构造全等三角形证明竞赛题

构造全等三角形证明竞赛题
江西 安义人
全等三角形是能够完全重合的两个三角形，它们的对应边相等，对应角相等。

对于某些竞赛题，考虑构造全等三角形并利用这两个相等，可使其解答巧妙、迅捷。

一、与线段相等有关的竞赛题
例１（成都市初二数学竞赛题）如图１，△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点P ，且PD ＝PE 。

求证：AC ＝AB 。

简证：连AP 。

因为∠PDA ＝∠PEA ＝90°，PD ＝PE ，PA ＝PA ， 所以Rt △PDA ≌Rt △PEA （HL ）。

所以AD ＝AE 。

因为∠１＝90°－∠CAB ＝∠２，
所以Rt △ACE ≌Rt △ABD （AAS ）。

所以AC ＝AB 。

B
B A
A F
E
图１ 图２
例２（天津市初二数学竞赛题）如图２，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠A 的平分线AD 交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD 于点E 。

求证：BE ＝
1
2
AD 。

简证：延长BE 、AC 交于点F 。

因为∠１＝∠２，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°， 所以△AEB ≌△AEF （ASA ）。

所以BE ＝FE ＝
1
2
BF 。

因为∠３＝90°－∠F ＝∠２，BC ＝AC, 所以Rt △BCF ≌Rt △ACD （ASA ）。

所以BF ＝AD ，BE ＝
1
2
AD 。

二、与角相等有关的竞赛题
例３（赣州市初三数学竞赛题）如图３，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BD 是中线，CE ⊥BD 于点E ，交AB 于点F 。

求证：∠ADF ＝∠CDE 。

简证：过点A 作AG ⊥AC 交CF 的延长线于点G 。

因为∠１＝90°－∠３＝∠２，AC ＝BC ，
所以Rt △CAG ≌Rt △BCD （ASA ）。

所以AG ＝CD ＝AD ，∠G ＝∠CDE 。

因为∠４＝45°＝∠５，AF ＝AF,
所以△ADF ≌△AGF （SAS ）。

所以∠ADF ＝∠G ＝∠CDE 。

5
4
13
25
42
3
1
E D
B
A
G
A
C
F
B
F E D
图３ 图４
例４（上海市初中数学竞赛题）如图４，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，AE ＝
1
2
（AD ＋AB ）。

求证：∠ADC ＋∠ABC ＝180°。

简证：过点C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F 。

因为∠２＝∠３，AC ＝AC ，
所以Rt △ACF ≌Rt △ACE （AAS ）。

所以CF ＝CE ，AF ＝AE 。

因为AD ＋AB ＝２AE ，AB ＝AE ＋EB ， 所以EB ＝AE －AD 。

因为FD ＝AF －AD ， 所以EB ＝FD 。

所以Rt △CEB ≌Rt △CFD （SAS ）。

所以∠ABC ＝∠5。

所以∠ADC ＋∠ABC ＝∠ADC ＋∠５＝180°。

构造全等三角形巧证几何题
朱元生
全等三角形是初中平几的重要内容之一，在几何证题中有着极其广泛的应用。

然而在许多情况下，给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们认真分析，仔细观察，根据图形的结构特征，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧构全等三角形。

借助全等三角形的有关性质，就会迅速找到证题途径，直观易懂，简捷明快。

现略举几例加以说明。

一. 证线段垂直 例1. 已知，如图1，在
中
，AB ＝2BC ，求证：
图1
分析与证明：本题可先作的平分线BD交AC于点D，由，又
，得到。

则为等腰三角形。

再取AB中
点E，连DE，借助等腰三角形的性质，得到。

再由，，BD＝BD，得到。

由全等三角形的对应角相等，得到
，即。

二. 证线段的倍分
例2. 已知，如图2，等腰中，，的平分线交AC于D，过C 作BD的垂线交BD的延长线于E。

求证：BD＝2CE（湖北中考题）
图2
分析与证明：要证BD＝2CE，可延长BA、CE交于点F。

由BE平分，，得到为等腰三角形。

根据等腰三角形的性质可得CE＝EF，即。

再由，AB＝AC，，得到
，从而由全等三角形的对应边相等立即得到BD＝CF＝2CE。

三. 证角相等
例3. 已知，如图3，在中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：
图3
分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三角形。

延长AD至G，使DG＝AD，连BG，由DG＝AD，，BD＝CD得到。

由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AC＝BG，。

而AC＝BE，则BE＝BG，所以，而，从而得到。

四. 证角不等
例4. 已知：如图4，在中，，AD是BC边的中线。

求证：
图4
分析与证明：由AD是中线，可“延长中线一倍”，借助中线性质构全等三角形。

延长AD至E，使DE＝AD，连BE。

由DE＝CD，，BD＝CD，得到。

由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到BE＝AC，
，在中，由，得到，而
，所以
五. 证线段相等
例5. 已知：如图5，在中，D是BC边的中点，交的平分线于E，交AB于点F，交AC的延长线于点G。

求证：BF＝CG。

图5
分析与证明：要证BF＝CG，显然要构造三角形找全等。

由ED垂直平分BC，连EB、EC，由垂直平分线性质可得，EB＝EC。

又AE为的平分线，且，，根据角平分线性质可得，从而（HL）再由全等三角形的对应边相等立即可得BF＝CG。

六. 证线段不等
例6. 已知：如图6，在中，AB＝AC，P是三角形内一点，且，求证：
图6
分析与证明：PB、PC虽在同一三角形中，但与已知条件无直接联系，可利用图形变换构全等三角形。

将绕顶点A逆时针旋转，使AB与AC重合，得，则，从而转化为比较PC与QC的大小，为此只须证即可。

由，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得到，AQ＝AP，PB＝QC，所以，从而，即。

由大角对大边得到，即
七. 证线段和差相等
例7. 已知：如图7，在中，，CD是的平分线，求证：BC＝AD＋AC
图7
分析与证明：由CD是的平分线，可利用角平分线的对称性。

在BC上取一点E，使CE＝CA，连DE，由CA＝CE，，CD＝CD，可得。

由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AD＝ED，且，而，得到，从而，所以
八. 证线段和差不等
例8. 已知：如图8，D为的BC边的中点，，的平分线分别与AB、AC交于点E、F，求证：
图8
分析与证明：直接论证，条件不足，可设法将有关线段集中于同一三角形中，为此延长FD至M使DM＝FD，利用角平分线性质构全等三角形，帮助解决。

延长FD 至M，使DM＝FD，连结BM、EM。

由DM＝DF，，BD＝CD，得到。

由全等三角形的对应边相等得到BM＝CF。

由，而，所以；又由，从而。

再由，DE＝DE，得到。

同样由全等三角形的对应边相等得到EM＝EF。

而，所以。

从以上几例可以看出，有些比较棘手的平几证题百思不得其解时，根据图形的结构特点，添加适当的辅助线，巧构全等三角形，可迅速找到证题途径，使问题迅捷获证。

真可谓“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。