信号分析与处理第3章习题答案[山东大学]

j 2 n
j 2 n
n
j 2 = X (e )
1
j 3-3 已知 X(e ) =
| ω | < ω0
0
j 求 X(e ) 的傅里叶反变换
ω0≤ | ω | ≤π
1 解：x(n) = 2
= =
X (e


j
)e jn d
1 2
e

0
0
jn
d
1 0 e jn | 0 2jn
n 0
3
3
nk ne j 2N
2
∴ X (0) cos
n 0 3
ne j 0 1 0 1 0 0
2
X (1) cos
n 0 3
n ne j 2 1 0 1 0 2
2
X (2) cos
n 0
ne j n 1 0 1 0 0
n 0 3
j n 2

1 (2 j ) 1 3 j 2 j
X (2) x(n)e j n 1 (2) (1) (3) 5
n 0 3
X (3) x(n)e
n 0
j
3 n 2
1 2 j 1 (3 j ) 2 j
n
x(2n)e

m 2n
m
x(m)e


jm

2
jm jm 1 2 2 m取整数 [ x(m)e (1) m x(m)e ] 2 m jm j 1 1 2 2 m x ( m ) e x ( m ) ( e ) = + 2 m 2 m
j 2 nk (n)e 2 N N 1 j 2 ( m N ) k N 2
m nN
x p ( n )e
N 1 m 0
j 2 n ( k ) N 2
+ x p (m N )e
m 0
= Xp1 ( ) + x p (m)e
k k 2 2 k = X p1 ( )(1 e jk ) 2
e j e j =1+ = 1 + cos 2
(4) X(e ) = = = = (5) X(e ) =
j j
n -
a u ( n )e
n

jn
a e
n 0

n jn
(ae
n 0
j n
)
(∵0 < a < 1, ∴收敛)
1 1 ae j
k 2
j 2 m k N 2
e jk
= X p1 ( ) X p1 ( ) e jk
, k为奇数 0 = k 2 X p1 ( ) , k为偶数 2
3-6 已知周期序列 xp(n)如图 3-45 所示。取其主值序列构成
一个有限长序列 x(n) = xp(n)RN(n)，求 x(n)的离散傅里叶变 换 Xp1 (k) = DFT[x(n)]。
n -
R

N
(n)e jn
=
e
n 0
N 1
jn
1 e jN = 1 e j
=
e
j
N 2
e
= e
j 2
-j
N-1 2
e e N sin 2
·
e
j
N 2
e
j j
N 2
j 2
2
sin
2
j j 3-2 设 X(e ) 和 Y(e ) 分别是 x(n)和 y(n)的傅里叶变换，试求下面
n

= =

1 2
X (e


j
)Y (e j ( ) )d
1 X (e j ) * Y (e j ) 2
jn
(6) DTFT[nx(n)] =
n
nx(n)e
= j[ (7) DTFT[x(2n)] =
d X (e j )] d
jn
2
X (3)
n 0
3
j 3 n cos ne 2 1 0 1 0 2
2
X (k ) 1 cos k , k=0,1,2,3
（3） X (k ) x(n)e
n 0
3
j 2 nk N
∴ X (0) x(n) 5
n 0 3
3
X (1) x(n)e
2 1
N 1 n 0
x
p
nk (n)WN
n
-2 -1 0 1 2 3 4 5
图 3-44
∴ Xp (0) = =
3
x
n 0
N 1
p
(n)e
jn 0 2
x
n 0
p
3
p
( n) = 4
j n 2
Xp (1) =
x
n 0

(n)e
= 2 + (–j ) + 0 + j = 2
(1) X(e ) = (2) X(e ) = (3) X(e ) =
j j
( n )e

jn
=1
jn
n -

(n 3)e
-j3 = e
n -
[0.5 (n 1) (n) 0.5 (n 1)]e
jn
j -j = 0.5e + 1 + 0.5e
3-7 一有限长序列如图 3-46 示，绘出 x1(n) = xp(n2) R4(n)， x2(n) = xp(-n) R4(n)。
解：先将有限长序列进行周期延拓， 然后右移 2 位。再截取 0~3 点即得 x1(n)，如下左图所示。 先将有限长序列后褶，然后再进行周 期延拓。再截取 0~3 点即得 x2(n)，如 下右图所示。
x(m)e

jm
j j = X (e )Y (e )
(5) DTFT[x(n) y(n)] =
n
x ( n ) y ( n )e
1 2



jn
= [
n
X (e


j
)e jn d ]y(n)e jn
1 = 2

X (e j )[ y(n)e jn ( ) ]d
j 3-1 求以下序列的频谱 X(e )
(1)δ(n)
(2)δ(n-3)
(3) 0.5δ(n+1)+δ(n)+ 0.5δ(n-1) (4) anu(n), 0<a<1 (5) 矩形序列 RN(n) 解：序列频谱的定义为
X(e ) =
j
j
n -
x ( n )e
n -

jn
解：与 3-4 答案相同，可由定义 求出。只不过此时的 x(n)非周期 的。
x(n)
2 1
n
-2 -1 0 1 2 3 4 图 3-45 离散时间信号 5
Xp (k) = Z[1+cos( k)]R4(k) 2
或 Xp1 (0) = 4, Xp1 (1) = 2, Xp1 (2) = 0, Xp1 (3) = 2
解： 由 DFS 的定义 Xp1 (k) = Xp2 (k) =
N 1 n 0
x p (n)e n 0
j 2 nk N
2 N 1
x p (n)e
j 2 nk 2N
= xp
n 0
N 1
j 2 nk (n)e 2 N N 1 n 0
+
2 N 1 n N
xp
1 e jn0 e jn0 = n 2j
=
0 sin n0 sin n0 0 Sa(n0 ) = = n0 n
3-4 周期序列 xp(n), 如图 3-44 所示， 周期 N=4,求 DFS[xp(n)] = Xp (k)
解： 由 DFS 的定义 Xp (k) =
k)] 2
或 Xp (0) = 4, Xp (1) = 2, Xp (2) = 0, Xp (3) = 2
3-5 如果 xp(n)是一个周期为 N 的序列，也是周期为 2N 的序 列，令 Xp1(k)表示当周期为 N 时的 DFS 系数，Xp2(k)是当周 期为 2N 时的 DFS 系数。试以 Xp1(k)表示 Xp2(k)。
3-9
以下序 列 长度均为 N ， 试计算其 DFT 。 （ 1 ） (n) （3）a n
N 1 n 0
（ 2） (n 3)
0< a <1 （4）e jw0n
X (k )
（ 5） e N
j 2 n
解： DFT x(n)
j 2 nk(n)e

n -
[x(n) * y(n)]e

jn
= = =
n - m -
x(m)y(n m)e
n
jn
m
x(m) y(n m)e x(m)Y (e )e
j
j m
jn

jm
m
= Y (e )
n -
x ( n n )e
0 m -

jn
m n n0
x(m)e
jn
jm jn0
e
jn j = X(e )e 0
(2) DTFT[x (n)] =
*
n -
x ( n )e
*

= [ = [
n -
x ( n )e

jn *
]
n -
x ( n )e

jn ( ) *
]
* -j = X (e )
(3) DTFT[x(-n)] =
n -
x(-n) e
m
jn
m n x(m) e jm( )
-j = X(e )
(4) DTFT[x(n)* y(n)] =
n 0
N 1
j 2 nk N
1 X (k )
∴ X (0) 1
X (1) 1
... ...
X ( N 1) 1
∴ X (k ) 1 RN (k ), k 0,1, 2,..., N 1 （2） DFT (n 3) (n 3)e




j j 1 1 2 2 X ( e ) X ( e ) = + 2 2


(8) DTFT[x2(n)] = (9) DTFT[xa(n)] = = =
1 X (e j ) * X (e j ) 2
n
x (n)e
a a

jn
n
x (2n)e x(n)e
n 0
n n （3） DFT a a e
N 1
j 2 nk N
e
j
6 k N
N 1 n 0
j 2 nk N

1 a N e j 2 k 1 ae
j 2 k N

1 aN 1 ae
j 2 k N
jw0n jw n e （4） DFT e e
x1(n) x2(n)
0 1 2 3 图 3-46 离散时间信号
x(n)
n
0
1
2
3
n
0
1
2
3
n
3-8 计算下列序列的 DFT。 （1） R3(n) x(n) = { 1 2
π （ 2） cos n （3） 2
1 3 }
j 2 nk e 3
2
解： （1）由定义得，
X (k )
n 0 2
0
N 1 n 0
j 2 nk N

N 1 j ( w 2 k ) n e 0 N
n 0

1 e jw0 N e j 2 k
j ( w 2 k ) 1 e 0 N

1 e jw0 N 1 e
序列的傅里叶变换 (1) x(n-n0) (2) x*(n) (3) x(-n) (6) nx(n)
(4) x(n)* y(n) (5) x(n) y(n) (7) x(2n) (8) x2(n) x( (9) xa(n) =
n ), n 为偶数 2
0，n 为奇数 (1) DTFT[x(n-n0)] =
∴ X (0) e0 3
n 0
X (1) e
n 0 2
2
j 2 n 3
1 e
j
2 3
e
j
4 3
0
X (2)
n 0
j 4 n e 3
j 4 1 e 3
j 2 n e 3
0
（2）∵ N
2 m

4m
2
∴只要 m 1，N 就取整数 N 4 ∴ X (k ) cos
Xp (2) = Xp (3) =
x
n 0
3
3
p
(n)e jn = 2 + (–1 ) + 0 + (–1 ) = 0
(n)e
jn 3 2
x
n 0
p
= 2 + j + 0 + (– j ) = 2
∵ Xp (k)是周期函数，其周期长度 N=4 ∴ Xp (k) = Z[1+cos(