北京市石景山区高三第一学期期末考试数学理科试题答案

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石景山区第一学期期末考试试卷
高三数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
注：第11、14题第1个空3分，第2个空2分.
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步
骤． 15．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）∵ 73tan =C , ∴ 73cos sin =C
C
. 又∵ 1cos sin 2
2
=+C C , 解得 1
cos 8
C =±． ……………………3分 ∵ 0tan >C ，∴ C 是锐角．
∴ 81
cos =
C ． ………………………6分 （Ⅱ）∵ 25=⋅CA CB ，∴ 2
5
cos =C ab . 解得 20=ab ． …………………8分
又∵ 9=+b a ， ∴ 412
2
=+b a ． ∴ 36cos 22
2
2
=-+=C ab b a c ．
∴ 6=c ． ………………………12分
16．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2
． ………………………2分
由题意知⎩⎨
⎧=+-=-'==6
23)1(2
)0(a a f b f ，得
⎩⎨
⎧=-=2
3
b a ．
…………………5分
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∴ 233)(2
3
+--=x x x x f ． ……………………6分
（Ⅱ）023)(2
=++='a ax x x f ．
∵ 3>a ，
∴ 01242
>-=∆a a ．
由0)(>'x f 解得332a a a x ---<或3
32a
a a x -+->，
由0)(<'x f 解得3
33322a
a a x a a a -+-<<---． ……………10分
∴ )(x f 的单调增区间为：)33,(2a a a ----∞和),3
3(2+∞-+-a
a a ；
)(x f 的单调减区间为： )3
3,33(
22a
a a a a a -+----．……12分 17．（本题满分14分）
解法一：
（Ⅰ）证明：∵ 面ABC ⊥面BCD ，︒=∠90BCD ，且面ABC 面BCD BC =，
∴ ⊥CD 面ABC ． ……………2分 又∵ ⊂AB 面ABC ，
∴ AB DC ⊥． ………………4分
（Ⅱ）解：如图，过点C 作CM ⊥AB 于M ，连结DM ．
由（Ⅰ）知⊥CD 面ABC ．
∴ CM 是斜线DM 在平面ABC 内的射影， ∴ AB DM ⊥．（三垂线定理）
∴ CMD ∠是二面角C AB D --的平面角． …………………6分 设1=CD ，由︒=∠90BCD ，
︒=∠30CBD 得3=BC ，2=BD ．
∵ ABC ∆是正三角形，
C
B
D
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∴ 2
323=⋅=
BC CM ． ∴ 32
tan ==
∠CM CD CMD ． ∴ 3
2arctan =∠CMD ．
∴ 二面角C AB D --的大小为3
2arctan
． …………………9分 （Ⅲ）解：如图，取三边AB 、AD 、BC 的中点M 、N 、O ，
连结AO 、MO 、NO 、MN 、OD ， 则AC OM //，AC OM 21=
；BD MN //，BD MN 2
1
=． ∴ OMN ∠是异面直线AC 与BD 所成的角或其补角． ………………11分 ∵ ABC ∆是正三角形，且平面⊥ABC 平面BCD ， ∴ ⊥AO 面BCD ，AOD ∆是直角三角形，AD ON 2
1
=． 又∵ ⊥CD 面ABC ，故2222==+=ON AC DC AD ．
在OMN ∆中，2
3
=
OM ，1=MN ，1=ON ． ∴ 4
321cos =
=∠MN MO
OMN ． ∴ 异面直线AC 和BD 所成角为4
3
arccos
． ……………14分 解法二：
（Ⅰ）分别取BC 、BD 的中点O 、M ，连结AO 、OM ． ∵ ABC ∆是正三角形， ∴ BC AO ⊥．
∵ 面ABC ⊥面BCD ，且面ABC 面BCD BC =， ∴ ⊥AO 平面BCD ．
∵ OM 是BCD ∆的中位线，且⊥CD 平面ABC ，。