空间向量及空间角练习题

课时作业(二十)
[学业水平层次]
一、选择题
1．假设异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，那么l 1与l 2所成的角为( )
A ．30°
B ．150°
C ．30°或150°
D ．以上均不对
【解析】 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且
异面直线所成角的X 围为⎝
⎛⎦⎥⎥
⎤0，π2.应选A.
【答案】 A
2．A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，那么直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( )
A.52266B ．－522
66 C.52222D ．－52222
【解析】 AB →
＝(2，－2，－1)，CD →
＝(－2，－3，－3)， ∴cos 〈AB →
，CD →〉＝AB →·CD
→
|AB →||CD →|
＝5
3×22＝52266，
∴直线AB 、CD 所成角的余弦值为522
66.
【答案】A
3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，假设PA ＝AB ，那么平面PAB 与平面PCD 的夹角为()
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
【解析】 如下图，建立空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝1.那么
A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．于是AD →
＝(0,1,0)．
取PD 中点为E ，
那么E ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫0，12，12，
∴AE →
＝⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫0，12，12，
易知AD →是平面PAB 的法向量，AE →
是平面PCD 的法向量，∴cos AD →
，AE →
＝2
2
，
∴平面PAB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B
4．(2021·XX 师大附中高二检测)如图3­2­29，在空间直角坐标
系Dxyz 中，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E 、
F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，那么二面角B 1­A 1B ­E 的余弦值为(
)
图3­2­29
A ．－33
B ．－32 C.33 D.3
2
【解析】 设AD ＝1，那么A 1(1,0,2)，B (1,2,0)，因为E 、F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，所以E (0,1,2)，F (1,1,1)，所以A 1E →＝(－1,1,0)，A 1B →
＝(0,2，－2)，设m ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的法向量，那么⎩⎪⎨⎪⎧
A 1E →·m ＝0，
A 1
B →·m ＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝0，2y －2z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ，
y ＝z ，
取x ＝1，那么y
＝z ＝1，所以平面A 1BE 的一个法向量为m ＝(1,1,1)，又DA ⊥平面A 1B 1B ，
所以DA →
＝(1,0,0)是平面A 1B 1B 的一个法向量，所以cos 〈m ，DA →
〉＝
m ·DA →
|m ||DA →|
＝1
3＝3
3，又二面角B 1­A 1B ­E 为锐二面角，所以二面角B 1­A 1B ­E 的
余弦值为3
3
，应选C.
【答案】 C
二、填空题
5．棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1、BB 1
的中点，那么异面直线AM 与所成角的余弦值是________．
【解析】 依题意，建立如下图的坐标系，那么A (1,0,0)，
M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，1，C (0,1,0)，N ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫1，1，12， ∴AM →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，1，→＝⎝
⎛⎭⎪⎪⎫1，0，12，
∴cos 〈AM →
，→
〉＝
12
52·52
＝2
5
， 故异面直线AM 与所成角的余弦值为2
5.
【答案】2
5
6．(2021·XX 高二检测)在空间直角坐标系Oxyz 中，A (1，－2,0)、
B (2,1，6)，那么向量AB →
与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为
________．
【解析】 设平面xOz 的法向量为n ＝(0，t,0)(t ≠0)，AB →
＝(1,3，
6)，所以cos 〈n ，AB →〉＝n ·AB
→
|n |·|AB →|
＝3t
4|t |，因为〈n ，AB →〉∈[0，π]，
所以sin 〈n ，AB →
〉＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫3t 4|t |2
＝74.
【答案】7
4
7．点E ，F 分别在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，那么平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值等于________．
【解析】 如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，平面ABC 的法向量为n 1＝(0,0,1)，平面AEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )．
所以A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，1，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫0，1，23，
所以AE →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1，13，EF →＝⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫－1，0，13，
那么⎩⎪⎨
⎪⎧
n 2·AE →＝0，
n 2
·EF →＝0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＋1
3
z ＝0，－
x ＋13z ＝0.
取x ＝1，那么y ＝－1，z ＝3.故
n 2＝(1，－1,3)．
所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝311
11
.
所以平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角α满足cos α＝31111，sin α＝2211，所以tan α＝2
3
. 【答案】23
三、解答题
8. 如图3­2­30所示，在四面体ABCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.
图3­2­30
(1)求证：AO ⊥平面BCD ；
(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．
【解】 (1)证明：连结OC ，
由题意知BO ＝DO ，AB ＝AD ， ∴AO ⊥BD .
又BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD . 在△AOC 中，由可得AO ＝1，CO ＝3， 又AC ＝2，∴AO 2＋CO 2＝AC 2， ∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC . ∵BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BCD . (2)以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，
那么B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0，3，0)，A (0,0,1)，
E ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12，32，0，
∴BA →＝(－1,0,1)，CD →
＝(－1，－3，0)， ∴cos 〈BA →
，CD →
〉＝BA →·CD
→
|BA →|·|CD →|＝24.
∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为2
4
.
9．四棱锥P ­ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱
PB 上．
(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；
(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．
【解】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，设AB ＝a ，
PD ＝h ，那么
A (a,0,0)，
B (a ，a,0)，
C (0，a,0)，
D (0,0,0)，P (0,0，h )，
(1)∵AC →＝(－a ，a,0)，DP →＝(0,0，h )，DB →
＝(a ，a,0)， ∴AC →·DP →＝0，AC →·DB →
＝0，
∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，又DP ∩DB ＝D ， ∴AC ⊥平面PDB ，
又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PDB . (2)当PD ＝
2AB 且E 为PB 的中点时，P (0,0，2a )，
E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12
a ，12a ，22a ，
设AC ∩BD ＝O ，O ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
a 2，a 2，0，连结OE ，由(1)知AC ⊥平面PDB 于
O ，
∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，
∵EA →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a ，－12a ，－22a ，EO →＝⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫0，0，－22a ，
∴cos ∠AEO ＝EA →·EO
→
|EA →|·|EO →|
＝2
2，
∴∠AEO ＝45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°.
[能力提升层次]
1．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱
BB 1的中点，那么直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为( )
A ．60°
B ．90°
C ．45°
D ．以上都不对
【解析】 以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．
由题意知，A 1(1,0,2)，E (1,1,1)，D 1(0,0,2)，A (1,0,0)，所以A 1E →
＝(0,1，－1)，D 1E →＝(1,1，－1)，EA →
＝(0，－1，－1)．
设平面A 1ED 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 那么⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·A 1E →＝0，n ·D 1
E →＝0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
y －z ＝0，
x ＋y －z ＝0.
令z ＝1，得y ＝1，x ＝0，所以n ＝(0,1,1)，
cos 〈n ，EA →
〉＝
n ·EA
→
|n ||EA →
|
＝－2
2·2
＝－1.
所以〈n ，EA →
〉＝180°.
所以直线AE 与平面A 1ED 1所成的角为90°. 【答案】 B
2．在空间中，平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，那么a ＝________.
【解析】 平面xOy 的法向量为n ＝(0,0,1)，设平面α的法向量
为u ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧
－3x ＋4y ＝0，
－3x ＋az ＝0，
即3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，那么u ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
a 3，a 4，1.
而cos 〈n ，u 〉＝
1
a 29＋a
2
16
＋1＝22， 又∵a ＞0，∴a ＝12
5.
【答案】12
5
3. 三棱柱ABC ­A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，那么直线BC 1与直线AB 1
夹角的余弦值为( )
图3­2­31
A.
5
5
B.
5
3
C.
25
5
D.
3
5
【解析】不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，
那么AB1
→
＝(－2,2,1)，C1B
→
＝(0，－2,1)，
所以cos〈AB1
→
，C1B
→
〉＝
AB1
→
·C1B
→
|AB1
→
||C1B
→
|
＝
－2×0＋2×－2＋1×1
9×5
＝－
5
5
.
因为直线BC1与直线AB1夹角为锐角，所以所求角的余弦值为
5
5
.
【答案】 A
4. 如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A ＝4，点D是BC的中点．
图3­2­32
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
【解】 (1)以A 为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系Axyz ，那么A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4) ，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →
＝(1，－1，－4).
因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D
→
|A 1B →||C 1D →|＝18
20×18＝31010，
所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为310
10
.
(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →
＝(1,1,0)，AC 1→
＝(0,2,4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→
＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.
由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪
n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2
9×1＝23
， 得sin θ＝5
3
.
因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为5
3.。