【名师推荐】天津市滨海新区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题(精品解析)

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天津市滨海新区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1.已知集合0,,1,,则
A. B. 1,
C. 0,1,
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用交集的运算法则化简求解即可.
【详解】集合,,
则,故选A.
【点睛】研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键是将两集合
的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
2.函数的定义域是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由对数函数的定义域可知需满足,解出的范围即可.
【详解】要使有意义,则,

的定义域为,故选D.
【点睛】本题主要考查函数定义域的定义及求法,以及对数函数的定义域.定义域的三种类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2) 对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3) 若已知函数的定义域为,则函数的定义域由不等式求出.
3.函数的零点所在的区间是()
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
【答案】B
【分析】
因为函数为上的增函数,故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.
【详解】因为为上的增函数,为上的增函数,故为上的增函数.又
,,由零点存在定理可知在存在零点,故选B.【点睛】函数的零点问题有两种类型,(1)计算函数的零点,比如二次函数的零点等,有时我们可以根据解析式猜出函数的零点,再结合单调性得到函数的零点,比如;(2)估算函数的零点,如等,我们无法计算此类函数的零点,只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.
4.函数在区间上的最小值是
A. B. 0 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
函数,可得的对称轴为,利用单调性可得结果.
【详解】函数,
其对称轴为,在区间内部,
因为抛物线的图象开口向上,
所以当时,在区间上取得最小值,
其最小值为,故选A.
【点睛】本题考查二次函数的最值,注意分析的对称轴,属于基础题.若函数为一元二次函数,常采用配方法求函数求值域,其关键在于正确化成完全平方式,并且一定要先确定其定义域.
5.下列四个函数中,在整个定义域内单调递减的是
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据指数函数的性质判断,利用特殊值判断,利用对数函数的性质判断,利用偶函数的性质判断.【详解】对于,,是指数函数,在整个定义域内单调递增,不符合题意;
对于,,有,,不是减函数,不符合题意;
对于,为对数函数,整个定义域内单调递减,符合题意;
对于,,为偶函数,整个定义域内不是单调函数,不符合题意,
故选C.
【点睛】本题主要考查指数函数的性质、单调性是定义,对数函数的性质以及偶函数的性质,意在考查综合利用所学知识解答问题的能力,属于中档题.
6.设,则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
,所以,故选A
7.已知,都为单位向量,且,夹角的余弦值是,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用,结合数量积的定义可求得的平方的值,再开方即可.
【详解】依题意,
,故选D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,属基础题.向量数量积的运算主要掌握两点:一是数量积的基本公式;二是向量的平方等于向量模的平方.
8.函数在一个周期内的图象如图,此函数的解析式为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
由函数的图象可得函数的最大值为2,最小值为–2,故有A=2.再由函数的周期性可得
,解得ω=2,∴y=2sin(2x+φ).把点(–,2)代入函数的解析式可得
2sin[2×(–)+φ]=2,∴2×(–)+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z.故函数的解析式为
y=2sin(2x+2kπ+),k∈Z,考查四个选项,只有A符合题意.故选A.
9.对于函数的图象,关于直线对称;关于点对称;可看作是把
的图象向左平移个单位而得到;可看作是把的图象上所有点的纵坐标不变,横
坐标缩短到原来的倍而得到以上叙述正确的个数是
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】
由判断;由判断;由的图象向左平移个单位,得到的图
象判断;由的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍,得到函数
的图象判断.
【详解】对于函数的图象,令,求得,不是最值,故不正确;
令,求得,可得的图象关于点对称,故正确;
把的图象向左平移个单位,得到的图象,故不正确;
把的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍,得到函数的图象,故正确,故选B.
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断,综合考查三角函数的对称性以及三角函数的图象的变换规律,属于中档题.这种题型综合性较强,也是高考的命题热点,同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”,因此做这类题目更要细心、多读题,尽量挖掘出题目中的隐含条件,另外,要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手,然后集中精力突破较难的命题.
10.已知函数,若当时,恒成立,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
是奇函数,单调递增,所以,得,
所以,所以,故选D。

点睛:本题考查函数的奇偶性和单调性应用。

本题中,结合函数的奇偶性和单调性的特点,转化得到
,分参,结合恒成立的特点,得到,求出参数范围。

11.平行四边形中,,,,点满足,则
A. 1
B.
C. 4
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
选取,为基向量,将,用基向量表示后,再利用平面向量数量积的运算法则求解数量积
.
【详解】


,故选B.
【点睛】本题考查了平面向量的运算法则以及向量数量积的性质及其运算,属中档题.向量的运算法则是:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向
量是差,箭头与箭尾间向量是和).
12.已知函数,,若对任意,总存在,使得成立,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出在的值域,以及在的值域,令在的最大值不小于在的最大值,得到的关系式,解出即可.
【详解】对于函数,当时,,
由,可得,
当时,,
由,可得,
对任意,,
对于函数,



对于,使得,
对任意,总存在,使得成立,
,解得,
实数的取值范围为,故选B.
【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题,全称量词与存在量词的应用共分四种情况:(1)
只需;(2),只需
;(3),只需;(4),,
.
二、填空题(本大题共8小题,共40.0分)
13.的值为______.
【答案】1
【解析】
14.已知幂函数的图象过点,则______.
【答案】2
【解析】
【分析】
求出幂函数的解析式,将代入,求得解析式,然后求解函数值即可.
【详解】设幂函数为,
幂函数的图象过点,
可得解得
则,故答案为2.
【点睛】本题主要考查幂函数的解析式的求法,函数值的求法,意在考查对基础知识的掌握情况,属于基础题.
15.已知一个扇形的弧长为,其圆心角为,则这扇形的面积为______.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据孤长公式求出对应的半径,然后根据扇形的面积公式求面积即可.
【详解】扇形的半径为,圆心角为,
弧长,
这条弧所在的扇形面积为,故答案为 .
【点睛】本题主要考査扇形的面积公式和弧长公式,意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度,属于中档题.
16.若,则的值是.
【答案】
【解析】
试题分析:∵,∴,则,故答案为:.
考点:对数的运算性质.
17.已知,且,则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据同角的三角函数的关系,利用结合两角和的余弦公式即可求出.
【详解】,




故答案为.
【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系,两角和的余弦公式,属于中档题.已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值,角的变换是解题的关键.
18.已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上单调递减,若实数满足
,则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性与单调性分析可得,结合对
数的运算性质变形可得,从而可得结果.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数,且在区间上单调递减,
所以,
又由,
则原不等式变形可得,
解可得:,
即的取值范围为,故答案为
【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的综合应用,考查了指数函数的单调性以及对数的运算,意
在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于基础题
19.在△ABC中,H为BC上异于B,C的任一点,M为AH的中点,若,则λ+μ=_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意,用表示出与,求出λ、μ的值即可.
设,则=(1﹣k)+k.=,即可【详解】设,则
=(1﹣k)+k.
=,

故答案为:
【点睛】
本题考查了向量的线性运算,属于中档题.
20.已知函数,若函数在区间内有3个零点,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
函数在区间内有3个零点,等价于函数和的图象在区间内有3个交点,作出函数和的图象,利用数形结合可得结果.
【详解】
若,则,


若,则,


若,则,
,.
,,,,
设和,则方程在区间内有3个不等实根,
等价为函数和在区间内有3个不同的零点.
作出函数和的图象,如图,
当直线经过点时,两个图象有2个交点,此时直线为,
当直线经过点,时,两个图象有3个交点;
当直线经过点和时,两个图象有3个交点,此时直线为,
当直线经过点和时,两个图象有3个交点,此时直线为,
要使方程,两个图象有3个交点,
在区间内有3个不等实根,
则,故答案为
【点睛】本题主要考查函数的零点与方程根的个数的应用,以及数形结合思想的应用,属于难题.
三、解答题(本大题共4小题,共50.0分)
21.已知,.
Ⅰ求的值;
Ⅱ求的值;
Ⅲ若且,求的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
【分析】
Ⅰ根据同角的三角函数的关系即可求出;Ⅱ根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式即可求出;Ⅲ由,根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出.【详解】Ⅰ,,

.
Ⅱ,
.
Ⅲ,,



.
【点睛】三角函数求值有三类,(1)“给角求值”;(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”:实质
是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.
22.已知平面直角坐标系中,,,.
Ⅰ若三点共线,求实数的值;
Ⅱ若,求实数的值;
Ⅲ若是锐角,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)-2;(Ⅱ);(Ⅲ),且.
【解析】
【分析】
Ⅰ根据三点共线,即可得出,并求出,从而得出,求出
;Ⅱ根据即可得出,进行数量积的坐标运算即可求出的值;Ⅲ根据是锐角即可得出,并且不共线,可求出,从而得出,且,解出的范围即可.
【详解】Ⅰ,B,P三点共线;




Ⅱ;


Ⅲ若是锐角,则,且不共线;

,且;
解得,且;
实数的取值范围为,且.
【点睛】本题主要考查向量平行时的坐标关系,向量平行的定义,以及向量垂直的充要条件,向量数量积的坐标运算,属于中档题.利用向量的位置关系求参数是出题的热点,主要命题方式有两个:(1)两向
量平行,利用解答;(2)两向量垂直,利用解答.
23.已知向量,,设函数.
Ⅰ求函数的最小正周期和单调递增区间;
Ⅱ求函数在区间的最大值和最小值.
【答案】(Ⅰ)最小正周期是,增区间为,;(Ⅱ)最大值为5,最小值为4.
【解析】
【分析】
Ⅰ根据向量数量积,利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为,利用正弦函数的周期公式可得函数的周期,利用正弦函数的单调性解不等式,
可得到函数的递增区间;Ⅱ根据的范围得的范围,结合正弦函数的单调性可得的最大最小值.
【详解】Ⅰ,,


由,得,
所以的增区间为,;
Ⅱ,,
可得

的最大值为5,最小值为4.
【点睛】以三角形和平面向量为载体,三角恒等变换为手段,三角函数的图象与性质为工具,对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题,一般难度不大,但综合性较强.解答这类问题,两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式,一定要熟练掌握并灵活应用,特别是二倍角公式的
各种变化形式要熟记于心.
24.已知是函数的零点,,
Ⅰ求实数的值;
Ⅱ若不等式在上恒成立,求实数的取值范围;
Ⅲ若方程有三个不同的实数解,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
【分析】
Ⅰ利用是函数的零点,代入解析式即可求实数的值;Ⅱ由不等式
在上恒成立,利用参数分类法,转化为二次函数求最值问题,即可求实数的取值
范围;Ⅲ原方程等价于,利用换元法,转化为一元二次方程根的个数进行求解即可.
【详解】Ⅰ是函数的零点,
,得;
Ⅱ,,
则不等式在上恒成立,
等价为,

同时除以,得,
令,则,
,,
故的最小值为0,
则,即实数k的取值范围;
Ⅲ原方程等价为,

两边同乘以得,
此方程有三个不同的实数解,
令,则,
则,
得或,
当时,,得,
当,要使方程有三个不同的实数解,
则必须有有两个解,
则,得.
【点睛】本题主要考查函数与方程根的问题,利用换元法结合一元二次方程根的个数,以及不等式恒成立
问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:①分离参数恒成立(即可)或恒
成立(即可);②数形结合(图象在上方即可);③讨论最值或恒成立;④讨论参数,排除不合题意的参数范围,筛选出符合题意的参数范围.。

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