河南省实验中学高三上学期第一次月考数学（理科）试题

河南省实验中学-高三第一次月考
数学试题（理科）
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．若复数i
i a 213++（a ∈R ，i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数a 的值为A ．－2
B ．4
C ．－6
D.6
2. 已知3
1
33)2(3
lim 1=-⋅+-⋅⋅+∞→n n n n
n n x n n ，则x 的取值范围为A. (－1,1) B. (－1,0)∪(0,1) C. (-1, 5 ) D. (1, 5)3. 函数231()23
f x x x =-在区间[0,6]上的最大值是
A ．32
3
B ．
163
C ．12
D ．9
4．设γβα、、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 A ． l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα B ． γβγαγα⊥⊥=⋂,,m
C ． αγβγα⊥⊥⊥m ,,
D ． α
βα⊥⊥⊥m n n ,,5．已知(x
＋
3
3x
)2n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为
64，则n 等于
A ．4
B ．3
C ．6
D ．7
6．函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，有()214f x m m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是
A ．()311-，
B ．()311，
C ．[]311，
D ．[]27，
7．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 A ．91 B ．121 C ．151 D ．
18
18. 一个物体的运动方程是s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是
A ．7米/秒； B. 6米/秒； C. 5米/秒； D. 8米/秒
9.有下列命题：①2
31
lim 221+--→x x x x 不存在；②2221
lim 32
x x x x →--+不存在；③对于函数
2
31)(22+--=
x x x x f 有)1()(lim 1
f x f x ≠→；④对于函数2
31
)(22+--=
x x x x f ，若x 0∈
(1,2)，总有)()(lim 00
x f x f x
x =→。

其中正确的是A. ①②； B. ①③； C. ②③④； D. ②③
10．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有
极小值点有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ． 4个11．若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,2
1
(-内单调递增，则a 的取
值范围是
A ．)1,41[
B ． )1,43[
C ．),49(+∞
D ．)
4
9
,1(12.下列求导运算正确的是
A.211)1(x
x
x +='+； B. 2
ln 1)(log 2x x ='；
C. e x x 3log 3)3(='；
D. x x x x sin 2)cos (2-='二．填空题（共20分，每小题5分）13．lim(lg
lg
103)n n n →∞
-+=
14． f(x)＝x(x －c)2在x ＝2处有极大值，那么常数c 的值是
15. 与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是
__________．
16. 已知点,,,A B C D 在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，若6AB =，
213AC =，8AD =，则B C ，两点间的球面距离是 ．
三．解答题（共70分）
17．（本小题满分10分）运用导数的定义求函数y ＝x 3＋3x 在x ＝－2处的导数
a
b
x
y )
(x f y =O
18．(本小题满分12分)在如图组合体中，
1111ABCD A B C D -是一个长方体，P ABCD -是一
个
四棱锥;23,AB BC ==，点P ∈平面11CC D D ，且
2PD PC ==
(1)证明：PD ⊥平面PBC
(2)求PA 与平面ABCD 所成的角的正切值 19
．
（
本
小
题
满
分
12
分
）
在
数
列
{}
n a 中，
()111,1
n
n n a a a c n N ca *+==
∈+为常数，，且125,,a a a 成公比不等于1的等比数列 （1）求证：数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是等差数列; （2）求c 的值;
（3）设1n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求lim n n S →∞
20．（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5， 0.6， 0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．
21.(本小题满分12分)设函数kx xe x f =)(（0≠k ） （1）求曲线)(x f y =在点(0,f(0))处的切线方程； （2）求函数)(x f y =的单调区间;
（3）若函数)(x f 在区间(-1,1)内单调递增，求k 的取值范围
22．（本小题满分12分）已知函数21
2()()ln f x a x x =-+.（R a ∈）
（1）当1=a 时，求()f x 在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方，求a 的取值范围．
河南省实验中学高三年级第一次月考数学试题答案
（理科）
一、选择题共12小题，每小题5分，共60分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
C
A
D
B
C
B
C
C
A
B
B
二、填空题 13 、_
12, 14、 6, 15、3x+y+2=0, 16、3
4π 三、解答题
17、15 18、（1）略（2）
10
10 19、（1）略 .(2) c=2 (3).
12
20、解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 )()()()(321321321A A A p A A A A A A P E P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．
（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，
所以~(30.3)B ξ，， 故30.30.9E np ξ==⨯=．
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则
()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=， 2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=，2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=， 3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．
21、
22、解：（Ⅰ）当1=a 时，2
12
()ln f x x x =+，2
11()x f x x x x +'=+=；
对于x ∈[1，e]，有0()f x '>，∴()f x 在区间[1，e]上为增函数，
∴212max ()()e f x f e ==+，1
12
min ()()f x f ==.
（Ⅱ）令21
222
()()()ln g x f x ax a x ax x =-=--+，则()g x 的定义域为（0，+
∞）.
在区间（1，+∞）上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方等价于0()g x <在区间（1，+∞）上恒成立.
∵2121211211212()()[()]
()()a x ax x a x g x a x a x x x
--+---'=--+==
① 若12a >，令0()g x '=，得极值点11x =，21
21
x a =-，
当211x x >=，即1
12
a <<时，在（2x ，+∞)上有0()g x '>，
此时()g x 在区间(2x ，+∞)上是增函数，并且在该区间上有
()g x ∈(2()g x ，+∞)，不合题意；
当211x x <=，即1a ≥时，同理可知，()g x 在区间(1，+∞)上，有 ()g x ∈(1()g ，+∞)，也不合题意；
② 若1
2
a ≤
，则有210a -≤，此时在区间(1，+∞)上恒有0()g x '<， 从而)(x g 在区间(1，+∞)上是减函数；
要使0()g x <在此区间上恒成立，只须满足1102()g a =--
≤12
a ⇒≥-， 由此求得a 的范围是[12-，1
2
].
综合①②可知，当a ∈[21-
，21
]时，
函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方.。