新几何学——《大自然的分形几何》

新几何学——《大自然的分形几何》
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1975年，分形学的创始人曼德尔布罗特
（B.B.Mandelbrot）出版了他的法文专著《分形对象：
形、机遇与维数》，这标志着分形理论正式诞生。

1982年曼德尔布罗特又出版了另一历史著作《大自然
的分形几何》，此书虽是前书的增补本，但在曼德尔布
罗特看来它却是分形理论的“宣言书”，分形迷们把它
当作是一部“分形的圣经”。

曼德尔布罗特的分形理论
是在他考察了自然界中许多不规则的现象。

曼德尔布罗特认为，分形几何扮演了两种角色。

它技术
决定论混沌的几何学，又是描述山峦、云团和星系的几
何学。

自然科学与几何学总是携手并进的。

17世纪，开普勒发现能用椭圆描述行星绕太阳运行的轨道。

这激励了牛顿用万有引力定律解释这些椭圆轨道。

同样，理想的摆做往复运动可以用正弦波形表示。

简单的动力学常常和简单的几何外形相联系。

这一种数学图像暗示，物体的形状和作用于它的力之间有一种平滑的关系。

在行星和摆的例子中还暗示物理学是决定论的，由系统的过去便能预测其未来。

曼德尔布罗特也谈到了他的分形几何学产生的背景。

他指出，两种新近的科学进展深深影响了几何外形相联系。

首先是由于认识到自然界充满了某种称为决定论混沌的事物。

宇宙中许多表面看来服从决定论定律的简单物
理系统，其行为仍然是不可预测的。

例如，受两个力作用的摆。

用决定论的观念已无法预测其运动，这使大多数人吃惊。

第二种进展来自对我们周围见到的最不规则而复杂的现象：山峦和云团的外形，星系在宇宙中的分布，离家近点，金融市场价格的起伏等，做数学描述所取得的成果。

获取这种数学描述的一条途径在于找到“模型”。

换言之，需构想或发现一些数学规则，使之能对实现的某些部分做“数学上的伪造”——做成山峦或云团的照片、最深层空间的天体图、报纸金融版的图表等。

实际上，伽利略曾宣称，“自然界伟大的书是用数学语言写成的”，并补充说，“其特征为三角形、圆形和其他几何图形，没有这些几何图形人们只能在黑暗的迷宫中做毫无结果的游荡”。

然而不论模拟决定论混沌还是模拟不规则系统，这些欧几里得外形已经没什么用。

这些现象需要的几何远远不是三角形和圆。

它们需要非欧几里得结构——特别是需要称之为分形几何的新几何学。

1975年，曼德尔布罗特由描述碎石的拉丁文fractus，创造出分形（fractal）一词。

分形是几何外形，它与欧几里得外形相反，是没有规则的。

首先，它们处处无规
则可言。

其次，它们
在各种尺度上都有同
样程度的不规则性。

不论从远处观察，还
是从近处观察，分形客体看起来一个模样——它是自相似的。

在大自然中自相似的例子有很多，随处可见，像大树的枝叶、花草与山川河流。

整体中的小块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。

自然界提供了许多分形实例。

例如，羊齿植物、菜花和硬花甘兰，以及许多其他植物，它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似。

其生成规则保证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征。

用明显的数学模型加工出的
分形工艺品为谢尔宾斯基
（Sierpinski）垫圈。

取一
个三角形并把它分割成四个
较小的三角形，拿掉中心部
分的第四个三角形，便留下
一个白三角形。

每一个新三
角形也重复上述做法，便能
获得尺度不断缩小具有同样
形式的结构，边长总是教上
一步边长缩小一倍。

当客体
的部分和整体完全相似，就
可以说客体是线性自相似
的。

然而，最重要的一些分形和
线性自相似还是有区别的。

其中有些是描述普通随机性
的分形，另一些是能描述混
沌，或非线性系统的分形
（在这种系统中对系统行为
起作用的因素，其作用程度
与其产生的效果不成比
例）。

让我们为上两种情况
举出实例。

由于分形能构造海岸线、山峦和云团而知
名，也曾用于为影片《星际旅行》制作过一些场景。

曼德尔布罗特介绍说，分形模拟著作是从少量的人类智慧和大量的博物学知识开始。

人类智慧从观察某些事物入手，像立体派画家那样做观察。

“云团不是球形，山峦不是锥形，海岸线不是圆的，树皮不是光的，闪电不会沿直线行进”。

曼德尔布罗特强调，“所有这些自然结构都具有不规则形状，它们是自相似的。

换言之，我们发现，把整体中的一部分放大便能进一步揭示其深层结构，而它几乎就是我们一开始处理的那种原始结构的复制品”。

正是由于曼德尔布罗特看到了大自然中存在着这样的规律和特性，他创造了一种新几何学——大自然的分形学。