高考数学一轮复习 第9章 解析几何9.1直线的方程练习(

课时作业41 直线的方程
一、填空题
1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R )的倾斜角的取值范围是__________．
2．设A (－2,3)，B (3,2)，若直线y ＝ax －2与线段AB 有交点，则a 的取值范围是__________．
3．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是__________．
4．直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有直线恒过定点__________．
5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是__________．
6．经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程为__________．
7．已知曲线C ：y ＝ln x －4x 与直线x ＝1交于点P ，那么曲线C 在点P 处的切线方程是__________．
8．已知直线l 过点P (2,1)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为__________．
9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________．
二、解答题
10．已知两点A (－1,2)，B (m,3)．
(1)求直线AB 的方程；
(2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 11．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0.
(1)求证：l 经过定点；
(2)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．
12．(2012江苏徐州高三第一次调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x －y ＋1＝0截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为 6.
(1)求圆O 的方程．
(2)若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程．
(3)设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交x 轴于点(m,0)和(n,0)，问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
一、填空题 1.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：斜率k ＝－1a 2＋1≥－1，故k ∈ [－1,0)，由正切函数图象知倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π. 2.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52 ∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫43，＋∞ 解析：直线y ＝ax －2过定点C (0，－2)，
所以直线的斜率a ≥k BC ＝43或a ≤k AC ＝3＋2－2－0＝－52
， 即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫43，＋∞. 3．k ＞12
或k ＜－1 解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k ＜3，解不等式可得k ＞12
或k ＜－1. 4．(3,1) 解析：直线方程化成y －1＝k (x －3)，故过(3,1)．
5.(30°，90°) 解析：由题意，可作两条直线如图所示，从图中可以看出，满足题意的直线l 的倾斜角的取值范围为(30°，90°)．
6．x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 解析：当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a
＝1； 将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12
， 此时直线方程为x ＋2y ＋1＝0.
当直线过原点时，斜率k ＝－25
， 直线方程为y ＝－25
x ，即2x ＋5y ＝0. 综上可知，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.
7．3x ＋y ＋1＝0 解析：易知P (1，－4)，
∵y ′＝1x
－4， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝－3.
∴切线方程为y ＋4＝－3(x －1)，
即3x ＋y ＋1＝0.
8．4 解析：设过A ，B 的直线l 的斜率为k (k ＜0)，
则y －1＝k (x －2)，
∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B 点坐标为(0,1－2k )． 由S △OAB ＝12·OA ·OB ＝12·2k －1k
·(1－2k ) ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫－4k 2＋4k －1k ＝12⎝
⎛⎭⎪⎫－4k －1k ＋4 ≥12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2·－4k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＋4 ＝12
(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝－12
时，S △OAB 取得最小值4. 9．[135°，180°) 解析：切线斜率k ＝y ′＝－4e x 1＋e x 2＝－4e x ＋1e x ＋2≥－42e x ·1e x ＋2＝
－1，即－1≤k ＜0，－1≤ta n α＜0.
∵0°≤α＜180°，
∴α∈ [135°，180°)．
二、解答题
10．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，
当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1
(x ＋1)，即x －(m ＋1)y ＋(2m ＋3)＝0. (2)①当m ＝－1时，α＝π2
； ②当m ≠－1时，
m ＋1∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－33，0∪(]0，3， ∴k ＝1m ＋1∈ (－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫33，＋∞. ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2
，2π3. 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6
，2π3. 11．解：(1)证明：由kx －y ＋1＋2k ＝0，
得k (x ＋2)＋1－y ＝0.
所以l 经过定点(－2,1)．
(2)由l 的方程得
A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )， 由题知：－1＋2k k
＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0. ∵S ＝12
·OA ·OB
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥4， 当且仅当k ＞0,4k ＝1k ，即k ＝12
时，面积取最小值4，此时直线的方程是x －2y ＋4＝0. 12．解：(1)因为点O 到直线x －y ＋1＝0的距离为2
2，所以圆O 的半径为
⎝ ⎛⎭⎪⎫
222
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
622
＝2，
故圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.
(2)设直线l 的方程为x a ＋y
b ＝1(a ＞0，b ＞0)，即bx ＋ay －ab ＝0，
由直线l 与圆O 相切，得|ab |
a 2＋
b 2＝2，即1a 2＋1b 2＝12，
DE 2＝a 2＋b 2
＝2(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1
b 2≥8，
当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.
(3)设M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，x 21＋y 21＝2，x 22＋y 2
2＝2，
直线MP 与x 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 2－x 2y 1
y 2－y 1，0，m ＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1
，
直线NP 与x 轴的交点为
⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 2＋x 2y 1
y 2＋y 1，0，n ＝x 1y 2＋x 2y 1
y 2＋y 1
，
mn ＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1·x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝x 21y 22－x 22y 21y 22－y 21＝2－y 21y 22－2－
y 22y 2
1
y 2
2－y 21
＝2，
故mn 为定值2.。