江苏2010年普通高等学校招生全国统一考试—数学(无答案)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数 学
一、填空题
1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =______▲________
2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为______▲________
3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲
__
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]
中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_ ▲_ __根在棉花纤维的长度小于20mm 。

5、设函数
f(x)=x(e x +ae -x ),x ∈
R ，是偶函数，则实数a =_______▲
_________
6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点
112
422=-y x 的距离是___ ▲_______
7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是______▲_______
8、函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则
a 1+a 3+a 5=____▲_____
9、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则
42
2
=+y x 实数c 的取值范围是______▲_____
10、定义在区间上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点⎪⎭
⎫
⎝
⎛20π,
P 1,直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_______▲_____
11、已知函数,则满足不等式的x 的范围是____▲____
⎩⎨⎧<≥+=0
1012x ,x ,x )x (f )x (f )x (f 212
>-12、设实数x,y 满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是_____▲____
2
xy y x 243
y
x 13、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
，则__▲ C cos b a a b 6=+=+B
tan C
tan A tan C tan 14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=
,则S 的最小值是_______▲_______
周周周周周
周周周周周周
2
(二、解答题
15、（14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长(2)设实数t 满足()·=0，求t 的值
t -16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1,AB=2,AB ∥DC ，∠BCD=900
(1)求证：PC ⊥BC (2)求点A 到
平面PBC 的距离
D
C
A
P
17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰
角∠ABE=α，∠ADE=β
(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24,tan β=1.20,,请据此算出H 的值
(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较，
可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α-β最大
18.（16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B ，右顶点为F ，
xoy 15
922=+y x 设过点T （）的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M ，，其中m>0,m t ,),(11y x ),(22y x N 0,021<>y y ①设动点P 满足,求点P
42
2
=-PB PF ②设，求点T 的坐标3
1
,221=
=x x ③设,求证：直线MN 必过x 9=t （其坐标与m 无关）
19．（16分）设各项均为正数的数列的前n 项和为，已知，数列是公差为{}n a n S 3122a a a +={n
S d
的等差数列.
①求数列的通项公式（用表示）
{}n a d n ,②设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。

求c n m k n m ≠=+且3k n m ,,k n m cS S S >+证：的最大值为
c 2
9
20.（16分）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，)(x f ),1(+∞)('x f a )(x h 其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质
)(x h ),1(+∞∈x )(x h )1)(()('2
+-=ax x x h x f )(x f .
)(a P (1)设函数，其中为实数)(x f )1(1
2
)(>+++
=x x b x h b ①求证：函数具有性质)(x f )(b P ②求函数的单调区间
)(x f (2)已知函数具有性质，给定，)(x g )2(P 为实数，
设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α，且，若||<||,求的取值范围
21)1(mx x m +-=β1,1>>βα)()(βαg g -)()(21x g x g -m
【理科附加题】
21（从以下四个题中任选两
个作答，每题10分）
(1)几何证明选讲AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过点D 作⊙O 的切线交AB 延
长线于C ，若DA=DC ，求证AB=2BC
(2)矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy 中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k ≠0，k ∈R ，M=,N=,点A 、B 、C ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡100k ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡0110在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1,B 1,C 1,△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值
(3)参数方程与极坐标
在极坐标系中，圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值
(4)不等式证明选讲
已知实数a,b ≥0，求证：)
b a (ab b a 223
3
+≥
+22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品
90%，二等品10%。

生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。

设生产各种
产品相互独立
（1）记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率
23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数
（1）求证cosA是有理数
（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数
参考答案
1. 1 3.
4. 30
5. -1
6. 4
7. 63
8. 21
9. (-39,+39)10.
12
23
11.
12. 2713. 4（-1）二、解答题
15. （1）(3,5),(1,1)
AB AC ==-
求两条对角线长即为求与，||AB AC + ||AB AC -
由，得，(2,6)AB AC += ||AB AC +=
由，得(4,4)AB AC -= ||AB AC -=
（2），
(2,1)OC =--
∵()·，t -2
AB OC tOC =- 易求，，
11AB OC =- 2
5OC = 所以由()·=0得。

OC t AB -OC 115
t =-
16. （1）∵PD ⊥平面ABCD ，∴，又，∴面，∴。

PD BC ⊥BC CD ⊥BC ⊥PCD BC PC ⊥（2）设点A 到平面PBC 的距离为，
h ∵,∴A PBC P ABC V V --=11
33
PBC ABC S h S PD
⋅=
容易求出h =17. （1）∵，，∴
tan AE AB α=
tan AE AD β=tan 31
tan 30
AD AB αβ==18. (1)由题意知(2,0),(,)F A
P x y （3，0），设，则2222(2)(3)4
x y x y -+---=化简整理得92
x =
（2）把代入椭圆方程求出1212,3x x ==5120
(2)339
M N ，，（，）
直线 ①
1
:(3)3
AM y x =
+
直线 ②
5
:(3)6
BN y x =-①、②联立得910
(,77
T (3)(9,),
T m 直线与椭圆联立得:(3),12m
TA y x =+2223(80)40(,),8080m M m m --
++ 直线与椭圆联立得:(3),6
m
TB y x =-2223(20)20(,2020m N m m --++直线,222222
2224020203(20)8020:()3(80)3(20)20208020m m m MN y x m m m m m m +-+++=---++--++化简得2222
20103(20)
()204020
m y x m m m -+=--+-+令，解得，即直线过轴上定点。

0y =1x =MN x (1,0)19. （1
）
2132
122122
2222212
2,30,3,
,(1),2(1)(21)1(21)n n n n n a a a a a a a d d n d nd S n d n a S S n d n d n d n a n d -==+∴=+==∴=∴=====+-==≥=-=--=-=∴=- 又，平方得时，且对成立，(2)由22
2
2
2
2
m n k m n S S cS m n ck
c k ++>+>>
得即222222222222
9()9(),2()()2m n m n m n mn m n m n k m n m n mn +++∴==<+≠+++ 2222222229()9()9()22
m n m n m n k m n m n mn +++∴==>
+++。

99,22
c c ∴≤的最大值为
20. （1则有如下解答：①'()f x 222121(1)(1)(1)
b x bx x x x x +=
-=-+++∵时，恒成立，
1x >2
1
()0(1)h x x x =
>+∴函数具有性质；
)(x f )(b P
22. （1）
X
10
5
2
-3
P 0.720.180.080.02
（2）依题意，至少需要生产3件一等品
3
3440.80.20.80.8192
P C =⨯⨯+=答：…………23.
（1）设三边长分别为，，∵是有理数，均可表示为（,,a b c 222cos 2b c a A bc +-=,,a b c ,,a b c q p
,p q
为互质的整数）形式∴必能表示为（为互质的整数）形式，∴cosA 是有理数
2222b c a bc +-q
p
,p q （2）∵，∴也是有理数，
2cos 22cos 1A A =-cos 2A 当时，∵3n ≥cos cos(1)cos sin(1)sin nA n A A n A A
=---1
cos(1)cos {cos[(1)]cos[(1)]}
2
n A A n A A n A A =-+-+---∴，
cos 2cos(1)cos cos(2)nA n A A n A =---∵cosA ，是有理数，∴是有理数，∴是有理数，……，依次类推，当
cos 2A cos3A cos 4A 为有理数时，必为有理数。

cos(1),cos(2)n A n A --cos nA。