ,lim -→→.
19. 求下列极限： ⑴ 5
2lim
20
+-→x x x =5
⑵ ()3
2sin lim 4
απ
α→=1
⑶ α
α
α
--→x x x sin sin lim αα
α
αα
cos 2cos 2sin
2lim
=-+-=→x x x x ⑷ (
)
x x x x x --++∞
→22lim 1
2lim
2
2
=-++=+∞
→x
x x x x x
⑸ x
x e
1lim ∞
→1
01
lim
===∞→e e
x
x
⑹ x x x sin ln lim 0
→01ln sin lim ln 0
==⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
=→x x x ⑺
2
11lim x
x x ⎪⎭⎫
⎝⎛+∞→21
2
11)11(lim e x x
x =⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+=∞→
20. 设函数
()⎩⎨
⎧≥+<=0
0x x
a x e x f x
, 应怎样选择a ，使()x f 在()+∞∞-,内连
续。

21. 证明方程b x a x +=sin 其中,0,0>>b a 至少有一正根，并且它不超过b a +.
22. 若()x f 在[]b a ,上连续，
b x x x a n
<<<<< 2
1
, 则在[]n
x x ,1上必有ξ, 使()()()()n x f x f x f f n
++=2
1
ξ.
23. 证明: 若()x f 在()+∞∞-,内连续, ()x f x ∞
→lim 存在, 则()x f 必
在
()
+∞∞-,内有
界.
[]{}内有界。

在，即，有则对，
＝取使即上连续，故有界在又即成立时，有当，，对证明：设),()()(),(1,max )(,,)(1)(,1)(1)(lim 111+∞-∞≤+∞-∞∈∀+≤∃-+<<->∃==∞
→x f M x f x A M M M x f M X X x f A
x f A x f X x X A x f x ε
第二章???导数与微分
典型例题解析
例1 设()f x 在0x 处可导，求000
()(3)
lim x f x x f x x x
→+--． 分析 所求极限与0()f x '的定义式子很相似，则由0()f x '的定义即可求解．
解 000()(3)lim x f x x f x x x
→+--=00000
[()()][()(3)]lim
x f x x f x f x f x x x
→+-+-- =000000
()()(3)()
lim 3lim 3x x f x x f x f x x f x x
x
→→+---+- =00()3()f x f x ''+=04()f x '．
错误解答 令03x x t -=，则03x x t =+，
000
()(3)lim
x f x x f x x x →+--=0(4)()
lim x f t x f t x
→+-=04lim ()x f t →' （1） =004lim (3)x f x x →'-=04()f x '． （2） 错解分析 式（1）用到()f x 在点t 的导数；式（2）用到()f x '在点0x 连续．但
是题目只是给出()f x 在0x 处可导的条件，而()f x 在0x 的邻域内是否可导以及()f x '在0x 处是否连续都未知．所以上述做法中的式（1）与式（2）有可能不成立．
例2 设()()()f x a bx a bx ϕϕ=+--，其中()x ϕ在(,)-∞+∞上有定义且在点a 处可导．试求(0)f '．
分析 求函数在某一点的导数可以用导数的定义来求；也可先求导函数，然后求导函数在该点的函数值，但在本题中函数()f x 的可导性未知，故只能用定义来求．
解 当0b ≠时，0()(0)lim 0
x f x f x →--=0
()()
lim
x a bx a bx x
ϕϕ→+-- =0
[()()][()()]
lim x a bx a a bx a x
ϕϕϕϕ→+---- =00
()()()()lim lim
x x a bx a a bx a b b bx
bx
ϕϕϕϕ→→+---+- =()()b a b a ϕϕ''+=2()b a ϕ'．
所以(0)f '=2()b a ϕ'．
当0b =时，()0f x =，(0)0f '=． 综上所述，(0)f '=2()b a ϕ'．
例3 设函数2()()()f x x a x ϕ=- ，其中()x ϕ的一阶导函数有界．求()f a ''． 分析 求函数在某一点的二阶导数可以用导数的定义来求，但必须先求出一阶导数；也可先求出二阶导函数，然后求二阶导函数在该点的函数值，但在本题中函数()f x '的可导性未知，故只能用定义来求．
解 由于2()2()()()()f x x a x x a x ϕϕ''=-+-，则有()0f a '=．又
()()
lim
x a f x f a x a
→''--=22()()()()lim x a x a x x a x x a ϕϕ→'-+--
=lim[2()()()]x a
x x a x ϕϕ→'+-=2()a ϕ, 所以()f a ''=2()a ϕ．
错误解答 因为
2()2()()()()f x x a x x a x ϕϕ''=-+-，
2()2()2()()2()()()()f x x x a x x a x x a x ϕϕϕϕ''''''=+-+-+-，
所以()f a ''=2()a ϕ．
错解分析 此解法错误的根源在于()x ϕ的一阶导函数有界并不能保证()
x ϕ二阶可导．而上述求解却要用到()x ϕ''．
注 此题用到如下结论：
a ．有界量与无穷小的乘积仍为无穷小；
b ．可导必连续．
例4 设()f x 的一阶导数在x a =处连续且0
()
lim 1x f x a x
→'+=，则（ ）． A ．()f x 在x a =处的二阶导数不存在． B ．0lim ()x f x a →''+一定存在． C ．()1f a ''=． D ．()2f a '=．
解 因为0()lim 1x f x a x
→'+=，所以0
lim ()0x f x a →'+=，由于()f x '在x a =处连续，故 ()0f a '=．
又因为00
()()()lim lim 1()x x f x a f a f x a x a a
x
→→'''+-+==+-，所以()1f a ''=．选C ． 例5 设()f x 在0x =的某个邻域内有定义，x 、y 为该邻域内任意两点且()f x 满足条件：
（1）()()()1f x y f x f y +=++； （2）(0)1f '=．
试证在上述邻域内()1f x '=．
分析 此处无法用求导公式和求导法则证明()1f x '=．由于()f x 的表达式未给出，故只能考虑从定义出发．如果用条件（2），则需先求出(0)f ．
证明 因为()f x 在0x =的某个邻域内有定义，记该邻域为E ，则对任意x 、y E ∈，有()()()1f x y f x f y +=++．令0y =，则(0)1f =-．于是对任意x E ∈，当x x E +∆∈及x E ∆∈时，考虑下列极限
0()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆=0
[()()1]()
lim
x f x f x f x x
∆→+∆+-∆ =0
()(1)
lim x f x x
∆→∆--∆ =0
()(0)lim x f x f x
∆→∆-∆ =(0)f '=1，
故()1f x '=，x E ∈．
例6（04研） 设函数()f x 连续，且(0)0f '>，则存在0δ>，使得（ ）． A ．()f x 在(0,)δ内单调增加． B ．()f x 在(,0)δ-内单调减少．
C ．对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >．
D ．对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >． 解 由导数定义知
()(0)
(0)lim 00
x f x f f x →-'=>-． 根据极限的保号性，知存在0δ>，当(,0)(0,)x δδ∈-时，有
()(0)
0f x f x
->． 因此
当(,0)x δ∈-时，有()(0)f x f <；当(0,)x δ∈时，有()(0)f x f >，故选C ．
注 函数()f x 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，题设告诉函数在一点可导时，一般应联想到用导数的定义进行讨论．
例7 设不恒为零的奇函数()f x 在0x =处可导．试说明0x =为函数()f x x
的哪一
类间断点．
解 由题设知()()f x f x -=-，令0x =可得(0)0f =．则
()
lim
x f x x
→=0
()0lim 0x f x x →--=(0)f '， 于是
()f x x
在0x =处有极限．从而0x =是()f x x
的可去间断点．
例8 设函数()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的（ ）．
A ．充分必要条件 ．
B ．充分条件但非必要条件．
C ．必要条件但非充分条件．
D ．既非充分条件又非必要条件．
分析 ()F x 表达式中含有绝对值符号，又要考查函数在一点的导数的存在性，因此要考虑函数的左右导数．
解 由导数定义
()(0)
(0)lim
x F x F F x →-'=-， 知
(0)(0)(0)(0)f f f f -''=-=-， (0)(0)(0)(0)f f f f +''=+=+，
可见(0)F '存在(0)(0)F F -+''⇔=，即(0)0.f =故选A ．
例9（01研） 设(0)0f =，则()f x 在点0x =可导的充要条件为（ ）．
A ．2
01lim
(1cosh)h f h
→-存在．
B ．0
1
lim (1)h h f e h
→-存在．
C ．2
01
lim
(sinh)h f h h
→-存在．
D ．0
1
lim [(2)()]h f h f h h
→-存在． 分析 本题主要考查导数的定义，另外也考查了某些无穷小量的阶以及它们的正负号．
解 注意到1cosh 0-≥，且0
lim(1cosh)0h →-=． 如果2
01
lim
(1cosh)h f h
→-存在．则
001(1cosh)(0)1()(0)1lim lim (0)21cosh 0202
h u f f f u f f u ++→→---'===---． 所以A 成立只保证(0)f +'存在，而不是(0)f '存在的充分条件．
如果0
1
lim (1)h h f e h
→-存在，则 0
()(0)
(1)lim
(0)0
u f u f f u →-'=-=--， 故B 是(0)f '存在的充要条件．
对于C ，
2
2
1(sinh)(0)sinh
(sinh)sinh 0f h f h f h h h h ----=⋅--， 注意到20
sinh
lim 0h h h
→-=，所以若(0)f '存在，则由右边推知左边极限存在且为零．若左边极限存在，则由
知上式左边极限可能不存在，故(0)f '可能不存在．
至于D ，
00111lim [(2)()]lim ((2)(0))(()(0))h h f h f h f h f f h f h h h →→⎡⎤
-=---⎢⎥⎣⎦
， 若(0)f '存在，上述右边拆项分别求极限均存在，保证了左边存在．而左边存在，不能保证右边拆项后极限也分别存在．故选B ．
例10（99研）
设20()(),0x f x x g x x >=⋅≤⎩
，其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处（ ）．
A ．极限不存在．
B ．可导．
C ．连续但不可导．
D ．极限存在但不连
续．
解 由于
0()(0)lim 0
x f x f x -→--=20()
lim x x g x x
-→⋅=0=(0)f -'，
()(0)
lim 0
x f x f x +
→--
=0
lim x +
→=0=(0)f +'， 故选B ．
例11 已知()f x 在x a =处可导且
()0f a >．求1
()
lim[
]()
n n f a n f a →∞+． 分析 题目条件是()f x 在x a =处可导，必然有()f x 在x a =处连续，从而可知该极限属于1∞型．
解 ()f x 在x a =处可导．则 且当n 充分大时1()0f a n
+>．故
1()lim[
]()n n f a n f a →∞+=1
()
exp{lim ln }()
n f a n n f a →∞+⋅ =1
()()
exp{lim
ln[1]}()n f a f a n n f a →∞+-⋅+ =1
()()
exp{lim
}()
n f a f a n n f a →∞+-⋅ =1
()()
1exp{lim }1()
n f a f a n f a n
→∞+-⋅=()exp{
}()f a f a '． 注 此题用到当0x →时，ln(1)x x +． 例12 讨论函数()|(1)|f x x x x =-的可导性．
分析 ()f x 的表达式含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号，本质上()f x 为分段函数．
解法1 由(1)0x x -≥可得1x ≥或0x ≤．由(1)0x x -<得01x <<．于是
3223
,10(),01
x x x x f x x x x ⎧-≥≤⎪=⎨-<<⎪⎩ 或， 可求得2
2
32,10
()23,01
x x x x f x x x x ⎧-><⎪'=⎨-<<⎪⎩ 或， 因为
0()(0)
lim 0x f x f x +→--=23
0lim x x x x
+→-=0，
0()(0)lim 0
x f x f x -→--=320lim 0x x x x
-→-=， 所以(0)0f '=，即()f x 在0x =处可导．而
1()(1)
lim
1x f x f x +→--=321lim 1x x x x +→--=1， 1()(1)
lim
1
x f x f x -→--=231lim 1x x x x -→--=1-，
则()f x 在1x =处不可导．
综上所述()f x 在1x =处不可导，()f x 在(,1)
(1,)-∞+∞上均可导．
解法2
依题意，()f x x =0x =和1x =处可能不
可导．故只需讨论在这两点的情形．
（1）0x =时，由于
0|||1|
lim
00
x x x x x →⋅⋅-=-， 故(0)0f '=．
（2）1x =时，由于
1|||1|
lim
1
x x x x x →⋅⋅--不存在， 故()f x 只在1x =处不可导，在(,1)
(1,)-∞+∞上均可导．
解法3 由于
()|(1)||||1|f x x x x x x x =-=⋅-，
由导数定义可知，||x 在0x =处不可导，而||x x 在0x =处一阶可导，因此，||x x 在任意点处均可导，再只需考查|1|x -的可导性．由导数定义可知，|1|x -仅仅在1x =处不可导，故()f x 仅在1x =处不可导，在(,1)(1,)-∞+∞上均可导．
例13 设2()lim 2tx t x
f x x e
→+∞
=+-，讨论()f x 的可导性． 分析 先应求出()f x 的表达式．本质上()f x 为分段函数． 解 由于
,0lim 1,00,0tx t x e x x →+∞
+∞>⎧⎪
==⎨⎪<⎩
， 则有
2
0,0(),02x f x x x x ≥⎧⎪
=⎨<⎪+⎩ ． 显然当0x >或0x <时，函数()f x 可导．下面讨论0x =时()f x 的可导性．由于
(0)f +
'=0()(0)lim 0
x f x f x +
→--=0
00
lim
x x
+
→-=0， (0)f -'=0()(0)lim 0
x f x f x -→--=2002lim
x x
x x -→-+=12
，
于是(0)f +'≠
(0)f -'，从而可知()f x 仅在0x =处不可导．
例14（05研）
设函数()n f x =()f x 在(,)-∞+∞内（ ）．
A ．处处可导．
B ．恰有一个不可导点．
C ．恰有两个不可导点．
D ．至少有三个不可导点． 解 由于
()n f x =133lim[||(1||
)]
n
n
n
n x x -→∞
+=13
3lim ||(1||
)
n n
n x x -→∞
+
易求得
33
,1()1,11,
1x x f x x x x ⎧>⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，
则
310()(1)1
(1)lim lim 311
x x f x f x f x x ++
+→→--'===--， 1
1()(1)11
(1)lim lim 01
1x x f x f f x x -
--→→--'===--， 故1x =为不可导点．同理1x =-也为不可导点．故选C ． 例15 设12()max{(),()}F x f x f x =的定义域为(1,1)-，其中
1()1f x x =+，22()(1)f x x =+，
试讨论()F x 的可导性．若可导，求其导数．
分析 本质上()F x 是分段函数即
112212
(),()()()(),()()f x f x f x F x f x f x f x ≥⎧=⎨<⎩，
由此可知需先解出不等式
12()()
11
f x f x x ≥⎧⎨
-<<⎩
与 12()()
11
f x f x x <⎧⎨
-<<⎩．
解
由12()()
11f x f x x ≥⎧⎨-<<⎩即21(1)11
x x x ⎧+≥+⎨
-<<⎩解得10x -<≤，此时()1F x x =+．
而由12()()
11f x f x x <⎧⎨-<<⎩即21(1)11
x x x ⎧+<+⎨
-<<⎩解得01x <<，此时2()(1)F x x =+．则有
且 当0x =时，
0()(0)
lim
x F x F x +→--=20(1)1lim x x x +→+-=2， 0
()(0)lim 0x F x F x -
→--=0(1)1lim x x x
-→+-=1，
即(0)(0)F F +
-
''≠，所以()F x 在0x =处不可导．故
1,10()2(1),01x F x x x -<<⎧'=⎨+<<⎩
．
例16 设函数
2
1
()1
x
e x
f x ax b
x ⎧≤⎪=⎨
+>⎪⎩，若要()f x 为可导函数，应如何选择,a b 解 显然当1x >及1x <时，()f x 可导，故要使()f x 为可导函数，只需使其在1x =处可导．由可导与连续的关系，应该首先选择,a b ，使其在1x =连续．因
(1)f e =，(1)f e -=，(1)f a b +=+，
故当a b e +=即b e a =-时，()f x 在1x =连续．又
2
2
121111()(1)11
(1)lim lim lim lim 2111
1x x x x x x f x f e e e x f e e e x x x x ------→→→→----'=====----， 111()(1)()(1)lim lim lim 111
x x x f x f ax b e ax e a e
f a x x x ++++→→→-+-+--'====---， 因此当2,a e b e ==-时，(1)f '存在，从而()f x 为可导函数．
例17 设()sin f x x =，2()x x ϕ=．求[()]f x ϕ'，[()]f x ϕ'，[(())]f x ϕ'．
分析 三个函数中都有导数记号，其中[()]f x ϕ'表示函数()x ϕ对x 求导，求得
()x ϕ'后再与f 复合；[()]f x ϕ'表示函数f 对()x ϕ求导，即()f u 对u 求导，而()u x ϕ=；[(())]f x ϕ'表示复合函数[()]f x ϕ关于自变量x 求导．
解 ()cos f x x '=，()2x x ϕ'=．则
[()]f x ϕ'=(2)f x =sin 2x ，[()]f x ϕ'=2cos x ，
以及
[(())]f x ϕ'=[()]()f x x ϕϕ''⋅=22cos x x ．
例18 设21ln sin ()x y x
-=．求dy dx
．
分析 本题既可直接由复合函数求导法则求导，也可利用微分的形式不变性先求出dy ，然后可得dy dx
．
解法1 直接由复合函数求导法则，令sin u v =，1ln x v x
-=，则
dy dx
=dy du dv du dv dx
⋅⋅
=2ln 22cos x u v x
-⋅⋅
=2ln 21ln sin 2()x x x
x
--⋅．
解法2 利用一阶微分的形式不变性
dy =21ln sin ()x d x -=1ln 1ln 2sin()sin()x x
d x x
--
=1ln 1ln 1ln 2sin()cos()()x x x d x
x
x
---=2ln 21ln sin 2()x x dx
x
x
--⋅
故
dy dx
=ln 21ln sin 2()2x x x
x
--⋅． 例19 设a
a x
a x a
y x
a a =++，0a >．求dy dx
．
分析 a
a x 为幂函数；a
x a 为指数函数与幂函数复合而成的函数；而x
a a 也为复合函数，它是指数函数与指数函数复合而成的函数．
解 dy dx
=()()()a
a
x
a x a x
a a '''++=1
ln ln ()()a
a
x
a a
x
a
a
a
a x e e -⋅⋅''⋅++
=1
ln ()ln ()a
a
x
a
a x a a x a x a a x a a a -''⋅+⋅⋅+⋅⋅
=1
12ln (ln )a
a
x
a
a x a a x a x a a a x a a a --⋅+⋅⋅+⋅⋅
=1
12ln (ln )a
a x
a
a
a x a
x
a
x ax a a a a --+⋅+⋅⋅+⋅．
例20 若()x ϕ'存在，2(sec )arcsin y x x ϕ=+．求dy ．
分析 可以先求出dy dx
，也可利用微分的形式不变性求一阶微分．
解法1 dy
dx
=22(sec )(sec )x x ϕ''=222(sec )sec tan x x x ϕ'⋅+
，
所以
dy =22
[2(sec )sec tan x x x dx ϕ'⋅．
解法2 dy =2[(sec )arcsin ]d x x ϕ+=2(sec )arcsin d x d x ϕ+=22
(sec )sec x d x ϕ'
=22
[2(sec )sec tan x x x dx ϕ'⋅+
．
例21 设(cos )cos2f x x '=．求()f x ''． 解法1 在(cos )cos2f x x '=的两边微分，得
(cos )cos 2sin 2f x d x xdx ''=-，
即
(cos )(sin )4sin cos f x x dx x xdx ''⋅-=-，
化简得
(cos )4cos f x x ''=．
令cos x t =，则()4f t t ''=．于是可得
()4f x x ''=，||1x ≤．
解法2 由于
2(cos )cos22cos 1f x x x '==-，
于是
2()21f x x '=-，其中||1x ≤．
所以()4f x x ''=，||1x ≤．
注 本题作变换cos t x =，则要求||1t ≤．故在最后需指明{|11}x x -≤≤是()f x ''的定义域．
例22 设2
sin ()y f x =且
f 有二阶导数．求22
d y
dx
．
解 y '=22cos ()()2f x f x x '⋅⋅=222()cos ()x f x f x '⋅⋅，
y ''=22222()cos ()2()2cos ()f x f x x f x x f x '''⋅+⋅⋅⋅2222()[sin ()]()2x f x f x f x x ''+⋅⋅-⋅⋅ =2222222222()cos ()4()cos ()4[()]sin ()f x f x x f x f x x f x f x ''''⋅+⋅⋅-⋅⋅． 例23 已知函数()f x 具有任意阶导数且2()[()]f x f x '=．则当n 为大于2的正整数时()()n f x 是（ ）．
A ．1[()]n n f x +⋅．
B ．1![()]n n f x +⋅．
C ．2[()]n f x ．
D ．2![()]n n f x ⋅．
分析 已知2()[()]f x f x '=．应求出()f x ''，(3)()f x ，．用数学归纳法推出n 阶导数．
解 当2n ≥时，2()[()]f x f x '=，()f x ''=2()()f x f x '⋅=32[()]f x ⋅，以及
(3)()f x =223[()]()f x f x '⨯⋅⋅=4123[()]f x ⨯⨯⋅=43![()]f x ⋅，， ()()n f x =(1)![()]n n f x '-⋅=1![()]'()n n f x f x -⋅⋅=1![()]n n f x +⋅．故选B ．
例24 设32()3||f x x x x =+，则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为（ ）． A ．0． B ．1． C ．2． D ．3．
解 逐阶计算导数来验证，记31()3f x x =，易见()1(0)n f 都存在，再记22()||f x x x =，则由求导公式和定义，有
3
23 0() 0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，，，2223, 0 ()3, 0x x f x x x ⎧≥⎪'=⎨-<⎪⎩
，26, 0()6, 0x x f x x x ≥⎧''=⎨
-<⎩, 即2
()6||f x x ''=，则有2
2
(0)(0)0f f '''==．由||x 在0x =不可导，知(3)2(0)f 不再存在，即2n =，
选C ．
例25 设2sin y x =．求(100)(0)y ．
分析 求函数的高阶导数一般先求一阶导数，再求二阶，三阶，．．．，找出n 阶导数的规律，然后用数学归纳法加以证明．或者是通过恒等变形或者变量代换，将要求高阶导数的函数转换成一些高阶导数公式已知的函数或者是一些容易求高阶导数的形式．用这种方法要求记住内容提要中所给出的一些常见函数的高阶导数公式．
解法1 y =2sin x =11cos22
2
x -．则
sin 2y x '=， 2cos2y x ''=， (3)22sin 2y x =-⋅， (4)32cos 2y x =-⋅， (5)42sin 2y x =⋅，
， (100)992cos 2y x =-⋅，
故(100)(0)y =992-．
解法2 利用公式()(sin )n kx =sin()2
n k k kx π⋅+．由2sin cos sin 2y x x x '==，得
(100)()y x =99992sin(2)2
x π
⋅+
， 故(100)(0)y =992-．
解法3 利用幂级数展开式()0()!n n f x a n =⋅．
2sin y x ==
11cos222x -=21001111
1
[12(2)(2)]222!4!
100!
x x x --+-+
-+
，
故(100)(0)y =992-．
注 解法3用到了幂级数展开式，这是第十章无穷级数的内容． 例26 设2ln(32)y x x =-+．求(50)y ． 分析 先求出223
32
x y x x -'=
-+，若继续求导，将很难归纳出n 阶导数的表达式．此
类有理分式函数，常常是将其分解为部分分式之和，再使用已有的公式．
解 由于2
2311
3212x y x x x x -'=
=+-+--，则 (50)
y =(49)(49)11()()12
x x +--=49495050
(1)49!(1)49!(1)(2)x x -⋅-⋅+--=505049!49!(1)(2)x x ----．
例27 设函数()y y x =由方程cos()0x y e xy ++=确定，求.dy dx
分析 由方程(,)0F x y =确定的隐函数的求导通常有两种方法，一是只需将方
程中的y 看作中间变量，在(,)0F x y =两边同时对x 求导，然后将y '解出即可；二是利用微分形式不变性，方程两边对变量求微分，解出dy ，则dx 前的函数即为所求．
解法1 在方程两边同时对x 求导，有
(1)sin()()0x y e y xy y xy +''+-+=，
所以
sin()sin()
x y
x y
y xy e y e x xy ++-'=-． 解法2 在方程cos()0x y e xy ++=两边求微分，得
cos()0x y de d xy ++=，
即()sin()()0x y
e
dx dy xy xdy ydx ++-+=，从而
sin()sin()
x y
x y y xy e dy dx e x xy ++-=-，所以 sin()sin()
x y
x y
y xy e y e x xy ++-'=-． 例28 设函数()y f x =由方程1xy y xe =+所确定．求0|x y ='，0|x y =''．
解 将0x =代入方程1xy y xe =+，得1y =．先求0|x y ='，下面用两种解法求0|x y ='． 解法1 对方程两边关于x 求导，可得
()xy xy y e x e y xy ''=+⋅⋅+．
将0x =，1y =代入上式中可求得0|1x y ='=．
解法2 对方程两边关于x 微分得
即2xy
xy
xy
dy x e dy xye dx e dx =++．化简得2(1)
1xy xy
dy e xy dx x e +=-．将0x =，1y =代入上式中求得0|1x y ='=．
下面求y ''．对等式()xy xy y e x e y xy ''=+⋅⋅+两边关于x 求导，得
y ''=2()()()()xy xy xy xy e y xy e y xy xe y xy xe y y xy '''''''++++++++，
将0x =，1y =，0|1x y ='=代入上式解得0|2x y =''=．
注 求y ''时，也可将等式
2(1)
1xy xy
e xy y x e +'=
-两边对x 求导求得，或利用对数求导法．请读者自行完成这两种方法，并比较一下孰优孰劣．
例29 设函数()y y x =是由方程()f y y x e e ⋅=所确定，其中()f x 具有二阶导数且
()1f x '≠．求22
d y
dx
．
解法1 对方程()f y y x e e ⋅=两边关于x 求导，得
()()()f y f y y e x e f y y e y '''+⋅⋅⋅=⋅，
即y '=()
()()f y y f y e e xe f y '-⋅=1()y y y e
x e e f y ⋅'-⋅=1[1()]
x f y '-，上式两端再对x 求导得
y ''=22
1{1()[()]}[1()]f y x f y y x f y ''''-⋅-+-⋅'-=
2
23()[1()][1()]f y f y x f y '''--'-．
解法2 方程()f y y x e e ⋅=两端取对数得
ln ()x f y y +=，
对其两端关于x 求导则有
1
()f y y y x
'''+⋅=， 解得y '=
1
[1()]
x f y '-．以下同解法
1．
注 利用原方程简化导数表达式是隐函数求导常用的方法之一，在求隐函数的高阶导数时尤其显得重要．
例30 求函数()1x x y x
=+的导数dy dx
．
分析 所给函数为幂指函数，无求导公式可套用．求导方法一般有两种：对数求导法和利用恒等式ln x x e =（0x >），将幂指函数化为指数函数．
解法1 对数求导法．
对等式()1x x y x
=+两边取自然对数得
ln [ln ln(1)]y x x x =-+，
两边对x 求导得
111[ln ln(1)]()1y x x x y x x
'⋅=-++-+， 解得
1()(ln )111x x x y x x x
'=⋅++++． 解法2 利用恒等式ln x x e =，（0x >）．
ln()[ln ln(1)]1()1x
x x
x x x x
x y e e x
⋅-++===+． 于是
y '=[ln ln(1)]{[ln ln(1)]}x x x e x x x ⋅-+'⋅⋅-+
=1(
)(ln )111x x x x x x
⋅++++．
注 一般的可导幂指函数()()v x y u x =均可采用上述两种方法求导． 例31 求由方程(cos )(sin )y x x y =所确定的函数()y x 的导数dy dx
．
分析 此题为幂指函数和隐函数求导数的综合问题． 解法1 对方程(cos )(sin )y x x y =两边取自然对数得
lncos lnsin y x x y =，
两端对x 求导，则有
sin cos ln cos lnsin cos sin x y
y x y y x y x y
-''⋅+⋅
=+⋅⋅， 解得
lnsin tan ln cos cot dy y y x dx x x y
+=
-．
解法2 原方程可变为ln cos lnsin y x x y e e =，即
lncos lnsin y x x y =．
对上式两边微分：
即lncos lncos lnsin lnsin xdy yd x ydx xd y +=+，
于是有sin cos ln cos lnsin cos sin y x x y xdy dx ydx dy x
y
-=+，由此解得
lnsin tan ln cos cot dy y y x dx x x y
+=
-．
例32 求函数y =
的导数．
分析 该题属于求多个函数的乘积或幂的导数，用对数求导法较好． 解法1 两端先取绝对值，再取对数得
1
ln ||ln(2)4ln |3|5ln |1|2
y x x x =++--+，
两边对x 求导，得
11452(2)31
y y x x x '⋅=--+-+．
所以145
()2(2)31
y x x x '=
--+-+．
解法2 y ==1452
(2)
(3)(1)x x x -+⋅-+
y '=1
45
21(2)(3)(1)2
x x x --+⋅-+13524(2)(3)(1)x x x --+⋅-+14625(2)(3)(1)x x x --+⋅-+
145
()2(2)31
x x x --+-+．
例
33 设21cos x t y t ⎧=+⎨=⎩
，则22d y dx =________．
分析 这是要求由参数方程确定函数的二阶导数，需要先求一阶导数．
解 dy dx
=dy
dt dx dt
=sin 2t t
-，
22d y dx =sin ()()2d dy d t dx dx dx t -=sin ()2d t dt dt t dx -=⋅=3
sin cos 4t t t
t -．
错误解答 dy
dx
=
dy dt dx dt
=sin 2t
t -，22
d y dx
=sin ()2t t
-'=2sin cos 2t t t t
-．
错解分析 出错的原因在于忽视了dy dx =sin 2t t
-是t 的函数，
t 为参数且是中间变量，而题目的要求是求()d dy
dx dx
．因此，在求这类函数的二阶或三阶导数时要注意避免这类错误发生．
例34 设()x f t '=，()()y tf t f t '=-且()0f t ''≠．求22
d y
dx
．
解 dy dx =
dy dt dx dt
=
(()())(())d
tf t f t dt d
f t dt
'-'=t ， 22
d y dx =
()d dy dx dx =()d dy dt dt dx dx ⋅=()d dt
t dt dx
⋅=11()f t ⋅
''=1()f t ''． 例
35 设()y y x =是由2
323
sin 10
y x t t e t y ⎧=++⎪⎨-+=⎪⎩所确定．求202|t d y dx =．
分析 此题为隐函数求导与由参数方程所确定函数的求导的综合问题．
解法1 在2323x t t =++两边对t 求导得
62dx
t dt
=+．
由sin 10y e t y -+=得0|1t y ==，对方程两边关于t 求导得
cos 1sin y y dy e t dt e t
=
-=cos 2y e t y
-．
则有0|t dy e dt ==，dy
dx
=
dy dt dx dt =
cos (2)(62)
y e t y t -+．故
2
2
d y dx =()d dy dt dt dx
dx
⋅=
23
(
cos sin )(2)(62)cos [6(2)(62)](2)(62)y y y dy dy
e t e t y t e t y t dt dt y t ⋅--+---⋅+-+，
所以202|t d y dx ==2234
e e
-．
解法2 由0t =得3x =，1y =．又
62dx
t dt
=+，
cos 1sin y y dy e t dt
e t =-=cos 2y e t y
-，
故dy
dx
=
dy dt dx dt
=
cos (2)(62)
y e t y t -+，0|2
t dy e dx
==，
22d y dx =cos (
)262y d e t dx y t ⋅-+=cos cos ()()622262y y t d e e d t dt
t dx y y dt t dx ⋅+⋅⋅+--+ =23
cos (2)(62)sin 6cos 62(2)2(62)y y y t y e e dy e t t t
t y dx y t -+-+-⋅⋅+⋅+--+，
所以202|t d y dx ==2234
e e
-．
解法
3 运用公式22
d y
dx
=
2222
3()d y dx dy d x
dt dt dt dt dx dt
⋅-⋅．
容易求出00|(62)|t t dx
t dt
===+2=，226d x dt =，0|1t y ==，对sin 10y e t y -+=两边分别关于t 求一阶
导数，得
从而0|t dy e dt
==，对sin cos 0y y dy dy e t e t dt
dt
⋅-+=两边分别关于t 求一阶导数，得
22222sin ()sin 2cos sin 0y y y y d y dy dy d y
e t e t e t e t dt dt dt dt
⋅+⋅+⋅--=， 由此可得22
02|2t d y e dt ==．于是将0|t dx dt =2=，226d x dt =，0|t dy e dt
==，2202|2t d y e dt ==代入公式
22
d y
dx =
2222
3()d y dx dy d x
dt dt dt dt dx dt
⋅-⋅，得202|t d y dx ==2234
e e
-．
例36（04研） 曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为________．
分析 求切线方程，需先求斜率即求一阶导数，利用两直线（不平行坐标轴）垂直的关系：斜率互为负倒数．
解 直线1x y +=的斜率为11k =-，由1(ln )y x x
''==得21k x
=，由121k k ⋅=-得1x =，从
而切点为(1,0)，于是所求切线方程为 01(1)y x -=⋅-，即1y x =-为所求．
例37（97研） 求对数螺线e θ
ρ=在点2(,)(,)2
e π
πρθ=处的切线的直角坐标方程．
分析 求切线方程，需先求斜率即求一阶导数，而对数螺线的方程为极坐标形式，故应先化为参数方程形式．
解 由e θ
ρ=知cos sin x e y e θθ
θθ
⎧=⎪
⎨=⎪⎩，点2(,
)2
e π
π
的直角坐标为2(0,)e π
．又由
dy dx
=
dy
d dx d θθ
=cos sin cos sin θθθθ
+-
可知，当2π
θ=时1dy
dx
=-．故所求切线方程为2(1)(0)y e x π-=-⋅-即20x y e π
+-=为所求．
例38 已知曲线()n f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ．求lim ()n n f ξ→∞． 分析 先求出切线方程，然后求出该切线与x 轴的交点坐标即可．
解 曲线在(1,1)处的切线斜率为
11(1)|n x k f n x n -='==⋅=，
故切线方程为1(1)y n x -=-．令0y =，得该切线与x 轴的交点的横坐标为11n n
ξ=-．于
是
lim ()n n f ξ→∞=1lim(1)n n n
→∞-=()(1)1
lim(1)n n n
-⋅-→∞
-=1e -． 例39 已知()f x 是周期为5的连续函数，其在0x =的某个邻域内满足关系式
(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+，
其中()x α是当0x →时比x 高阶的无穷小且()f x 在1x =处可导．求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程．
分析 求()f x 在(6,(6))f 处的切线方程，需求(6)f 与切线斜率(6)f '，而由(5)f x +=()f x ，可得(6)(1)f f =和(5)()f x f x ''+=，从而(6)(1)f f ''=．故问题转化为求(1)f 与(1)f '．
解 由题设条件有
lim[(1sin )3(1sin )]lim[8()]x x f x f x x x α→→+--=+，
从而(1)3(1)0f f -=，得(1)0f =．又
0(1sin )3(1sin )8()
lim
lim[]8x x f x f x x x x x x
α→→+--=+=， 从而 0
(1sin )3(1sin )sin lim 8sin x f x f x x
x
x
→+--⋅=， 即 0
(1sin )3(1sin )lim 8sin x f x f x x
→+--=． 令sin t x =，则有
0(1sin )3(1sin )(1)3(1)
lim
lim 8sin x t f x f x f t f t x t
→→+--+--==, 即
000
(1)3(1)(1)(1)(1)(1)
lim lim 3lim t t t f t f t f t f f t f t
t
t
→→→+--+---=+⋅-4(1)8f '==．
所以(1)2f '=．由(5)f x +=()f x ，可得(5)()f x f x ''+=．则 (6)(1)0f f ==，(6)(1)2f f ''==， 故所求切线方程为02(6)y x -=-，即2120x y --=为所求．
例40 现有一深为18cm 顶部直径为12cm 的正圆锥漏斗，内盛满水，下接一直径为10cm 的圆柱形水桶，水由漏斗进入水桶．试问当漏斗中水深为12cm 且其水面下降速度为1cm/min 时，圆柱形水桶中水面上升的速度为多少(其中cm 表示厘米，min 表示分钟．)
分析 设在时刻t 时刻漏斗水平面的高度为()h t cm ，水桶水平面的高度为
()H t cm ．关键在于建立()h t 与()H t 之间的函数关系，然后用导数的物理意义即可
求解．而由题设可知如下等量关系：在任何时刻t ，漏斗中的水量与水桶中的水量之和等于原来漏斗中的水量，据此问题不难求解．
解 设在时刻t 时漏斗中的水量与水桶中水量分别为1V 、2V ，则
22313111()()[()]()()3333
V r t h t h t h t h t π
ππ=⋅⋅=⋅⋅=⋅，225()V H t π=⋅⋅， 由于在任何时刻，12V V +均应等于开始时漏斗中的水量，即
231
61863
V ππ
=⋅⨯=，
即3233()5()63h t H t πππ⋅+⋅⋅=，解得33
311()[6()]253H t h t =
⋅-．对该等式两边关于t 求导得 2
211()()()253
H t h t h t ''=-
⨯⋅⋅， 将()12h t =cm ，()1h t '=-厘米/分钟代入上式则求得水桶中水平面上升的速度为
2
21
11612(1)25325v =-⨯
⨯⨯-=
厘米/分钟． 第三章??中值定理与导数的应用
典型例题解析
例1 验证函数()f x [0,1]上满足罗尔定理的条件． 解 因()f x 是在[0,1]上有定义的初等函数，所以()f x 在[0,1]上连续，且
在(0,1)内存在；(0)(1)0f f ==．故()f x 在[0,1]上满足罗尔定理的条件，由定理知至少存在一点
(0,1)ξ∈使()0f ξ'=．即2120ξ-=，于是解得
ξ(0,1)∈．
例2 已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，求证在(0,1)内至少存在一点ξ使等式()
()f f ξξξ
'=-
成立．
分析 要证()
()f f ξξξ
'=-成立，即证()()0f f ξξξ'+=，即[()]0x xf x ξ='=，作辅助函数()()F x xf x =，
对()F x 在区间[0,1]上应用罗尔定理．
证明 设()()F x xf x =，则它在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0F F ==．由罗尔定理知至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0F ξ'=，即()
()f f ξξξ
'=-
．证毕．
例3 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明对于任意实数λ，在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()f f ξλξ'=-．
分析 要证()()0f f ξλξ'+=，即证[()()]0e f f λξξλξ'+=，即
[(()())]|0x x e f x f x λξλ='+=，
即证[()]|0x x e f x λξ='=，作辅助函数()()x F x e f x λ=，并对()F x 在区间[,]a b 上应用罗尔定理．
证明 令()()x F x e f x λ=，易知()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且
()()0F a F b ==，
由罗尔定理知，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ'=，即[()()]0e f f λξξλξ'+=，而0e λξ≠，故
()()0f f ξλξ'+=，即()()f f ξλξ'=-，(,)a b ξ∈．证毕．
注 证明至少存在一点满足抽象函数一阶或二阶导数的关系式，且题中没有给出函数关系式的命题时，用罗尔定理证明的方法和步骤：
（1）把要证的中值等式改写成右端为零的等式，改写后常见的等式有
()()0f f ξξξ'+=， ()()()()0f g f g ξξξξ''+=，
()()0f f ξξξ'-=， ()()0f kf ξξξ'-=，
()()()()0f g f g ξξξξ''-=， ()()()()0f g f g ξξξξ''''-=，
()()0f f ξλξ'±=， ()()()0f f g ξξξ''±=
等等．
（2）作辅助函数()F x ，使()F ξ'等于上述等式的左端．对于（1）中所述等式，分别对应辅助函数()F x 为
()()F x xf x =， ()()()F x f x g x =，
()
()f x x F x =
， ()()k f x F x x =， ()
()()
f x F x
g x =
， ()()()()()F x f x g x f x g x ''=-， ()()x F x e f x λ±=， ()()()g x F x e f x ±=．
（3）在指定区间上对()F x 应用罗尔定理证明． 例4 设01,,,n a a a 为满足12
0023
1
n
a a a a n +
+++
=+的实数，证明：方程 2301230n n a a x a x a x a x ++++
+=在(0,1)内至少有一个实根．
分析 函数230123()n n f x a a x a x a x a x =+++++虽然在[0,1]上连续，但是难以验证()f x 在[0,1]的某个子区间的端点处的函数值是否异号，所以不能用闭区间上连续函数的零点定理，但发现函数23
1
310()23
1n n a a a F x a x x x x n +=+
+++
+在1x =处的值为 12
0(1)023
1
n
a a a F a n =+
+++
=+， 且(0)0F =，所以该命题可以用罗尔定理来证． 证明 作辅助函数23
1
120()231
n n a a a F x a x x x x n +=++++
+，显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且(0)0F =，12
0(1)023
1
n
a a a F a n =+
+++
=+．对()F x 在区间[0,1]上应用罗尔定理，则至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=，即
2301230n n a a a a a ξξξξ+++++=，
即方程2301230n n a a x a x a x a x +++++=在(0,1)内至少有一个实根ξ．证毕． 注 关于()0f x =的根（或()f x 的零点）的存在性的两种常用证明方法
证法1 如果只知()f x 在[,]a b 或(,)a b 上连续，而没有说明()f x 是否可导，则一般用闭区间上连续函数的零点定理证明；。