第七章第5节几种常见的二次曲面

所求方程为
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
特殊地：球心在原点时方程为
x2y2z2R2 4
例 2求 与 原 点 O 及 M 0 ( 2 ,3 ,4 )的 距 离 之 比 为 1 :2 的 点 的 全 体 所 组 成 的 曲 面 方 程 .
与平面 z z1 (|z1|c)的交线为圆.
24
截面上圆的方程
x2

y2

a2 c2
(c2

z12).
z z1
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
方程可写为 x2y2z2a2.
25
（二）抛物面
x2 y2 z （ p与 q同号） 2 p 2q
cz22
1
双叶双曲面
o
y
x
37
五、小结
曲面方程的概念 F (x ,y,z)0 . 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线). 椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
38
习题 75 P235
A组
1(1)2,， 3(2)4 ()， 4,5
39
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
20
四、二次曲面
曲面方程: F(x,y,z)0
二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面称之．
如 x2(y1)2z21
相应地平面被称为一次曲面．
如2xy3z0
讨论二次曲面方法:截痕法： 特殊的二次曲面．
21
（一）椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
12
例5.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为
的圆锥面方程.
z
解:在yoz面上,直线 L的方程为
zycot
L
M(0,y,z)
绕 z 轴旋转时, 圆锥面的方程为

z x2 y2 cot
y
令 acot,两边平方 x
zz22aa22((xx22yy22))
13
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
截痕为一对相交于点 (0,b,0)的直线.

x a

z c

0
,

x a

z c

0
.
y b
y b
（3）用坐标面 yo(x z0)， xx1与曲面相截
均可得双曲线.
35
平面 xa的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
36
x2 a2
by22

x
2
a2

y2 b2

1,

z 0
z

x2 a2

z2 c2

1 ,

y

0

y2 b2

z2 c2

1.
x 0
x
o
y
22
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
x2
y2
a2 c2
(c2

z12
)

b2 c2
(c2

z12)

1
z z1
与平面 z z1 (z1 0)不相交.
（2）用坐标面 xo(yz0)与曲面相截
截得抛物线
x 2 2 pz
y 0
27
与平面 y y1的交线为抛物线.

x
2


2
p
z

y12 2q

y y1
它的轴平行于 z轴
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
7
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
8
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
9
问题: 求yo面 z 上一条C曲:F线 (y,z)0
（1）双曲线
x2 a2

z2 c2

1分别绕
x轴和
z 轴；
绕 x轴 旋 转x2 a2

y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕 z轴 旋 转x2a2y2 cz22 1
曲 面
14
y2
（2）椭圆

a
2

z2 c2

1绕
y 轴和
z 轴；
x 0
绕 y轴 旋 转y2
a2
x2c2 z2
1
解 根据题意有 z1
z
用 平 面 zc去 截 图 形 得 圆 ：
(x 1 )2 (y 2 )2 1 c(c 1 )
当 平 面 zc上 下 移 动 时 ， c
得 到 一 系 列 圆
o
y
圆 心 在 ( 1 ,2 ,c )， 半 径 为 1 c x
半 径 随 c的 增 大 而 增 大 . 图形上不封顶，下封底．
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0)的交线为圆.
x2

y2

2pz1
z z1
当 z 1 变动时，这种圆 的中心都在 z轴上.
30
x2 y2 z（ p与 q同号） 2p 2q
双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论：
设 p0,q0
z
图形如下：
o y
x
31
（三）双曲面
（3）用坐标面 yo(x z0)， xx1与曲面相截
均可得抛物线.
同理当 p0,q0时可类似讨论.
28
椭圆抛物面的图形如下：
z
z
o y
x
p0, q0
xo
y
p0, q0
29
特殊地：当 pq时，方程变为
x2 y2 z (p0) 旋转抛物面 2p 2p
（由 xoz面上的抛物线 x2 2pz绕它的轴
11
曲 线 C:F(x,y)0绕y轴 旋 转 曲 面 方 程 .
F x 2 z 2 ,y 0 ,
类似 曲线C:F(x,z)0绕z轴旋转曲面方程.
F x 2 y 2 ,z 0 ,
曲 线C:F(x,z)0绕x轴 旋 转 曲 面 方 程 .
F x ,y 2 z2 0 .
第五节 几种常见的二次曲面
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面
四、二次曲面
五、小结及作业
1
一、曲面方程的概念
平面上
y f(x) 表示一条平面曲线
y
y f(x)
空间上
x2y2z2 1 表示单位球面方程
o
x
z
y
x
2
曲面方程的定义
如 果 曲 面 S 与 三 元 方 程 F ( x , y , z ) 0 有 下 述 关 系 ：
绕z轴旋转所成的曲. 面方程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[方法]
如图 设M(x,y,z),
z
d M 1(0,y1,z1)
M F(y,z)0
(1) zz1
（ 2）点 M 到 z 轴 的 距 离
o
y
x
d x2y2 |y1|
将 zz1, y1x2y2代入
F(y1,z1)0
10
将 zz1, y1x2y2 代入 F(y1,z1)0
解 设 M (x,y,z)是 所 求 平 面 上 任 一 点 ，
根据题意有 |M|A |MB |,
x1 2y22z32
x2 2 y 1 2 z 4 2,
化简得所求方程
2x6y2 z70 .
6
例4 方程 z(x1)2(y2)21的图形是怎样的？
41
练习题
一 、填 空题 ：
1 、 与 Z 轴 和 点 A(1 , 3 ,1) 等 距 离 的 点 的 轨 迹 方 程 是
_____________；
2 、 以 点 O (2 ,2 , 1) 为 球 心 ， 且 通 过 坐 标 原 点 的 球 面
方 程 是 _______________；
解 设 M (x ,y ,z)是 曲 面 上 任 一 点 ，
根据题意有 | MO| 1 , | MM0 | 2
x2y2z2
1
,
x22y32z42 2
所求方程为 x22y12z4211.6
3
3 9
5
例 3 已 知 A ( 1 ,2 ,3 )， B (2 , 1 ,4 )， 求 线 段 A的 B 垂 直 平 分 面 的 方 程 .
| z1|c
同理与平面 xx1和 y y1的交线也是椭圆.
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
23
椭球面的几种特殊情况：
(1) ab,
x2 a2
ay22
cz22
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2

z2 c2
1绕
z轴旋转而成．
方程可写为
x2 a2
y2
cz22
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
(1) y1 2b2,实轴与 x轴平行, 虚轴与 z轴平行.
(2) y1 2b2,实轴与 z轴平行, 虚轴与 x轴平行.
(3) y1b,截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
34
x a

z c

0
,
y b

x a

z c

0
.
y b
(4 ) y1 b ,
x2 a2
by22
cz22
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xo(zy0)与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0)的椭圆.

x a
2 2

y2 b2

1

z

0
32
与平面 z z1 的交线为椭圆.

x2 a2

y2 b2

1
z12 c2
z z1
当 z 1 变动时，这种椭 圆的中心都在 z轴上.
旋 转
椭
绕 z轴 旋 转x2a2y2 cz22 1
球 面
（3）抛物线
y
2
2 pz绕
z 轴；
x 0
x2y22pz 旋转抛物面
15
三、柱面
在平面坐标系 x2 y2 1表示中心在原点的圆 单位 问题:
x2 y2 1在空间表示什么图? 形 它可以看成用平 z轴行的于直线 z
沿xoy面上的x圆 2 y2 1移动而成
y
x
16
定义
平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 LL 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
17
柱面举例
z
z
y2 2x
平面
o
y
o
y
x
x
抛物柱面
yx
18
z
x2 a2

y2 b2
1
o y
x 从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺 z 的方程F(x, y) 0，
在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的
柱面，其准线为 xoy面上曲线 C .
19
一般地:
F ( x ,y ) 0 ,F ( y ,z ) 0 ,F ( x ,z ) 0
在空间都表示一个柱面 .
上面方程中缺少哪量个 ,就变 表示此柱面与哪个轴坐平标行 .
得方程 F x 2 y 2 ,z 0 ,
所以 F(y,z)0绕z轴旋转曲面方程.
F x 2 y 2 ,z 0 ,
同理： F(y,z) 0绕 y 轴旋转曲面方程
类似
F y ,x 2 z 2 0 .
曲线C:F(x,y)0绕x轴旋转曲面方程.
F x ,y 2 z2 0 .
(1)x2; (2)x2y24; (3 )yx1 .
40
思考题解答
方程
平面解析几何中 空间解析几何中
x2 平行于y轴的直线平 行 于yo面 z的 平 面
圆心在(0,0)，
x2y2 4
以 z 轴 为 中 心 轴 的 圆 柱 面
半径为2的圆
yx1 斜率为1的直线 平 行 于 z轴 的 平 面
s
o
x
y
(2)任一曲面F(都 x,y,可 z)由 0表示
反之不一定 , 如 x2y2z210 3
例 1 建 立 球 心 在 点 M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 )、 半 径 为
R 的 球 面 方 程 . 解 设M(x, y,z)是球面上一, 点
根据题意有 |MM 0|R
x x 02 y y 02 z z02 R
椭圆抛物面
用截痕法讨论： 设 p0,q0 （1）用坐标面 xo(zy0)与曲面相截
截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
26
与平面 z z1 (z1 0)的交线为椭圆.
x2

2
pz
1

y2 2qz1

1
z z1
当 z 1 变动时，这种椭 圆的中心都在 z轴上.
（2）用坐标面 xo(yz0)与曲面相截
截得中心在原点的双曲线.

x a
2 2

z c
2 2

1

y

0
实轴与 x轴相合， 虚轴与 z轴相合.
33
与平面 y y1 (y1b)的交线为双曲线.
x2

a
2

z2 c2
1
y12 b2
双曲线的中心都在 y轴上.
y y1
（ 1 ） 曲 面 S上 任 一 点 的 坐 标 都 满 足 方 程 ；
（ 2 ） 不 在 曲 面 S上 的 点 的 坐 标 都 不 满 足 方 程 ；
那么，方程 F(x, y, z) 0 就叫做曲面 S 的方程，
而曲面 S 就叫做方程的图形．
z
F(x,y,z)0
注: (1)平面是曲面的特例;