甘肃省武威第二中学2017届高三上学期第一次月考数学(理)试题 含答案

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合{}{}2
|04,|120A x x B x x
x =<<=+-≤，则A B 等于（
）
A ．{}|03x x <≤
B ．{}|34x x ≤<
C ．{}|04x x <<
D ．{}|44x x -≤< 2。

0
sin xdx π
⎰的值为（ ）
A ．2
π B ．π C ．1 D ．2
3。

曲线x
y e
x =+在点()0,1处的切线方程为（ ）
A ．10x y +-=
B ．210x y -+=
C ．210x y +-=
D ．10x y -+=
4.命题“若整数,a b 中至少有一个是偶数，则ab 是偶数”的逆否命题为（ ）
A ．若整数,a b 中至多有一个是偶数，则ab 是偶数
B ．若整数,a b 都不是偶数，则ab 不是偶数
C ．若ab 不是偶数，则整数,a b 都不是偶数
D ．若ab 不是偶数，则整数,a b 不都是偶数 5.函数
()2
22
x f x x =在[]0,1上的最小值为（ )
A ．0
B ．1
C ．12
D ．32
6。

已知30.30.5
log
8, 3.2, 3.2m n p -===，则实数,,m n p 的大小关系为（ ）
A ．m p n <<
B ．n m p <<
C ．m n p <<
D ．n p m << 7。

“1a =”是“函数()2
22f x x
ax =+-在区间(],1-∞-上单调递减”的(
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既
不充分也不必要条件
8.已知函数()y f x =的定义域为{}|,0x x R x ∈≠且,且满足()()0f x f x --=，当0x >时，()ln 1f x x x =-+,则函数()y f x =的大致图象为( ） A ．B ．
C ．
D ．
9。

下列函数中，既是偶函数，又在()2,4上单调递增的函数为（ ） A ．()2
x
f x x =+
B ．()22,0
,0x x x f x x x x ⎧--<=⎨-+≥⎩
C ．()f x x x =-
D ．()()2
3
log 4f x x
=-
10.已知使关于x 的不等式2
2ln 31x m x
x
x +≥-对任意的()0,x ∈+∞恒成立的实数
m 的取值集合为A ,函数()2
16f x x =-B ，则有（ ）
A ．R
B C A ⊆ B ．R
A C
B ⊆
C ．B A ⊆
D ．A B ⊆
11.已知函数()()21ln 2k f x k x x x
=-++，有以下命题：①当12
k =-时，函数()
f x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增；②当0k ≥时，函数()f x 在()0,+∞上有极大值；③当102k -<<时，函数()f x 在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减；④当12k <-时，函数()f x 在()0,+∞上有极大值12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
，有极小值()f k -．其中不正确命题的序号是（ ）
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④ 12.已知
()()11,10
1,01x f x f x x x ⎧
--<<⎪+=⎨⎪≤<⎩
，若方程()()40f x ax a a -=≠有唯一解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,5
⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
C ．{}11,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
D ．{}
11,5⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案填在答题纸上 13.命题“2
000,sinx 2cos x
R x x ∃∈+>”的否定为_____________．
14。

若函数()()01x
f x a a a =>≠且在[]2,1-上的最大值为4,最小值为b ,且函数
()()27g x b x =-是减函数，则a b +=____________．
15.满足2231
21
y x x y x ⎧≥-+⎨≤-⎩的所有点(),M x y 构成的图形的面积为
____________．
16.已知奇函数()f x 的定义域为R ，且()()11f x f x -=+,当21x -<≤-时,()()12
log 2f x x =-+,则函数()21y f x =-在()0,8内的所有零点之和为
_____________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17。

（本小题满分10分）
已知集合{}|15A x x =<≤,集合25|06
x B x x -⎧⎫=≥⎨
⎬-⎩
⎭
． （1)求A B ;
（2）若集合{}|43C x a x a =≤≤-，且C A A =，求实数a 的取值范围．
18.（本小题满分12分） 已知函数()()[)3
2
10,0,2
f x ax
x a x =-
>∈+∞． （1)若1a =，求函数()f x 在[]0,1上的最值;
（2）若函数()y f x '=的递减区间为A ,试探究函数()y f x =在区间A 上的单调性．
19。

（本小题满分12分）
已知定义在[]1,1-上的函数()f x 的图象关于原点对称，且函数()f x 在
[]1,1-上为减函数．
（1）证明：当1
2
0x x
+≠时，
()()
1212
0f x f x x x +<+；
（2）若()()2
110f m
f m -+->，求实数m 的取值范围．
20。

（本小题满分12分） 已知()2
:0,,2ln ;:p x x
e x m q ∃∈+∞-≤函数222
13x mx y -+⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
在[)2,+∞上单调递减．
（1）若p q ∨为假命题，求实数m 的取值范围；
（2)若p q ∨为真命题,p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围． 21.(本小题满分12分） 已知函数()3
21f x x
x ax =+-+，且()14f '=．
（1）求函数()f x 的极值； （2）当01x a ≤≤+时，证明:()3
x
e x
f x x
>-． 22。

（本小题满分12分）
某企业接到生产3000台某产品的,,A B C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）．
（1）设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成,,A B C 三件部件生产需
要的时间；
（2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数()2k k ≥的值，使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案．
参考答案
一、
选择题
二、
填空题
13。

2,sin 2cos x R x x x ∀∈+≤
14。

1 15. 98
16。

12
三、解答题
17.解：（1）()255|0|66
2
x B x x x f x x x -⎧⎫⎧⎫=≥=≤>⎨⎬⎨
⎬-⎩
⎭⎩
⎭
或, 故5|12A
B x x ⎧
⎫=<≤⎨⎬⎩⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5
分
综上所述，实数a 的取值范围为
()(],11,2-∞．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 18.解:（1）依题意，()()2
331f x x x x x '=-=-,当1
03x <<
时,()0f x '<，当13
x >时,()0f x '>，
所以当13
x =时，函数()f x 有最小值11
354
f ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
， 又()()100,12
f f ==，故函数()f x 在[]0,1上的最大值为12
，最小值为
1
54
-
．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
(2）依题意，()2
3f x ax
x '=-，因为()23610ax x ax '-=-<，所以()f x '的递减区
间为10,6a ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
当10,6x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时,()()2
3310f x ax
x x ax '=-=-<,所以()f x 在()f x '的递减区间上也递
减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19。

解:（1)∵定义在[]1,1-上的函数()f x 的图象关于原点对称，∴()f x 为奇函数． 若1
2
0x x
+<，则1211x x -≤<-≤，∴()()()122f x f x f x >-=-,
∴()()1
2
0f x f x +>,∴()()1
2
12
0f x f x x x +<+成立．
若1
2
0x x
+>，则1211x x ≥>-≥-，∴()()()122f x f x f x <-=-．
∴()()1
2
0f x f x +<，∴()()1
2
12
0f x f x x x +<+成立．
综上，对任意[]1
2
,1,1x x ∈-，当1
2
0x x
+≠时,有
()()
1212
0f x f x x x +<+恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 (2）
()()()()2211011f m f m f m f m -+->⇔->-,得22111
11111m m m m ⎧-≤-≤⎪
-≤-≤⎨⎪-<-⎩
，
解得01m ≤<，故所求实数m 的取值范围是[)0,1．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20。

解：若p 为真，令()2
2ln f x x
e x =-,问题转化为求函数()
f x 的最小值，
()22222e x e f x x x x
-'=-=，令()0f x '=
，解得x =
函数()2
2ln f x x e x =-
在(
上单调递减，在)+∞
上单调递增，
故(
)
min
0f x f
==，故0m ≥，
若q 为真，则2
22y x
mx =-+在[)2,+∞上单调递增，则
24
m
≤，故8m ≤， （1）
若p q ∨为假命题，则,p q 均为假命题，实数m 的取值范围为
∅．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7
分
（2）
若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则,p q 一真一假．
若p 真q 假，则实数m 满足0
8
m m ≥⎧⎨>⎩，即8m >； 若p 假q 真，则实数m 满足08
m m <⎧⎨
≤⎩，即0m <． 综上所述，实数m 的取值范围为
()(),08,-∞+∞．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21。

解：（1)依题意,()()2
32,1324,1f x x x a f a a ''=+-=+-==，
故()()()2
321311f x x
x x x '=+-=-+,
令()0f x '>，则1x <-或13
x >； 令()0f x '<，则113
x -<<,
故当1x =-时，函数()f x 有极大值()12f -=，当13
x =时，函数()f x 有极小值
122
327f ⎛⎫=
⎪⎝⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2） 由(1)知1a =，令()()3
2
1
x x e e x f x x x x ϕ==--+, 则()()()()
()()
()
22
2
2
2
1211211x x
x e x x x e e x x x x
x x
x ϕ-+----'=
=
-+-+，
可知()x ϕ在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，令()g x x =．
①
当[]0,1x ∈时,()()()min
max 01,1x g x ϕϕ===,所以函数()x ϕ的图象在()g x 图象的
上方．
② 当[]1,2x ∈时，函数()x ϕ单调递减，所以其最小值为()()2
2,3
e g x ϕ=最大值
为
2,而2
23
e >，所以函数()x ϕ的图象也在()g x 图象的上方．
综上可知，当01x a ≤≤+时，()3
x
e x
f x x
>-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22。

解：（1）设完成,,A B C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为()()()1
2
3
,,T x T x T x ，由题设有()()1
2
230001000230002000,63T x T x x x
kx kx
⨯⨯====，
()()()230001500
200122001T x k x
k x =
=
-+-+⎡⎤⎣⎦， 其中(),,2001x kx k x -+均为1到200之间的正整数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）完成订单任务的时间为()()()(){}1
2
3
max ,,f x T x T x T x =．
易知，()()1
2
,T x T x 为减函数，()3
T x 为增函数，注意到()()2
1
2T x T x k
=,
于是①当2k =时，()()1
2
T x T x =，此时，()()(){}1
3
1000
1500max ,max ,2003f x T x T x x
x ⎧⎫
==⎨
⎬-⎩⎭
,
由函数()()1
3
,T x T x 的单调性知,当10001500
2003x
x
=
-时，()f x 取得最小值，解得400
9
x =
， 由于40044459<<，而()()()()132503004444,45451113f T f T ====，∵()()4445f f <，
∴当44x =时完成订单任务的时间最短,且最短时间为
()2504411
f =
．．．．．．．．．．．．．．．．8分
②当2k >时，()()1
2
T x T x >,由于k 为正整数，∴3k ≥， 此时，()()150********
20012001350k x x x
≥=
-+-+-． 记()()()(){}1375
,max ,50T x x T x T x x
ϕ=
=-，易知，()T x 是增函数， 则()()(){}()(){}()1
3
1
1000
375max ,max ,max ,50f x T x T x T x T x x x x ϕ⎧⎫
=≥==⎨
⎬-⎩⎭
， 由函数()()1
,T x T x 的单调性知，当1000375
50x
x
=
-时，()x ϕ取得最小值，解得400
11
x =
, 由于400363711
<<,而()()()()1
2502503752503636,37379
11
13
11
T T ϕϕ==>==>，
此时，完成订单任务的最短时间大于
250
11
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
综上所述,当2k =时，完成订单任务的时间最短,此时，生产,,A B C 三种部件的人数分别为44,88，
68．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。