2012年高考数学 高考试题+模拟新题分类汇编专题M 推理与证明 理

M 推理与证明
M1 合情推理与演绎推理
11．M1[2012·某某卷] 观察下列不等式
1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……
照此规律，第五个．．．不等式为______________．
11．1＋122＋132＋142＋152＋162<116
[解析] 本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的关键是对给出的几个事例分析，
找出规律，推出所要的结果．从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1＋1
2
2＋
132＋142＋152＋1
6
2，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6，而其分子依次为： 3,5,7，所以第5个式子的分子应为11，所以第5个式子应为：1＋122＋132＋142＋152＋162<116.
13．M1[2012·某某卷] 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则
(1)4位回文数有________个；
(2)2n ＋1(n ∈N *
)位回文数有________个．
13．(1)90 (2)9×10n
[解析] 由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90＝9×10个，4位回文数有1001,1111,1221，…，1991,2002，…，9999，共90
个，故归纳猜想2n ＋2位回文数与2n ＋1位回文数个数相等，均为9×10n
个．
16．M1[2012·某某卷] 设N ＝2n (n ∈N *
，n ≥2)，将N 个数x 1，x 2，…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0＝x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N 2和后N
2个位置，得到排列P 1＝x 1x 3…x N －1x 2x 4…x N ，将
此操作称为C 变换．将P 1分成两段，每段N
2个数，并对每段作C 变换，得到P 2；当2≤i ≤n －2时，将P i 分成2i
段，每段N
2
i 个数，并对每段作C 变换，得到P i ＋1.例如，当N ＝8时，P 2
＝x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置．
(1)当N ＝16时，x 7位于P 2中的第________个位置；
(2)当N ＝2n
(n ≥8)时，x 173位于P 4中的第________个位置．
16．(1)6 (2) 3×2n －4
＋11 [解析] 考查合情推理，以新定义题型为载体，依据排列，考查考生的逻辑推理能力，要求学生的想象能力相当出色．
(1)由已知可得P 1＝x 1x 3x 5x 7x 9x 11x 13x 15…，P 2＝x 1x 5x 9x 13x 3x 7x 11x 15…，故x 7位于P 2中的第6
个位置；
(2)当i ＝1时，P 1的排列中x 173的位置是173＋1
2＝87位；
当i ＝2时，P 2的排列中x 173的位置是87＋1
2＝44位；
当i ＝3时，P 3的排列中x 173的位置是2n －22＋442
＝2n －3
＋22位；
当i ＝4时，P 4的排列中x 173的位置是2n －3＋2n －3
＋222
＝2n －3＋2n －4＋11＝3×2n －4
＋11位．
6．M1[2012·某某卷] 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5
＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10
＝( )
A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
6．C [解析] 考查归纳推理，以及观察能力；解题的突破口是通过观察得到后一项与
前两项结果之间的关系．由于a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5
＝11，…，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，故选C.
M2 直接证明与间接证明
23．M2、D1[2012·某某卷] 对于数集X ＝{－1，x 1，x 2，…，x n }，其中0＜x 1＜x 2＜…＜x n ，n ≥2，定义向量集Y ＝{a |a ＝(s ，t )，s ∈X ，t ∈X }，若对任意a 1∈Y ，存在a 2∈Y ，使得a 1·a 2＝0，则称X 具有性质P ，例如{－1,1,2}具有性质P .
(1)若x ＞2，且{－1,1,2，x }具有性质P ，求x 的值； (2)若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1＝1；
(3)若X 具有性质P ，且x 1＝1、x 2＝q (q 为常数)，求有穷数列x 1，x 2，…，x n 的通项公式．
23．解：(1)选取a 1＝(x,2)，Y 中与a 1垂直的元素必有形式(－1，b )， 所以x ＝2b ，从而x ＝4.
(2)证明：取a 1＝(x 1，x 1)∈Y ，设a 2＝(s ，t )∈Y ，满足a 1·a 2＝0. 由(s ＋t )x 1＝0得s ＋t ＝0，所以s ，t 异号．
因为－1是X 中唯一的负数，所以s ，t 之中一个为－1，另一个为1，故1∈X . 假设x k ＝1，其中1＜k ＜n ，则0＜x 1＜1＜x n .
选取a 1＝(x 1，x n )∈Y ，并设a 2＝(s ，t )∈Y 满足a 1·a 2＝0，即sx 1＋tx n ＝0， 则s ，t 异号，从而s ，t 之中恰有一个为－1. 若s ＝－1，则x 1＝tx n ＞t ＞x 1，矛盾； 若t ＝－1，则x n ＝sx 1＜s ≤x n ，矛盾． 所以x 1＝1.
(3)设a 1＝(s 1，t 1)，a 2＝(s 2，t 2)，则a 1·a 2＝0等价于s 1t 1＝－t 2s 2
， 记B ＝⎩⎨
⎧
s t
|}
s ∈X ，t ∈X ，|s |＞|t |，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点
对称．
注意到－1是X 中的唯一负数，B ∩(－∞，0)＝{－x 2，－x 3，…，－x n }共有n －1个数，所以B ∩(0，＋∞)也只有n －1个数．
由于
x n x n －1＜x n x n －2＜…＜x n x 2＜x n
x 1
，已有n －1个数，对以下三角数阵 x n x n －1＜x n x n －2＜…＜x n x 2＜x n
x 1
，
x n －1x n －2＜x n －1x n －3＜…＜x n －1
x 1
， …
x 2x 1
. 注意到x n x 1＞
x n －1x 1＞…＞x 2x 1，所以x n x n －1＝x n －1x n －2＝…＝x 2x 1，从而数列的通项为x k ＝x 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2x 1k －1＝q
k －
1
，k ＝1,2，…，n .
19．D2、D3、M2[2012·某某卷] 已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1,2，….
(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *
，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；
(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *
，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．
19．解：(1)对任意n ∈N *
，三个数A (n )，B (n )，C (n )是等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.
故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列． 于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.
(2)①必要性：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则对任意n ∈N *
，有a n ＋1＝a n q .由a n
＞0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是
B n A n ＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q a 1＋a 2＋…＋a n
a 1＋a 2＋…＋a n ＝q ， C n B n ＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q a 2＋a 3＋…＋a n ＋1
a 2＋a 3＋…＋a n ＋1
＝q ， 即
B n A n ＝
C n
B n
＝q .所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列． ②充分性：若对任意n ∈N *
，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则 B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )．
于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，得a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1. 由n ＝1有B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1， 从而a n ＋2－qa n ＋1＝0.
因为a n ＞0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2
a 1
＝q .
故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．
综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *
，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．
22．B12、M3、M2[2012·某某卷] (1)已知函数f (x )＝rx －x r
＋(1－r )(x >0)，其中r 为有理数，且0<r <1.求f (x )的最小值；
(2)试用(1)的结果证明如下命题：
设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数．若b 1＋b 2＝1，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．
注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1
.
22．解：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1
)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.
(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r
≤rx ＋(1－r )． ① 若a 1，a 2中有一个为0，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2成立； 若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1，于是
在①中令x ＝a 1
a 2
，r ＝b 1，可得⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1a
2b 1≤b 1·a 1a 2
＋(1－b 1)，
即ab 11a 1－b 12≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.
综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.②
(3)(2)中命题的推广形式为：
若a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数． 若b 1＋b 1＋…＋b n ＝1，
则ab 11ab 22…ab nn ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .③ 用数学归纳法证明如下：
①当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．
②假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，
且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，
则ab 11ab 22…ab kk ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .
当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，
且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即 1－b k ＋1＞0，于是 ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1＝(ab 11ab 22…ab kk )ab k ＋1k ＋1
＝(a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k
1－b k ＋1
k )1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1.
因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k
1－b k ＋1
＝1，由归纳假设可得
a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k ≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k
1－b k ＋1
＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k
1－b k ＋1
，
从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab
k ＋1k ＋1. 又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab
k ＋1k ＋1
≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1 ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，
从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1. 故当n ＝k ＋1时，③成立．
由①②可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．
说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n ≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情
况．
M3 数学归纳法
21．D1、D3、E1、M3[2012·某某卷] 设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a 2S n ＋a 1，其中a 2≠0.
(1)求证：{a n }是首项为1的等比数列；
(2)若a 2＞－1，求证：S n ≤n
2
(a 1＋a n )，并给出等号成立的充要条件．
21．解：(1)证法一：由S 2＝a 2S 1＋a 1得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1，即a 2＝a 2a 1.
因a 2≠0，故a 1＝1，得a 2a 1
＝a 2. 又由题设条件知
S n ＋2＝a 2S n ＋1＋a 1，S n ＋1＝a 2S n ＋a 1， 两式相减得S n ＋2－S n ＋1＝a 2(S n ＋1－S n )， 即a n ＋2＝a 2a n ＋1，
由a 2≠0，知a n ＋1≠0，因此a n ＋2
a n ＋1
＝a 2. 综上，
a n ＋1a n
＝a 2对所有n ∈N *
成立，从而{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列． 证法二：用数学归纳法证明a n ＝a n －12，n ∈N *
.
当n ＝1时，由S 2＝a 2S 1＋a 1，得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1，即a 2＝a 2a 1，再由a 2≠0，得a 1＝1，
所以结论成立．
假设n ＝k 时，结论成立，即a k ＝a k －1
2，那么
当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(a 2S k ＋a 1)－(a 2S k －1＋a 1)＝a 2(S k －S k －1)＝a 2a k ＝a k
2， 这就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立．
综上可得，对任意n ∈N *，a n ＝a n －1
2.因此{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列． (2)当n ＝1或2时，显然S n ＝n
2
(a 1＋a n )，等号成立．
设n ≥3，a 2＞－1且a 2≠0，由(1)知a 1＝1，a n ＝a n －1
2，所以要证的不等式化为 1＋a 2＋a 2
2＋…＋a n －1
2≤n
2
(1＋a n －1
2)(n ≥3)，
即证：1＋a 2＋a 22＋…＋a n 2≤n ＋12
(1＋a n
2)(n ≥2)．
当a 2＝1时，上面不等式的等号成立．
当－1＜a 2＜1时，a r 2－1与a n －r
2－1(r ＝1,2，…，n －1)同为负；
当a 2＞1时，a r 2－1与a n －r
2－1(r ＝1,2，…，n －1)同为正．
因此当a 2＞－1且a 2≠1时，总有(a r 2－1)(a n －r
2－1)＞0，即
a r 2＋a n －r 2
＜1＋a n
2(r ＝1,2，…，n －1)． 上面不等式对r 从1到n －1求和得
2(a 2＋a 22＋…＋a n －12)＜(n －1)(1＋a n
2)，
由此可得1＋a 2＋a 22＋…＋a n 2＜n ＋12
(1＋a n
2)．
综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n
2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立．
证法二：当n ＝1或2时，显然S n ≤n 2(a 1＋a n )，等号成立．当a 2＝1时，S n ＝n ＝n
2
(a 1＋
a n )，等号也成立．
当a 2≠1时，由(1)知S n ＝1－a n
21－a 2
，a n ＝a n －1
2，下证：
1－a n
21－a 2＜n 2
(1＋a n －1
2)(n ≥3，a 2＞－1且a 2≠1)． 当－1＜a 2＜1时，上面不等式化为
(n －2)a n 2＋na 2－na n －1
2＜n －2(n ≥3)．
令f (a 2)＝(n －2)a n 2＋na 2－na n －1
2.
当－1＜a 2＜0时，1－a n －2
2＞0，故
f (a 2)＝(n －2)a n 2＋na 2(1－a n －22)＜(n －2)|a 2|n
＜n －2， 即所要证的不等式成立．
当0＜a 2＜1时，对a 2求导得f ′(a 2)＝n [(n －2)a n －12－(n －1)a n －2
2＋1]＝ng (a 2)．
其中g (a 2)＝(n －2)a n －12－(n －1)a n －22＋1，则g ′(a 2)＝(n －2)(n －1)(a 2－1)a n －3
2＜0，即
g (a 2)是(0,1)上的减函数，故g (a 2)>g (1)＝0，从而f ′(a 2)＝ng (a 2)>0，进而f (a 2)是(0,1)上的增函数，因此f (a 2)＜f (1)＝n －2，所要证的不等式成立．
当a 2＞1时，令b ＝1
a 2
，则0＜b ＜1，由已知的结论知
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 2n 1－
1a 2
＜n 2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n －1， 两边同时乘以a n －1
2得所要证的不等式．
综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n
2
(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立．
22．B12、M3、M2[2012·某某卷] (1)已知函数f (x )＝rx －x r
＋(1－r )(x >0)，其中r 为有理数，且0<r <1.求f (x )的最小值；
(2)试用(1)的结果证明如下命题：
设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数．若b 1＋b 2＝1，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．
注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1
.
22．解：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1
)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数． 故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.
(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r
≤rx ＋(1－r )． ① 若a 1，a 2中有一个为0，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2成立； 若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1，于是
在①中令x ＝a 1
a 2
，r ＝b 1，可得⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1a 2b 1≤b 1·a 1a 2
＋(1－b 1)，
即ab 11a 1－b 12≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.
综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.②
(3)(2)中命题的推广形式为：
若a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数． 若b 1＋b 1＋…＋b n ＝1，
则ab 11ab 22…ab nn ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .③ 用数学归纳法证明如下：
①当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．
②假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，
且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，
则ab 11ab 22…ab kk ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .
当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，
且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即 1－b k ＋1＞0，于是 ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1＝(ab 11ab 22…ab kk )ab k ＋1k ＋1
＝(a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k
1－b k ＋1k )1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1.
因
b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k
1－b k ＋1
＝1，由归纳假设可得
a
b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k ≤a 1·
b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k
1－b k ＋1
＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k
1－b k ＋1
，
从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab
k ＋1k ＋1. 又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得
⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab
k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1 ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，
从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1. 故当n ＝k ＋1时，③成立．
由①②可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．
说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n ≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情
况．
22． D3、M3[2012·全国卷] 函数f (x )＝x 2
－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)、Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．
(1)证明：2≤x n <x n ＋1<3； (2)求数列{x n }的通项公式．
22．解：(1)用数学归纳法证明：2≤x n <x n ＋1<3. ①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为
y －5＝f 2－52－4
(x －4)，
令y ＝0，解得x 2＝11
4
，所以2≤x 1<x 2<3.
②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3.
直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f x k ＋1－5
x k ＋1－4
(x －4)，
令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋1
2＋x k ＋1.
由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1<4－5
2＋3＝3，
x k ＋2－x k ＋1＝3－x k ＋11＋x k ＋1
2＋x k ＋1
>0，
即x k ＋1<x k ＋2.
所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①、②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3.
(2)由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n
2＋x n
.设b n ＝x n －3，则
1b n ＋1＝5
b n
＋1，
1
b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b n ＋14， 数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n ＋14是首项为－3
4，公比为5的等比数列，
因此1b n ＋14＝－34
·5n －1
，
即b n ＝－4
3·5n －1
＋1
， 所以数列{x n }的通项公式为x n ＝3－4
3·5n －1
＋1
.
M4 单元综合
23．M4[2012·某某卷] 设集合P n ＝{1,2，…，n }，n ∈N *
.记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数：
①A ⊆P n ；②若x ∈A ，则2x ∉A ；③若x ∈∁P n A ，则2x ∉∁P n A . (1)求f (4)；
(2)求f (n )的解析式(用n 表示)．
23．解：(1)当n ＝4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}， 故f (4)＝4.
(2)任取偶数x ∈P n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必
为奇数，此时记商为m ，于是x ＝m ·2k ，其中m 为奇数，k ∈N *
.
由条件知，若m ∈A ，则x ∈A ⇔k 为偶数； 若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数．
于是x 是由m 是否属于A 确定的．设Q n 是P n 中所有奇数的集合，因此f (n )等于Q n 的子
集个数．当n 为偶数(或奇数)时，P n 中奇数的个数是n 2⎝
⎛⎭⎪⎫
或n ＋12，所以f (n )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
2n
2，n 为偶数，2n ＋12，n 为奇数.
20．B3、D4、M4[2012·卷] 设A 是由m ×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记S (m ，n )为所有这样的数表构成的集合．
对于A ∈S (m ，n )，记r i (A )为A 的第i 行各数之和(1≤i ≤m )，c j (A )为A 的第j 列各数之和(1≤j ≤n )；
记k (A )为|r 1(A )|，|r 2(A )|，…，|r m (A )|，|c 1(A )|，|c 2(A )|，…，|(A )|中的最小值． (1)对如下数表A ，求k (A )的值；
(2)设数表A ∈S (2,3)形如
求k (A )的最大值；
(3)给定正整数t ，对于所有的A ∈S (2,2t ＋1)，求k (A )的最大值．
20．解：(1)因为r 1(A )＝1.2，r 2(A )＝－1.2，c 1(A )＝1.1，c 2(A )＝0.7，c 3(A )＝－1.8， 所以k (A )＝0.7.
(2)不妨设a ≤b .由题意得c ＝－1－a －b . 又因c ≥－1，所以a ＋b ≤0，于是a ≤0.
r 1(A )＝2＋c ≥1，r 2(A )＝－r 1(A )≤－1，
c 1(A )＝1＋a ，c 2(A )＝1＋b ，c 3(A )＝－(1＋a )－(1＋b )≤－(1＋a )． 所以k (A )＝1＋a ≤1.
当a ＝b ＝0且c ＝－1时，k (A )取得最大值1.
(3)对于给定的正整数t ，任给数表A ∈S (2,2t ＋1)如下：
任意改变A 的行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A *
∈S (2,2t
＋1)，并且k (A )＝k (A *
)．
因此，不妨设r 1(A )≥0，且c j (A )≥0(j ＝1,2，…，t ＋1)．
由k (A )的定义知，k (A )≤r 1(A )，k (A )≤c j (A )(j ＝1,2，…，t ＋1)． 又因为c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c 2t ＋1(A )＝0，
所以(t ＋2)k (A )≤r 1(A )＋c 1(A )＋c 2(A )＋…＋c t ＋1(A )
＝r 1(A )－c t ＋2(A )－…－c 2t ＋1(A )＝∑j ＝1
t ＋1
a j －
∑j ＝t ＋2
2t ＋1
b j
≤(t ＋1)－t ×(－1)＝2t ＋1.
所以k (A )≤2t ＋1
t ＋2
.
对数表A 0： －1＋t －1
t t ＋2
－1＋t －1
t t ＋2
则A 0∈S (2,2t ＋1)，且k (A 0)＝t ＋2
.
综上，对于所有的A ∈S (2,2t ＋1)，k (A )的最大值为2t ＋1
t ＋2
.
2012模拟题
1．[2012·某某模拟] 设S 是实数集R 的非空子集，如果∀a ，b ∈S ，有a ＋b ∈S ，a －b ∈S ，则称S 是一个“和谐集”．下面命题为假命题．．．
的是( ) A ．存在有限集S ，S 是一个“和谐集”
B ．对任意无理数a ，集合{}x | x ＝ka ，k ∈Z 是“和谐集”
C ．若S 1≠S 2，且S 1，S 2均是“和谐集”，则S 1∩S 2≠∅
D ．对任意两个“和谐集”S 1，S 2，若S 1≠R ，S 2≠R ，则S 1∪S 2＝R
1.D [解析] 对于A ，S ＝{0}，是一个和谐集，正确；对于B ，对任意无理数a ，集合{x|x ＝ka ，k ∈Z }是“和谐集”正确；由A ，B 的正确，知道D 是错误的，选D.
2．[2012·某某重点中学联考] “α为锐角”是“sin α>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
2．A [解析] 因“α为锐角”，则必有“sin α>0”，反之“sin α>0”则α不一定为锐角，如α＝120°，故选A.
3．[2012·某某检测] 给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：
①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；
③“若a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”． 其中类比得到的结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3．C [解析] ①②是正确的，③是错误的．因为复数不能比较大小，如a ＝5＋6i ， b ＝4＋6i ，虽然满足a －b ＝1＞0，但复数a 与b 不能比较大小．
4．[2012·某某一调] 在平面中，△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比
S △AEC S △BEC ＝AC
BC
.将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．
图K45
4.V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD
S △BDC
[解析] 此类问题由平面类比空间，应该面积类比体积，长度类比面积，由S △AEC S △BEC ＝AC BC ，类比得V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD S △BDC
. 5．[2012·枣庄模拟] 在平面内有n 条直线，其中任何两条直线不平行，任何三条直线都不相交于同一点，则这n 条直线把平面分成________部分．
5.n 2＋n ＋2
2
[解析] a 1＝2，a 2＝4，a n ＋1－a n ＝n ＋1⇒a n ＝
n 2＋n ＋2
2
.。