第7讲 一线三等角模型与全等三角形

第7讲一线三等角模型与全等三角形
基本模型1
如下图，AB=AC,BD⊥DE,AB⊥AC,CE⊥DE,则△ADB≡△CEA
规律：含有等腰直角三角形的条件，通常可以构造一线三垂直，利用全等三角形进行边角的等量转化。

练习：如图，A(3,0),C(0,6),AC⊥BC，且AC=BC,求点B的坐标。

变式2如图，已知B(4,0),C(0,2),AC⊥BC，AC=BC,求点A的坐标
变式3如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,C在X轴上，BC交Y轴于M,BM=CM,C(-1,,0),点A的横坐标为-3，求点B的坐标
练习（武汉第三寄宿中学10月月考14.）如图，点C在线段AB上，DA⊥AB,EB⊥AB,FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB,∠AFB=49︒则∠DFE=____︒
分析：构造三垂直：△ADB≌△CBF，∴DB=BF,DB⊥BF，∠DFB=45°
∵BE=AC,FC=AB,∴△ACF≌△EBA，AE=AF,AE⊥AF,∠AFE=45°
∴∠DFE=∠AFE+∠DFB-∠AFB=45°+45°-49°=41°
基本模型2:如图1,∠D=∠BAC=∠E,AB=AC则△ADB≌△CEA.
如图2，∠BAC=∠BDF=∠CEF，AB=AC，则△ADB≌ACEA.
图1图2
教材变式1如图，点D、A、E在一条直线上,AB=AC，∠ADB=∠AEC=∠
BAC=60°，试探究BD、CE与DE之间的数量关系.
解:DE=DB+CE,证△ADB≌△CEA;
教材变式2如图,D、A、E三点都在一条直线上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC，AB=AC.
试探究BD,CE与DE之间的数量关系。

解:∠BDA=∠BAC=α,∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,∴∠DBA=∠CAE,
∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC ，
∴.△ADB ≌△CEA.∴AE=BD ，AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
教材变式3如图，AB=AC.∠BAC=60°，D 、E 为AD 上两点，∠ADB=∠AEC=120°.
探究BD 、CE 与DE 之间的数量关系。

解:CE=BD+DE,证△ABD ≌△CAE;
教材变式4如图，△ABC 中，AB=AC ，AB>BC ，点F 在边BC 上，CF=2BF ，点D 、
E 在线段A
F 上，∠ADB=∠AEC=130°，∠BAC=50，若△ABC 的面积为15，求△ACE
与△BDF 的面积之和。

解:证∠ACE ≌△BAD ，则△ACE 与△BDF 的面积之和是△ABF 的面积=13
ABC S =5.练习
1．某校八年级数学兴趣小组在研究等腰直角三角形与图形变换时，作了如下研究：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为腰作等腰直角三角形DAF ，使∠DAF=90°，连接CF ．
（1）观察猜想如图1，当点D 在线段BC 上时，
①CF 与BC 的位置关系为；
②CF ，DC ，BC 之间的数量关系为（直接写出结论）；（2）数学思考如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，将△DAF 沿线段DF 翻折，使点A 与点E
重合，连接CE ，若已知4CD=BC ，AC=2
，请求出线段CE 的长．
2．（1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：
如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE 所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．
小明发现，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：；
（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD 与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，请直接写出△ABC 与△ADE的面积之比．
5．定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC=AD=AE，当∠BAC+∠DAE=180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：
（1）在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补三角形”，AM，AN是“顶心距”．
①如图2，当∠BAC=90°时，AM与DE之间的数量关系为AM=DE；
②如图3，当∠BAC=120°，BC=6时，AN的长为．
猜想论证：
（2）在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．
拓展应用
（3）如图4，在四边形ABCD，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，CD=2，在四边形ABCD的内部是否存在点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明，并求△PBC的“顶心距”的长；若不存在，请说明理由．
6．已知：△ABC中，CA=CB，O为AB的中点，E、F分别在直线AC、BC上，且∠EOF=2∠A．
（1）如图1，若∠A=45゜，则=；=；
（2）如图2，若∠A=45゜，求证：①OE=OF；②CF﹣CE=AC；
（3）如图3，若∠A=30゜，探究CF﹣CE与AC之间的数量关系．
2017洪山末已知△ABC、△ADE是等边三角形，点B、A、D在一条直线上，∠CPN=60°,PN交直线AE于点N;
（1）若点P在线段AB上运动，如图1，（不与A、B重合）求证：PC=PN；
（2）若点P在线段AD上运动(不与A、D重合，在图2中画出图形，猜想线段PC、PN的数量关系并证明你的结论。

广雅2020周测一23．(10分)等腰Rt △ABC ，CA ＝C B ．D 在AB 上，CD ＝CE ，CD ⊥CE ．
（1）如图1，连接BE ，探究线段AD 与线段BE 的关系并证明；
（2）如图2，连接AE ，CF ⊥AE 交AB 于F ，T 为垂足，①求证：FD ＝FB ；
②如图3，若AE 交BC 于N ，O 为AB 的中点，连接OC ，交AN 于M ，连FM ，FN ．当25=∆FMN S ，则OF 2＋BF 2的最小值为_____________
图1图2图3
○
1构造一线三垂直全等，△ACT ≌△CBG,CT=GB,△DCH ≌△TCE,CT=DH ∴DH=GB,△DHF ≌△BGF.∴DF=FB
○2∵AO=CO,可证明∠OAM=∠OCF,∴△AOM ≌△COF,OM=OF,∠OFM=45°，∴MF//CB 作FH 垂直CB,设OF=x,FB=y,则MF=x 2，FH=y 22252222121=⋅⋅=⋅=x y FH FM S FMN △，2
10=xy 2
202102222=⨯=≥+xy y x
武汉三寄宿中学10月月考21题）.如图，△ABC中AB=AC,∠BAC=90︒D为AC上一动点，BD⊥BE,BD=BE,EC交AB于点F
求证：F为EC中点
2b=0
24.东西湖八上期中如图．点a.0)、B(o.b).且a、b满足(a一1)2+2-
(1如图1，求△AOB的面积:
(2)如图2，点C在线段AB上(不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD=45，猜想线段AC，BD，CD之间的数量关系并证明你的结论:
(3)如图3，若Р为x轴上异于原点О和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点Р顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q,当Р点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线I长为定值。

并求出该定值.
(2)半角模型，构造全等，CD=AC+BD
(3)如图，一线三垂直，PQ=OB=OA,所以AOP=AQ=EQ,∠EAQ=45°=∠OAQ,OQ=OA=OB,BQ=2定值。