微分中值定理中的辅助函数怎么构造

微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。

今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。

首先声明：这三种方式也不是万能，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及。

一、积分原函数法
具体方法简述：将要证明的式子整理为()0ϕξ=（一般不包含分式），然后令()()F ξϕξ'=，对两边式子分别积分，则有()()F d ξϕξξ=⎰，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。

说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。

还不懂？没事，举两个例子。

例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且()0g x '≠，证明：在（a,b ）存在ξ，使得()()()()()()
f f a f
g b g g ξξξξ'-='-。

解析：这是非常常见的一道题。

估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。

其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。

首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：
()()()()()()()()0g f f g f a g g b f ξξξξξξ'''''+--=
然后我们令：
()()()()()()()()()F g f f g f a g g b f ξξξξξξξ''''''=+--
好，对上式两边进行积分，如下：
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
()()()()()()()
()()()()()()
F g f f g f a g g b f d f dg g d f f a g g b f f g g df g d f f a g g b f f g f a g g b f ξξξξξξξξ
ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ'''''=+--=+--=-+--=--⎰⎰⎰⎰⎰ 所以我们要寻找的辅助函数就为：
()()()()()()()F x f x g x f a g x g b f x =--
很容易验证：
()()()()F a F b f a g b ==-
于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，是的()0F ξ'=，也就是： ()()()()()()()()0g f f g f a g g b f ξξξξξξ'''''+--=
整理便可得题目中的式子，因此原题得证。

注：原函数法特别适合所证式子中包含f(x)和g(x)两个函数的情况。

例2：拉格朗日中值定理的证明。

解析：教材上给出了一种辅助函数的构造方法。

其实我们利用原函数法完全可以找到另一种辅助函数。

分析式子
()()()f b f a f b a ξ-'=-，整理为()()()0f b f a f b a
ξ-'-=-。

两边同时积分，得到()()()()0f b f a F f b a ξξξ-=-=-，因此()()()()f b f a F x f x x b a -=--就是我们要找的辅助函数。

是不是跟教材上的那个不太一样啊。

没关系，我们来验证下。

非常容易验证：
()()()()bf a af b F a F b b a
-==- 因此满足罗尔定理，拉格朗日得证。

二、微分方程法
方法简述：将所证明的表达式()()(),,0f f ϕξξξ'=看成是微分方程
()()(),,0f x f x x ϕ'=，从中求解出F （y,x ）=0，然后忽略掉常数项，替换为F(f(x),x)就是我们要找的辅助函数了。

运用该方法，关键在于构造的微分方程比较容易求出f(x)。

举个例题，如下： 例3：已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0，求证在(a,b)上有一点ξ使得()()2f f ξξξ
'=-
解析：先将式子进行整理为()()20f f ξξξ'+=，那么这是一个很简单的微分方程了20dy xy dx
+=。

学过微分方程的应该都会做，分离变量嘛。

如下： 21212ln dy xdx y
dy xdx y y x C
=-=-=-+⎰⎰
此时我们把常数当做0，就有2ln y x =-，也就是2x y e -=，进一步得到2
x ye -1=0。

那么我们忽略常数项，则()2()x F x f x e =就是我们要找的辅助函数了。

非常容易验证F(a)=F(b)=0，那么由罗尔定理就有
()()22
()20F f e e f ξξξξξξ''=+=，也就是()()20f f ξξξ'+=，整理则题目得证。

三、常用表格对照
上面两种方法不是万能，有时候总有更复杂的辅助函数构造起来很麻烦。

根据经验，笔者之前整理了一个罗尔定理常用的辅助函数表格。

现在再放一下，如下：
怎么用呢？还是用一道例题来说明。

例4：f(x)与g(x)在(a,b)上可导，且有f(a)=f(b)=0，试证明在(a,b)上存在一点ξ，使得()()()0f f g ξξξ''+=。

解析：首先微分方程法行不通，因为包含了f(x)和g(x)两个函数，没学过这样的微分方程如何求。

再看看用原函数法呢？如下：
()()()()()()
f f
g d f f dg ξξξξξξξ''+=+⎰⎰ 也积不出什么函数出来。

这个时候我们可以使用上面的表格（其实表格不必死记硬背，经常看看有个印象就行）。

我们对照下所证表达式，是不是跟第四行的原式那一列非常相像，从而所构造的辅助函数就为F(x)=f(x)*e g(x)。

因此，我们构造函数F(x)=f(x)*e g(x)，根据题目易得F(a)=F(b)=0，那么根据罗尔定理就有在(a,b)上存在一点ξ使得()0F ξ'=，即()()()()()0g g f e f e g ξξξξξ''+=，我们约去()g e
ξ，就得到()()()0f f g ξξξ''+=。

题目得证。

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特别说明：具体题目使用哪一种方法呢？没有特别规定的情景，说不定一道题三种方法都行得通。

但是这三种方法不是万能的，题目无穷无尽啊，很难找到能够适用于所有题目的方法。

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然而上面的方法虽然不是万能的，但在做题时却能给我们指明方向，带来一些灵感。

下面笔者就再举一个例题来说明这种情况吧。

例5：函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，且过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c))，其中0<c<1.求证在(0,1)内有一点ξ，使得()0f ξ''=
解析：这显然是微分中值定理应用的证明题。

直接给答案没多大意义，笔者就专门分析下思路是怎么来的。

解法一：我们使用上面的原函数法来试一试。

如下：
()()()()f d f C f Cd f C k
ξξξξξξξ'''=+'+=++⎰⎰ 那么我们可以发现所构造的辅助函数应该为()f x cx k ++形式。

也就是说虽然原函数法没有给出我们具体的辅助函数是什么（因为c 和k 没法求出），但是给出了我们构造辅助函数的方向，这是相当宝贵的！
好，那么我们的重点就应该看看()f x cx k ++中的c 和k 要怎么来找出来。

进一步观察辅助函数形式，其实就为f(x)与一条直线的和，因为cx+k 就是一条直线啊。

那么就给我们一个启示，往题目中的已知条件中来找寻这条直线。

显然题目暗示的已经很明显了，就是直线AB 。

很容易就求出AB 的表达式：y=[f(1)-f(0)]x+f(0)
那么我们所构造的辅助函数就是F(x)=f(x)-y=f(x)- [f(1)-f(0)]x-f(0)
有同学奇怪这么为什么将加号换成了减号呢？其实根据经验来的，往往就是减号。

即使你在这里按部就班的构造成F(x)=f(x)+y ，在下面的分析中会发现还是得回过头将这里的加号改为减号。

这里笔者为了篇幅，就直接根据经验来了。

好了，辅助函数找到了。

经验告诉我们，题目让证二阶导数点为0，那么势必要两次运用罗尔定理。

题目也给出了非常明确的暗示了，就是先在(0,c)上和(c,1)上先分别运用罗尔定理。

那么就必须有F(0)=F(c)和F(c)=F(1)，也就是说必须有
F(0)=F(c)=F(1)。

那么到底有没有呢？我们来验证下。

很容易验证F(0)=F(1)=0。

然而F(c)=f(c)- [f(1)-f(0)]c-f(0)却一时半会判断不出来是否为0。

这个时候就有同学开始着急了，觉得是自己想错方向了。

别急，也别放弃。

因为显然题目中的已知条件你还没用完啊。

点C 在直线AB 上，这个条件你还没用呢！！又这个条件可得[f(1)-f(0)]c=f(c)-f(0)。

代入F(c)的表达式，就有F(c)=0.
于是就有F(0)=F(c)=F(1)=0了。

那么我们首先在(0,c)上和(c,1)上各用一次罗尔定理，就有在（0,c ）上存在1ξ使得()10f ξ'=，同时在（c,1）上存在2ξ使得()20f ξ'=，那么再在()12,ξξ上运用罗尔
定理，就得到在()12,ξξ上有一点ξ，使得()0f ξ''=，题目得证。

解法二：有的同学嫌两次利用罗尔定理麻烦，而且如果不会用原函数法来寻找思路方向。

那么没关系。

我们完全可以根据对题目的深入剖析来得到另一种较好的思路。

我们根据题目中对三点A 、B 、C 的状态描述，来尝试画出f(x)的大概草图。

会发现只能如下所示：
那么大家观察这个图，尤其是图中三条平行的红线直线，想到了什么？？熟悉拉格朗日中值定理的几何意义的都会知道，这分明跟拉格朗日中值定理的几何意义图示一模一样啊。

其实再仔细观察思考下，拉格朗日中值定理的几何意义是以A 到B 为长度来描述的，而且只是表述了存在一根红线与AB 平行。

然而正如上图所画，实际上是存在两根红线与AB 平行的。

按照朗格朗日，一根红线可以得到一个ξ，即根据()()()f b f a f b a
ξ-'=-得到。

那么两根红线应该能得到两个ξ，而且还是两个不同的ξ。

怎么得到呢？变通下，不再以AB 为长度了，分别以AC 和CB 来做拉
格朗日不就行了嘛。

而且题目也暗示了很明显了，摆明让我们一C 作为分段点来做。

因此我们按照方向，就分别有如下结果：
1()(0)()0
f c f f c ξ-'=- 2(1)()()1f f c f c
ξ-'=- 好了，题目让证明二阶导数点为0，显然应该有()()12f f ξξ''=。

那么他俩等于不等于呢？稍加思考就会发现铁定等于啊。

因为
()(0)0f c f c --和(1)()1f f c c --表示的都是直线AB 的斜率啊，肯定是相等的！！
于是问题已经得到证明了。

剩下的步骤我就不写了。

说明：其实问题分析到这个地步，题目的意义已经很明显了，说白了，就是如果二阶导数存在，拉格朗日中值定理中隐含了存在二阶导数为0的点。

而题目就是要我们证明这个隐含条件而已，本质上还是属于拉格朗日中值定理的一部分。