【名师推荐】天津市滨海新区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题(精品解析)

天津市滨海新区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合0，，1，，则
A. B. 1，
C. 0，1，
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用交集的运算法则化简求解即可．
【详解】集合，，
则，故选A．
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合
的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
2.函数的定义域是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由对数函数的定义域可知需满足，解出的范围即可．
【详解】要使有意义，则，
，
的定义域为，故选D．
【点睛】本题主要考查函数定义域的定义及求法，以及对数函数的定义域．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.
3.函数的零点所在的区间是（）
A. (0，1)
B. (1，2)
C. (2，3)
D. (3，4)
【答案】B
【分析】
因为函数为上的增函数，故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.
【详解】因为为上的增函数，为上的增函数，故为上的增函数.又
，，由零点存在定理可知在存在零点，故选B.【点睛】函数的零点问题有两种类型，（1）计算函数的零点，比如二次函数的零点等，有时我们可以根据解析式猜出函数的零点，再结合单调性得到函数的零点，比如；（2）估算函数的零点，如等，我们无法计算此类函数的零点，只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.
4.函数在区间上的最小值是
A. B. 0 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
函数，可得的对称轴为，利用单调性可得结果．
【详解】函数，
其对称轴为，在区间内部，
因为抛物线的图象开口向上，
所以当时，在区间上取得最小值，
其最小值为，故选A．
【点睛】本题考查二次函数的最值，注意分析的对称轴，属于基础题．若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域.
5.下列四个函数中，在整个定义域内单调递减的是
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】
根据指数函数的性质判断，利用特殊值判断，利用对数函数的性质判断，利用偶函数的性质判断．【详解】对于，，是指数函数，在整个定义域内单调递增，不符合题意；
对于，，有，，不是减函数，不符合题意；
对于，为对数函数，整个定义域内单调递减，符合题意；
对于，，为偶函数，整个定义域内不是单调函数，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查指数函数的性质、单调性是定义，对数函数的性质以及偶函数的性质，意在考查综合利用所学知识解答问题的能力，属于中档题．
6.设，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
，所以，故选A
7.已知，都为单位向量，且，夹角的余弦值是，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用，结合数量积的定义可求得的平方的值，再开方即可．
【详解】依题意，
，故选D．
【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.
8.函数在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
由函数的图象可得函数的最大值为2，最小值为–2，故有A=2．再由函数的周期性可得
，解得ω=2，∴y=2sin（2x+φ）．把点（–，2）代入函数的解析式可得
2sin[2×（–）+φ]=2，∴2×（–）+φ=2kπ+，k∈Z，解得φ=2kπ+，k∈Z．故函数的解析式为
y=2sin（2x+2kπ+），k∈Z，考查四个选项，只有A符合题意．故选A．
9.对于函数的图象，关于直线对称；关于点对称；可看作是把
的图象向左平移个单位而得到；可看作是把的图象上所有点的纵坐标不变，横
坐标缩短到原来的倍而得到以上叙述正确的个数是
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】
由判断；由判断；由的图象向左平移个单位，得到的图
象判断；由的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数
的图象判断.
【详解】对于函数的图象，令，求得，不是最值，故不正确；
令，求得，可得的图象关于点对称，故正确；
把的图象向左平移个单位，得到的图象，故不正确；
把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，故正确，故选B．
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的对称性以及三角函数的图象的变换规律，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
10.已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
是奇函数，单调递增，所以，得，
所以，所以，故选D。

点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性应用。

本题中，结合函数的奇偶性和单调性的特点，转化得到
，分参，结合恒成立的特点，得到，求出参数范围。

11.平行四边形中，，，，点满足，则
A. 1
B.
C. 4
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
选取，为基向量，将，用基向量表示后，再利用平面向量数量积的运算法则求解数量积
.
【详解】
，
，
，故选B．
【点睛】本题考查了平面向量的运算法则以及向量数量积的性质及其运算，属中档题．向量的运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向
量是差，箭头与箭尾间向量是和）.
12.已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出在的值域，以及在的值域，令在的最大值不小于在的最大值，得到的关系式，解出即可.
【详解】对于函数，当时，，
由，可得，
当时，，
由，可得，
对任意，，
对于函数，
，
，
，
对于，使得，
对任意，总存在，使得成立，
，解得，
实数的取值范围为，故选B．
【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）
只需；（2），只需
；（3），只需；（4），，
.
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
13.的值为______．
【答案】1
【解析】
14.已知幂函数的图象过点，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】
求出幂函数的解析式，将代入,求得解析式，然后求解函数值即可．
【详解】设幂函数为，
幂函数的图象过点，
可得解得
则，故答案为2．
【点睛】本题主要考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题．
15.已知一个扇形的弧长为，其圆心角为，则这扇形的面积为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据孤长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可.
【详解】扇形的半径为，圆心角为，
弧长,
这条弧所在的扇形面积为，故答案为 .
【点睛】本题主要考査扇形的面积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.
16.若，则的值是．
【答案】
【解析】
试题分析：∵，∴，则，故答案为：．
考点：对数的运算性质．
17.已知，且，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据同角的三角函数的关系，利用结合两角和的余弦公式即可求出．
【详解】，
，
，
，
，
故答案为.
【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系，两角和的余弦公式，属于中档题.已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值，角的变换是解题的关键．
18.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足
，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性与单调性分析可得，结合对
数的运算性质变形可得，从而可得结果．
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，
所以，
又由，
则原不等式变形可得，
解可得：，
即的取值范围为，故答案为
【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，考查了指数函数的单调性以及对数的运算，意
在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题
19.在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则λ+μ=_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，用表示出与，求出λ、μ的值即可．
设，则=（1﹣k）+k.=，即可【详解】设，则
=（1﹣k）+k．
=，
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了向量的线性运算，属于中档题．
20.已知函数，若函数在区间内有3个零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
函数在区间内有3个零点，等价于函数和的图象在区间内有3个交点，作出函数和的图象，利用数形结合可得结果．
【详解】
若，则，
，
．
若，则，
，
．
若，则，
，．
，，，，
设和，则方程在区间内有3个不等实根，
等价为函数和在区间内有3个不同的零点．
作出函数和的图象，如图，
当直线经过点时，两个图象有2个交点，此时直线为，
当直线经过点，时，两个图象有3个交点；
当直线经过点和时，两个图象有3个交点，此时直线为，
当直线经过点和时，两个图象有3个交点，此时直线为，
要使方程，两个图象有3个交点，
在区间内有3个不等实根，
则，故答案为
【点睛】本题主要考查函数的零点与方程根的个数的应用，以及数形结合思想的应用，属于难题．
三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）
21.已知，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值；
Ⅲ若且，求的值．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ).
【解析】
【分析】
Ⅰ根据同角的三角函数的关系即可求出；Ⅱ根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式即可求出；Ⅲ由，根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出．【详解】Ⅰ，，
，
.
Ⅱ，
.
Ⅲ，，
，
，
，
.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质
是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
22.已知平面直角坐标系中，，，．
Ⅰ若三点共线，求实数的值；
Ⅱ若，求实数的值；
Ⅲ若是锐角，求实数的取值范围．
【答案】(Ⅰ)-2；(Ⅱ)；(Ⅲ)，且．
【解析】
【分析】
Ⅰ根据三点共线，即可得出，并求出，从而得出，求出
；Ⅱ根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值；Ⅲ根据是锐角即可得出，并且不共线，可求出，从而得出，且，解出的范围即可．
【详解】Ⅰ，B，P三点共线；
；
；
；
；
Ⅱ；
；
；
Ⅲ若是锐角，则，且不共线；
；
，且；
解得，且；
实数的取值范围为，且．
【点睛】本题主要考查向量平行时的坐标关系，向量平行的定义，以及向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，属于中档题．利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向
量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
23.已知向量，，设函数．
Ⅰ求函数的最小正周期和单调递增区间；
Ⅱ求函数在区间的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ)最小正周期是，增区间为，；(Ⅱ)最大值为5，最小值为4．
【解析】
【分析】
Ⅰ根据向量数量积，利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，利用正弦函数的单调性解不等式，
可得到函数的递增区间；Ⅱ根据的范围得的范围，结合正弦函数的单调性可得的最大最小值．
【详解】Ⅰ，，
，
，
由，得，
所以的增区间为，；
Ⅱ，，
可得
，
的最大值为5，最小值为4．
【点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，三角函数的图象与性质为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的
各种变化形式要熟记于心.
24.已知是函数的零点，，
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
Ⅲ若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)；(Ⅲ)．
【解析】
【分析】
Ⅰ利用是函数的零点，代入解析式即可求实数的值；Ⅱ由不等式
在上恒成立，利用参数分类法，转化为二次函数求最值问题，即可求实数的取值
范围；Ⅲ原方程等价于，利用换元法，转化为一元二次方程根的个数进行求解即可．
【详解】Ⅰ是函数的零点，
，得；
Ⅱ，，
则不等式在上恒成立，
等价为，
，
同时除以，得，
令，则，
，，
故的最小值为0，
则，即实数k的取值范围；
Ⅲ原方程等价为，
，
两边同乘以得，
此方程有三个不同的实数解，
令，则，
则，
得或，
当时，，得，
当，要使方程有三个不同的实数解，
则必须有有两个解，
则，得．
【点睛】本题主要考查函数与方程根的问题，利用换元法结合一元二次方程根的个数，以及不等式恒成立
问题，属于难题.不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒
成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。