河北省衡水中学高三数学下学期二调考试试题 理(2021年整理)

河北省衡水中学2017届高三数学下学期二调考试试题理
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河北省衡水中学2017届高三下学期二调考试
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{|2}A x x =<，{|21,}x B y y x A ==-∈，则A B =（ ） A ．(,3)-∞ B ．[2,3) C ．(,2)-∞ D ．(1,2)-
2.已知复数1z i =-（i 为虚数单位)，则22
z z
-的共轭复数的虚部是（ )
A ．13i -
B ．13i +
C ．13i -+
D ．13i --
3。

有一长、宽分别为50m 、30m 的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置可能性相同，一人在池中心(对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出152m ，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（ ）
A ．34
B ．38
C ．316π
D ．12332
π+
4。

宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题：松长五尺,竹长五尺，松日自半，竹日自倍,松竹何日而长等,下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的,a b 分别为5、2，则输出的n =（ ）
A ． 2
B ． 3
C 。

4
D ．5
5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12(2)n n S a n =+≥，且12a =，则20S =（ ） A ．1921- B ．2122- C 。

1921+ D ．2122+
6。

已知圆C :224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，
,A B 为切点,则直线AB 经过定点（ ）
A ．48(,)99
B ．24
(,)99
C 。

(2,0)
D ．(9,0)
7。

某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）
A ．
43 B ．53 C 。

63 D ．83
8。

212
()log (21)f x ax x =+-,22sin(2)
6()sin 3cos x g x x x π
++=+，若不论2
x 取何值,对12()()f x g x >任意173
[,]102
x ∈总是恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．7(,)10-∞-
B ．4(,)5-∞-
C 。

63(,)80-+∞
D ．404
(,)495
--
9.如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点
1210,,
P P P ，记2(1
,2,,10)i i m AB AP i =•=,则1210m m m +++的值为（ ）
A ．153
B ．45
C 。

603
D ．180
10.已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数，且对任意的,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，若动点(,)P x y 满足等式22(22)(83)0f x x f y y +++++=，则x y +的最大值为（ ) A ． 265 B ． —5 C. 265 D ．5 11。

数列{}n a 满足14
3
a =
，*1(1)()n n n a a a n N +=-∈，且12111
n n
S a a a =++
+
，则n S 的整数部分的
所有可能值构成的集合是（ ）
A ．{0,1,2}
B ．{0,1,2,3}
C 。

{1,2}
D ．{0,2}
12.等腰直角三角形AOB 内接于抛物线22(0)y px p =>，O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，AOB ∆的面积是16,抛物线的焦点为F ，若M 是抛物线上的动点,则
||
||
OM MF 的最大值为（ ) A ．
33 B ．63 C 。

233 D ．26
3
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上)
13。

某校今年计划招聘女教师x 人,男教师y 人，若,x y 满足2526x y x y x -≥⎧⎪
-≤⎨⎪<⎩
,则该学校今年计划招聘
教师最多 人．
14.已知函数2()2sin()12
f x x x x π
=-+的两个零点分别为,()m n m n <,则
21n
m
x dx -=⎰
．
15.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，5AB AC ==，8BC =，AD ⊥底面ABC ,G
为ABC ∆的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为1
2
,则球O 的表面积为 ．
16.已知是定义在R 上的函数,且满足①(4)0f =;②曲线(1)y f x =+关于点(1,0)-对称；③当
(4,0)x ∈-时,2||()log (
1)x x x
f x e m e
=+-+,若()y f x =在[4,4]x ∈-上有5个零点，则实数m 的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量(3sin ,1)m x ω=，2(cos ,cos 1)n x x ωω=+，设函数()f x m n b =•+． （1）若函数()f x 的图象关于直线6
x π
=对称，且[0,3]ω∈时，求函数()f x 的单调增区间;
（2）在(1）的条件下，当7[0,
]12
x π
∈时，函数()f x 有且只有一个零点,求实数b 的取值范围． 18. 如图，已知四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BCD ∠=∠=,且
2SA AB BC CD ===，E 是边SB 的中点．
(1）求证://CE 平面SAD ;
（2）求二面角D EC B --的余弦值大小．
19。

某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中,现有甲、乙两个建设项目供选择,若投资甲项目一年后可获得的利润为1ξ（万元）的概率分布列如表所示：
且1ξ的期望1()120E ξ=；若投资乙项目一年后可获得的利润2ξ（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整,两次调整相互独立，且调整的概率分别为(01)p p <<和1p -，乙项目产品价格一年内调整次数X （次）与2ξ的关系如表所示：
（1)求,m n 的值； （2）求2ξ的分布列；
（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策:当p 在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额×100％）
20. 如图，曲线Γ由曲线
22 1
22
:1(0,0)
x y
C a b y
a b
+=>>≤和曲线
22
222
:1(0,0,0)
x y
C a b y
a b
-=>>>组
成，其中点
12
,
F F为曲线
1
C所在圆锥曲线的焦点，点
34
,
F F为曲线
2
C所在圆锥曲线的焦点．
（1）若
23
(2,0),(6,0)
F F-，求曲线Γ的方程；
（2）如图,作直线l平行于曲线
2
C的渐近线，交曲线
1
C于点,A B，求证:弦AB的中点M必在曲
线
2
C的另一条渐近线上;
（3）对于（1)中的曲线Γ,若直线
1
l过点
4
F交曲线
1
C于点,C D，求
1
CDF
∆的面积的最大值．21。

设
(4)ln
()
31
x a x
f x
x
+
=
+
，曲线()
y f x
=在点(1,(1))
f处的切线与直线10
x y
++=垂直．
(1）求a的值；
（2)若对于任意的[1,)
x∈+∞，()(1)
f x m x
≤-恒成立，求m的取值范围；
(3）求证：*
1
ln(41)16()
(41)(43)
n
i
i
n n N
i i
=
+≤∈
+-
∑．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22。

选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线
1
C的参数方程为
cos
sin
x
y
ϕ
ϕ
=
⎧
⎨
=
⎩
(ϕ为参数），曲线
2
C的参数方程为
cos
sin
x a
y b
ϕ
ϕ
=
⎧
⎨
=
⎩
（0,
a bϕ
>>为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:lθα
=与
12
,
C C各有一个交点，当0
α=时，这两个交点间的距离为2,当
2
π
α=时，这两个交点
重合．
（1）分别说明12,C C 是什么曲线，并求a 与b 的值; （2）设当4
π
α=
时,l 与12,C C 的交点分别为11,A B ，当4
π
α=-
时,l 与12,C C 的交点分别为22,A B ，
求直线1212,A A B B 的极坐标方程． 23。

选修4-5：不等式选讲 设函数()||,0f x x a a =-<．
（1）证明:1
()()2f x f x
+-≥；
（2）若不等式1
()(2)2
f x f x +<的解集是非空集,求a 的范围．
试卷答案
1—12 DABCC AADDA BC 13。

10 14。

2
π
15。

6349π 16。

42[3,1){}e e ----
17。

解：向量(3sin ,1)m x ω=，(cos ,cos 21)n x x ωω=+，
2()cos cos 1f x m n b x x x b ωωω=•+=+++
1332cos 2sin(2)2262
x x b x b πωωω=+++=+++
（1）∵函数()f x 图象关于直线6
x π
=对称，
∴2()6
6
2
k k Z π
π
π
ωπ•
+
=+
∈,解得：31()k k Z ω=+∈，∵[0,3]ω∈,∴1ω=，
∴3()sin(2)62f x x b π=+++，由222262k x k πππππ-≤+≤+，
解得：()36
k x k k Z ππ
ππ-≤≤+∈，
所以函数()f x 的单调增区间为[,]()36
k k k Z ππ
ππ-+∈．
（2)由(1）知3()sin(2)62f x x b π=+++,∵7[0,]12
x π
∈，
∴42[,]663x πππ
+∈，
∴2[,]662x πππ+∈，即[0,]6x π
∈时，函数()f x 单调递增；
42[,]663x πππ+∈，即7[,]612
x ππ
∈时，函数()f x 单调递减．
又(0)()3f f π
=，
∴当7()0()312f f ππ>≥或()06f π
=时函数()f x 有且只有一个零点．
即435sin sin 326b ππ≤--<或3102b ++=,
所以满足条件的5
({}2
b ∈--． 18．(1）证明:取SA 中点F ，连接EF ，FD ，
∵E是边SB的中点,∴//
EF AB，且
1
2
EF AB
=，
又∵90
ABC BCD
∠=∠=,∴//
AB CD，又∵2
AB CD
=，即
1
2
CD AB
=∴//
EF CD,且EF CD
=，
∴四边形EFDC为平行四边形，∴//
FD EC，又FD⊆面SAD，CE⊄面SAD，∴CE∥面SAD．（2）解：在底面内过点A作直线//
AM BC,则AB AM
⊥，又SA⊥平面ABCD，
以,,
AB AM AS所在直线分别为,,
x y z轴，建立空间直角坐标系，如图．
设2
AB=，则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,2,0),(1,0,1)
A B C D E，
则(0,2,0),(1,0,1)
BC BE
==-，(1,0,0),(1,2,1)
CD CE
=-=--，
设面BCE的一个法向量为(,,)
n x y z
=,则
n BC
n BE
⎧•=
⎪
⎨
•=
⎪⎩
,即
20
y
x z
=
⎧
⎨
-+=
⎩
令1
x=，则1
z=，∴(1,0,1)
n=．
同理可求面DEC的一个法向量为(0,1,2)
m=，
10 cos,
5
||||
n m
n m
n m
•
<>==，
由图可知，二面角D EC B
--是钝二面角,
所以其平面角的余弦值为
10
5 -．
19.
解：（1）由题意得：0.41
1101200.4170120
m n m n ++=⎧⎨+⨯+=⎩，
得：0.5,0.1m n ==．
(2)2ξ的可能取值为41.2,117。

6，204.0，
2(41.2)(1)[1(1)](1)P p p p p ξ==---=-
222(117.6)[1(1)](1)(1)(1)P p p p p p p ξ==--+--=+-
2(204.0)(1)P p p ξ==-
所以2ξ的分布列为 2ξ
41。

2
117.6
204。

0
P
(1)p p -
22(1)p p +-
(1)p p -
（3）由（2）可得：
222()41.2(1)117.6[(1)]204.0(1)E p p p p p p ξ=⨯-+⨯+-+⨯-
21010117.6p p =-++
根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需12()()E E ξξ<，即
21201010117.6p p <-++，得0.40.6p <<．
因为22()1010117.6E p p ξ=-++，所以当1
2
P =时，2()E ξ取到最大值为120.1，所以预测投资回报率的最大值为12.01%.
20。

（Ⅰ）2222223620
416
a b a a b b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩，
则曲线Γ的方程为221(0)2016x y y +
=≤和22
1(0)2016
x y y -=> （Ⅱ）曲线2C 的渐近线为b y x a =± ，如图,设直线:()b
l y x m a
=-
则2
2
22()1b y x m a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩222
22()0x mx m a ⇒-+-= 22222(2)42()4(2)022m m a a m a m a ∆=-••-=->⇒-<<
又由数形结合知m a ≥,∴2a m a ≤<
设点112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ,则1222122
x x m
m a x x +=⎧⎪
⎨-=⎪⎩，
∴12022x x m x +=
=，00()2b b m
y x m a a =-=-• ∴00b y x a =-,即点M 在直线b
y x a
=-上。

(Ⅲ)由（Ⅰ）知，曲线22
1:1(0)2016
x y C y +=≤,点4(6,0)F
设直线1l 的方程为6(0)x ny n =+> 22
221(45)486402016
6x y n y ny x ny ⎧+
=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩
222(48)464(45)01n n n ∆=-••+>⇒>
设3344(,),(,)C x y D x y ，由韦达定理：3423424845
6445n y y n y y n -⎧
+=⎪⎪+⎨⎪=
⎪+⎩
∴22
34343421
||()4545
n y y y y y y n --=+-=+
11414
221434221111||||||85645224545
CDF CF F DF F n n S S S F F y y n n ∆∆∆--=-=•-=••=++ 令210t n =->，∴221n t =+, ∴1216456459
49
4CDF t S t t t
∆==++
∵0t >，∴9412t t +≥，当且仅当3
2t =,
即2n =时等号成立
n =
,
∴1max 1123CDF S ∆==
21.(Ⅰ)'2
4(
4ln )(31)3(4)ln ()(31)x a
x x x a x
x f x x +++-+=+
由题设'(1)1f =,∴414
a
+= ∴0a =。

(Ⅱ)4ln ()31x x f x x =
+，[1,)x ∀∈+∞，()(1)f x m x ≤-，即1
4ln (32)x m x x
≤--
设1
()4ln (32)g x x m x x =---，即[1,)x ∀∈+∞，()0g x ≤.
2'
22
4134()(3)mx x m
g x m x x x
-+-=-+=,'(1)44g m =- ①若'0,()0m g x ≤>，()(1)0g x g ≥=，这与题设()0g x ≤矛盾
②若(0,1)m ∈,当'2(1,
),()03x g x m
+∈>,()g x 单调递增，()(1)0g x g >=,与题设矛盾. ③若1m ≥，当'(1,),()0x g x ∈+∞≤,()g x 单调递减，()(1)0g x g ≤=,即不等式成立 综上所述,1m ≥ .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1x >时, 1m =时， 11
ln (32)4x x x
≤--成立.
不妨令41
43
i x i +=
-，*i N ∈，所以4116ln 43(41)(43)i i i i i +≤-+-， 4116
ln
43(41)(43)
+≤-+- 421162
ln
423(421)(423)⨯+⨯≤⨯-⨯+⨯-
431163
ln
433(431)(433)
⨯+⨯≤⨯-⨯+⨯-
…………
4116ln
43(41)(43)
n n
n n n +≤-+- 累加可得∴*1
ln(41)16()(41)(43)
n
i i
n n N i i =+≤∈+-∑
22．(本题满分10分）【选修4—4 坐标系统与参数方程】 （Ⅰ） 1C 是圆,2C 是椭圆
当0α=时，射线l 与1C ,2C 交点的直角坐标分别为(1,0),(,0)a , 因为这两点间的距离为2,所以3a =; 当2
π
α=
时,射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,)b ,
因为这两点重合，所以1b =.
(Ⅱ) 1C ，2C 的普通方程分别为2
2
1x y +=和2
219
x y +=
当4
π
α=
时,射线l 与1C 的交点1A 的横坐标为2
2
x =
,与2C 的交点1B 的横坐标为'310x =
当4
π
α=-
时，射线l 与1C ,2C 的交点2A ，分别与1A ,1B 关于x 轴对称
因此直线12A A 、12B B 垂直于极轴，故直线12A A 和12B B 的极坐标方程分别为
2sin 2ρθ=
，310
sin 10
ρθ= 23．（Ⅰ)函数()||,0f x x a a =-<
则1111
()()||||||||||f x f x a a x a a x a a x x x x +-=-+--=-++≥-++
111
||||||2||||2x x x x x x
=+
=+≥•= (Ⅱ） ()(2)|||2|,0f x f x x a x a a +=-+-<
当x a ≤时，()223f x a x a x a x =-+-=-， 则()f x a ≥-，
当2a a x <<
时，()2f x x a a x x =-+-=-， 则()2a
f x a -<<-； 当2a x ≥时，()232f x x a x a x a =-+-=-， 则()2
a f x ≥-，
于是()f x 的值域为[,)2a
-+∞
由不等式1()(2)2f x f x +<的解集是非空集, 即122
a
>-，
解得1a >-,由于0a <，则a 的取值范围是(1,0)-。