结构力学 第二十九讲力矩分配法和近似法
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计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
一、转动刚度S（劲度系数、抗弯刚度）：
表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
SAB=3i
11对等直杆，源自AB与杆的i（材料的S性AB质=i、横截面1的形状和尺寸、杆长）
= ∑S1j
式中∑S1j代表汇交于结点1的各 杆端转动刚度的总和。
Z1 1 4i12
2
4
2i12 3i13 1 i14
解典型方程得：
Z1=
3
(c) M1图
按叠加法
计算各杆端的最后弯矩。
结点1的各近端弯矩为：
M12=
M13=
M14= 以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。 第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩，这相当于把不 平衡力矩反号后按转动刚度大小的比例分配给近端，因 此称为分配弯矩，m12 、m13 、m14 等称为分配系数， 其计算公式为
及远端支承有关，而与近端支承无关。
SAB = 4i
二、弯矩分配系数m
如用位移法求1解：
D
设iAAD 点M 有iA力AZC1矩iAMB ，B 求MMAB、MAC和MMMMADAAABDC
4iABSZAB1=3iS ABZ1
iAC Z1 1 SAC Z1 3iADSZAB1=1i SAD Z1
目录
第九章 力矩分配法和近似法
§9-1 力矩分配法的基本概念 §9-2 用力矩分配法计算连续梁和
无结点线位移的刚架 §9-4 多层多跨刚架的近似计算
教学内容
第九章 力矩分配法和近似法
教学内容：力矩分配法的基本概念，用力矩分配法计算连 续和无结点线位移的刚架，多层多跨刚架的近似计算，反 弯点。 教学要求： 1、理解力矩分配法的物理意义，转动刚度、分配系数、 传递系数概念的物理意义，多层多跨刚架的近似计算； 2、掌握力矩分配法中正负号规定，能够根据远端的不同 支承条件熟练地写出各种情形的杆端转动刚度、向远端的 传递系数，并计算分配系数；掌握力矩分配法的主要环节， 力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架。 重点： 力矩分配法的基本原理，连续梁和无结点线位移 刚架的计算。 难点：多层多跨刚架的近似计算。
的各种“力矩一次分配法”，并提
出了更简化实用的方法。同时提出
了计算变截面梁、柱的“lo/l图矩面
积法”来计算各挠曲常数
一生撰写论文近40篇，出版著作7部
三、力矩分配法基本思想
弯矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解 的近似方法。
从数学上说，是一种异步迭代法。
单独使用时只能用于无线位移的结构。
分层法
无剪力分配法
1932年H.克罗斯首创力矩分配法。30～50年代 期间，各国学者发展了各种形式的渐近法，其中中 国学者蔡方荫在变截面刚构分析方面也作出了贡献。
二、名人介绍：中国科学院院士
蔡方荫
土木建筑结构专家。江西南昌人。
（1901—1963） 1925年毕业于清华大学。 分析和总
结了国内外常用一般刚构分析方面
第九章 力矩分配法和近似法
§9-1 力矩分配法的基本概念
本次课的内容
一、力矩分配法的提出 二、名人介绍：中国科学院院士 三、力矩分配法基本思想
四、可以用力矩分配法设计的实例 五、力矩分配法的基本概念
单结点的连续梁的力矩分配法
一、力矩分配法的提出
20世纪初,钢筋混凝土结构逐渐被用于工程结构, 并出现了刚架结构。于是以位移为基本未知数的计 算刚架的方法逐渐发展。 A.本迪克森在1914年最 先提出了转角位移法。
反弯点法、
D值法
四、可以用力矩分配法设计的实例
南京长江大桥（正 桥结构为铆接连续 钢桁梁）
1968年12月29日竣工
上层的公路桥长4589米 下层的铁路桥长6772米 共有9个桥墩
A
B
B
§9-1 力矩分配法的基本概念
力矩分配法
理论基础：位移法—计算原理、基本假定、基本结 构和正负号的规定等和位移法相同；
二、弯矩分配系数m
设A点有力矩M，求MAB、MAC和MAD 于是可得：
D
MA
B
iAD
Z1 iAB
M
M AB
SAB M SA
A
iAC
C
MAD
MAB
MAC
M Aj mAj M
M AC
SAC M SA
A
其中：mAj
SAj 弯矩分配系数 SA
M AD
SAD M SA
A
A
同一刚结点各杆端的分配系数之和应等于1，即：
mAj 1
A
三、传递系数
MAB = 4 iAB A
MBA = 2 iAB A 远端固定
近端 A
A
l
MAB = 3iAB A
A
A
远端 B
B
CAB
M BA M AB
1 2
远端铰支
CAB
M BA M AB
0
MAB= iAB A
A
A
MBA = - iAB A
B
远端定向
CAB
M BA M AB
1
m1j=
m1j =
显然，同一结点各杆端的分配系数之和应等于1，即 ∑m1j =1 。 各远端弯矩如下
M21=
M31=
M41= 各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动 Z1角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传 递系数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩。
得出上述规律后，便可不必绘MP 、 图 也不必列出典型方程，而直接按以上结论计算各杆端 弯矩。其过程分为两步： (1)固定结点
k11Z1+R1P=0 绘出MP图（图b),可求得自由项为
R1P =
R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等 于结点1的杆端固端弯矩的代数和 ，即各固端弯矩所不平衡的 差值，称为结点上的不平衡力矩。
绘出结构的 图（见图c)，计算系数为：
k11=4i12+3i13+i14 R1P = = S12+S13+S14
C
MAD
MAB
MAC
M 0 M (SAB SAC SAD )Z1
A
M AB
SAB M SA
A
Z1
S AB
M SAC
SAD
M SA
于是可得：
M AC
SAC M SA
A
M AD
SAD M SA
A
A
作用于A结点的外力偶M 按汇交于A结点各杆的转 动刚度的比例分配给各杆 A端。
在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，
各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
M BA CAB M AB (9 1)
四、力矩分配法的基本原理
q
P
2
1
4
3
(a)
M
F 21
2
MF
M
F 12
14
1
4
M
F 41
3 MP图
(b)
1
M1F2
M1F3
M
F 14
图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点 转角Z1，其典型方程为
一、转动刚度S（劲度系数、抗弯刚度）：
表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
SAB=3i
11对等直杆，源自AB与杆的i（材料的S性AB质=i、横截面1的形状和尺寸、杆长）
= ∑S1j
式中∑S1j代表汇交于结点1的各 杆端转动刚度的总和。
Z1 1 4i12
2
4
2i12 3i13 1 i14
解典型方程得：
Z1=
3
(c) M1图
按叠加法
计算各杆端的最后弯矩。
结点1的各近端弯矩为：
M12=
M13=
M14= 以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。 第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩，这相当于把不 平衡力矩反号后按转动刚度大小的比例分配给近端，因 此称为分配弯矩，m12 、m13 、m14 等称为分配系数， 其计算公式为
及远端支承有关，而与近端支承无关。
SAB = 4i
二、弯矩分配系数m
如用位移法求1解：
D
设iAAD 点M 有iA力AZC1矩iAMB ，B 求MMAB、MAC和MMMMADAAABDC
4iABSZAB1=3iS ABZ1
iAC Z1 1 SAC Z1 3iADSZAB1=1i SAD Z1
目录
第九章 力矩分配法和近似法
§9-1 力矩分配法的基本概念 §9-2 用力矩分配法计算连续梁和
无结点线位移的刚架 §9-4 多层多跨刚架的近似计算
教学内容
第九章 力矩分配法和近似法
教学内容：力矩分配法的基本概念，用力矩分配法计算连 续和无结点线位移的刚架，多层多跨刚架的近似计算，反 弯点。 教学要求： 1、理解力矩分配法的物理意义，转动刚度、分配系数、 传递系数概念的物理意义，多层多跨刚架的近似计算； 2、掌握力矩分配法中正负号规定，能够根据远端的不同 支承条件熟练地写出各种情形的杆端转动刚度、向远端的 传递系数，并计算分配系数；掌握力矩分配法的主要环节， 力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架。 重点： 力矩分配法的基本原理，连续梁和无结点线位移 刚架的计算。 难点：多层多跨刚架的近似计算。
的各种“力矩一次分配法”，并提
出了更简化实用的方法。同时提出
了计算变截面梁、柱的“lo/l图矩面
积法”来计算各挠曲常数
一生撰写论文近40篇，出版著作7部
三、力矩分配法基本思想
弯矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解 的近似方法。
从数学上说，是一种异步迭代法。
单独使用时只能用于无线位移的结构。
分层法
无剪力分配法
1932年H.克罗斯首创力矩分配法。30～50年代 期间，各国学者发展了各种形式的渐近法，其中中 国学者蔡方荫在变截面刚构分析方面也作出了贡献。
二、名人介绍：中国科学院院士
蔡方荫
土木建筑结构专家。江西南昌人。
（1901—1963） 1925年毕业于清华大学。 分析和总
结了国内外常用一般刚构分析方面
第九章 力矩分配法和近似法
§9-1 力矩分配法的基本概念
本次课的内容
一、力矩分配法的提出 二、名人介绍：中国科学院院士 三、力矩分配法基本思想
四、可以用力矩分配法设计的实例 五、力矩分配法的基本概念
单结点的连续梁的力矩分配法
一、力矩分配法的提出
20世纪初,钢筋混凝土结构逐渐被用于工程结构, 并出现了刚架结构。于是以位移为基本未知数的计 算刚架的方法逐渐发展。 A.本迪克森在1914年最 先提出了转角位移法。
反弯点法、
D值法
四、可以用力矩分配法设计的实例
南京长江大桥（正 桥结构为铆接连续 钢桁梁）
1968年12月29日竣工
上层的公路桥长4589米 下层的铁路桥长6772米 共有9个桥墩
A
B
B
§9-1 力矩分配法的基本概念
力矩分配法
理论基础：位移法—计算原理、基本假定、基本结 构和正负号的规定等和位移法相同；
二、弯矩分配系数m
设A点有力矩M，求MAB、MAC和MAD 于是可得：
D
MA
B
iAD
Z1 iAB
M
M AB
SAB M SA
A
iAC
C
MAD
MAB
MAC
M Aj mAj M
M AC
SAC M SA
A
其中：mAj
SAj 弯矩分配系数 SA
M AD
SAD M SA
A
A
同一刚结点各杆端的分配系数之和应等于1，即：
mAj 1
A
三、传递系数
MAB = 4 iAB A
MBA = 2 iAB A 远端固定
近端 A
A
l
MAB = 3iAB A
A
A
远端 B
B
CAB
M BA M AB
1 2
远端铰支
CAB
M BA M AB
0
MAB= iAB A
A
A
MBA = - iAB A
B
远端定向
CAB
M BA M AB
1
m1j=
m1j =
显然，同一结点各杆端的分配系数之和应等于1，即 ∑m1j =1 。 各远端弯矩如下
M21=
M31=
M41= 各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动 Z1角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传 递系数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩。
得出上述规律后，便可不必绘MP 、 图 也不必列出典型方程，而直接按以上结论计算各杆端 弯矩。其过程分为两步： (1)固定结点
k11Z1+R1P=0 绘出MP图（图b),可求得自由项为
R1P =
R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等 于结点1的杆端固端弯矩的代数和 ，即各固端弯矩所不平衡的 差值，称为结点上的不平衡力矩。
绘出结构的 图（见图c)，计算系数为：
k11=4i12+3i13+i14 R1P = = S12+S13+S14
C
MAD
MAB
MAC
M 0 M (SAB SAC SAD )Z1
A
M AB
SAB M SA
A
Z1
S AB
M SAC
SAD
M SA
于是可得：
M AC
SAC M SA
A
M AD
SAD M SA
A
A
作用于A结点的外力偶M 按汇交于A结点各杆的转 动刚度的比例分配给各杆 A端。
在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，
各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
M BA CAB M AB (9 1)
四、力矩分配法的基本原理
q
P
2
1
4
3
(a)
M
F 21
2
MF
M
F 12
14
1
4
M
F 41
3 MP图
(b)
1
M1F2
M1F3
M
F 14
图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点 转角Z1，其典型方程为