2017届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版) 专题2.3 导数的应用(一)(A卷) 含解析

班级 姓名 学号 分数
（测试时间:120分钟 满分：160分）
一、填空题(共14小题,每小题5分,共70分） 1．已知函数
()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为
____________. 【答案】043=-+y x
考点:
导数的几何意义. 2．已知
()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞()a R ∈，'()f x 为()f x 的导函数，'(1)2f =，则
a =。

【答案】2 【解析】
试题分析：因为1()ln (ln 1)f x a x ax a x x
'=+⨯=+,所以(1)(ln11)2f a a '=+==。

考点：导数的运算。

3．设函数()f x 的导数为()f x '，且2
()2(1)f x x xf '=+,则(2)f '= 。

【答案】0 【解析】
试题分析：因为2
()2(1)f x x
xf '=+，
所以()22(1)f x x f ''=+,令1x =,得(1)22(1)f f ''=+，解得()12f '=-，则()24f x x '=-，所以()22240f '=⨯-=． 考点：导数的运算;函数值的求解．
4．曲线x
e y =在0=x 处的切线方程是 ．
【答案】1+=x y 【解析】
试题分析：因为
x
y e '=,所以在0=x 处的切线斜率为0
1
k e
==，因此切线方
程是11(0)1y x y x -=-⇒=+ 考点：导数几何意义
【思路点睛】利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化。

以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解。

5．已知函数f(x)的导函数
x
x f cos 5)(+='，x ∈(－1,1)，f(0)＝0,若
0)1()1(2<-+-x f x f ,则实数
x 的取值范围__________.
【答案】（1，2)
考
点：函数奇偶性单调性解不等式 6．已知函数)0(2)(23
>+++=a x ax x x f 的极大值点和极小值点都在区间
（－1，1）内，则实数a 的取值范围是______
【答案】32a <<
【解析】
试题分析：求导函数,可得()'
2
321f x x
ax =++
则由题意，方程2
3210x
ax ++=的两个不等根都在区间(-1，1）内，
构造函数()2321g x x ax =++，则()()24120113
1010a a g g ⎧∆=->⎪
⎪-<-<⎪
⎨⎪->⎪
>⎪⎩
∴
32a <<
考点：函数在某点取得极值的条件 7．已知函数2
()(2)(ln )f x x f x x '=+-，则(1)f '= ．
【答案】2 【解析】 试题分析:2
()(2)(ln )f x x
f x x '=+-则1
()2(2)(1)f x x f x
''=+-，则
18
(2)4(2)(1)(2)23f f f '''=+-∴=
81
()2(1)(1)23f x x f x
''∴=+-∴=
考点：本题考查求导
点评：求导时要把(2)f '看成常数，再令x=2就可以得到关于(2)f '的方程，求出8(2)3
f '=，原来的函数就已知了.
8．已知直线1y x =-+是函数1()x
f x e a
=-⋅的切线，则实数a =______。

【答案】2
e 。

考
点：利用导数研究函数在某点上的切线方程。

9．函数2
10
ax
ax ++>在[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是 .
【解析】
而2
x∈单调递增,所以
y x x
=+在[]1,2
y∈,
[2,6]
考点：不等式恒成立
10．若(0,1)
f x<恒成立,则实数a的取
x∈时()0
值范围是
．
【答案】[],6e。

【解析】
试题解析：依题由()00
f≤
f≤且()10
≤≤，故应填入[],6e。

e a
6
考点:1。

不等式恒成立问题；2。

转化与化归思想应用.
11．已知点P(),a b在直线23
+=上，则24a b+的最小值为．
x y
【解析】
试题分析:
所以最小值为
考点:均值不等式求最值
12．已知点M在曲线2
=-上，点N在直线20
y x x
3ln
-+=上，则
x y
小值为。

考
点：1、导数在研究函数中的应用；2、点到直线的距离公式 13．设函数)(13)(3
R x x ax x f ∈+-=,若对于任意的]1,1[-∈x ，都有0)(≥x f 成立，
则实数a 的值为________．
【答案】4 【解析】
试题分析：由题意得33)(2
-='ax
x f ，
当0≤a 时，033)(2<-='ax x f ，所以)(x f 在]1,1[-上为减函数，所以02)1()(min ≥-==a f x f ，解得2≥a （与0≤a 矛盾,舍
去）．当0>a 时,令0)(='x f 可得a
x 1
±=，当∈x )1,
1(a
a
-
时，0)(<'x f ，)(x f 为
减函数;当)1,(a x -
-∞∈和,1
(
a
)∞+时， 0)(>'x f ,)(x f 为增函数,由04)1(≥-=-a f 且-=a f )1(02≥，可得42≤≤a ，又
021131)1(
≥-
=+-
⨯
=a
a
a
a a a
f ，可得≥a 4,综上可知4=a 。

考点：导数的运算、恒成立问题．
14.对于三次函数：()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义()f x '是()f x 的导数，
()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，
则()()00,x f x 为函数()y f x =的拐点.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点"；任何一个三次函数都 有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已
知:
()3211533212
f x x x x =-+-
,根据这一发现,可求得：
122015______.
201620162016f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【答案】2015
考
点：1。

导数的概念及应用；2.化归与转化的数学思想方法；2。

函数的对称性的应用
二、解答题(本大题共6小题,共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈
（Ⅰ）当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 单调区间
【答案】（Ⅰ）20x y +-=；（Ⅱ）当0a ≤时()f x 在定义域()0,+∞上单调递
增;当0a >时()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．
考
点：1导数的几何意义；2用导数研究函数的性质． 16.已知函数1()21x
f x a =-+,()x R ∈．且()f x 为奇函数，
（1）求a 的值；
（1）若函数f(x ）在区间（—1，1）上为增函数，且满足f （x —1)+f （x ）〈0,求x 的取值集合。

【答案】（112
a =；（2){}102
x x <<．
考
点：1函数的奇偶性；2函数的单调性． 17.已知函数()ln()(0)f x x x a a =-+>．
(Ⅰ）若函数()f x 在(0,)+∞单调递增，求a 取值范围;
（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为0，且当0x ≥时,2
()f x kx ≤，求k 的最小值．
【答案】（Ⅰ）1a ≥（Ⅱ)1
2
【解析】
试题分析：(Ⅰ）研究函数单调性,通常利用导数进行研究,先求导函数，再讨论导函数在定义区间恒非负，再转化为函数最值求范围，也可求出单调区间,研究已知区间与单调区间之间包含关系得参数范围（Ⅱ）本题两个条件，一是最小值，二是不等式恒成立.解决问题的出发点都是利用导数研究函数单调性：由min
()
(1)10f x f a a =-=-=得
1a =；对不等式恒成立，利用分类讨论，确定12k ≥
试题解析：(Ⅰ)函数的定义域为(,)a -+∞．
1
()()
x a f x x a x a
+-'=>-+，
由()01f x x a '=⇒=-，
因为函数()f x 在(0,)+∞为增函数． 所以10a -≤，从而1a ≥．
考点:利用导数研究函数单调性、最值 18。

()()2
21ln ,x f x a x x a R x -=-+∈．
(1）讨论()f x 的单调性；
（2)当1a =时，证明()()32
f x f x '>+对于任意的[]1,2x ∈成立．
【答案】（1）当0a ≤时，函数()f x 在()0,1内单调递增,在()1,+∞内单调递
减，当02a <<时，()f x 在()0,1内单调递增,在21,a ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭内单调递减，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪
⎝⎭
内单调递增，当2a =时，()f x 在()0,+∞内单调递增，当()2,a f x >在20,a ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
内单调递增，在2,1a ⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
内单调递减，在()1,+∞内单调递增;(2）证明见解析。

（1)2
02,
1a a
<<>， 当()0,1x ∈或2,x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪
⎪
⎝⎭
时，()()0,f x f x '>单调递增；
当21,x a ⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()()0,f x f x '<单调递减;
(2)2a =时，
2
1a
=，在()0,x ∈+∞内，()()0,f x f x '≥单调递增； （3)2a >时，2
01a
<<， 当20,
x a ⎛
⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
或()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增;
当2,1x a ⎛⎫
∈ ⎪
⎪⎝
⎭
时，()()0,f x f x '<单调递减．
综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()0,1内单调递增，在()1,+∞内单调递减；
当02a <<时，()f x 在()0,1内单调递增，在21,a ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭内单调递减，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
内单调递增;
当2a =时，()f x 在()0,+∞内单调递增；
当()2,a f x >在20,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
内单调递增，在2,1a ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭内单调递减，在()1,+∞内单调递增．
考点：函数导数与不等式.
【方法点晴】分类讨论参数的取值范围是导数问题中最常见的题型.它主要考查分类讨论的数学思想方法。

我们为什么要求导，什么时候要进行分类讨论？如此题,我们求导是为了研究单调区间、极值和最值，求导后发现含有参数,即()
()()2
3
21ax x f x x
--'=
，无法确定单调区间，
就需要我们分类讨论了.由于这是二次项的系数含有参数，我们就先从0,0a a ≤>两类进行分类。

19．已知函数()()2
2ln f x x a x a x =-++，其中常数0a >．
(1)当2a >时,求函数()f x 的单调递增区间；
（2）设定义在D 上的函数()y h x =在点()()0
,P x h x 处的切线方程为():l y g x =,
若()()0
0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y h x =的“类对称点"，当4
a =时,试问()y f x =是否存在“类对称点"，若存在，请至少求出一个“类对称点"的横坐标；若不存在,请说明理由．
【答案】（1）()0,1,,2
a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
;(2)存在，02x =。

（2）
当4a =时，
()2264
x x f x x
-+'=，
（2）
()y f x =存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为02x =． 下面加以证明： 当02x =时，()()
42662ln 2g x x =--+,①当02x <<时,()()f x g x <恒成立,等价
于()
2
64ln 42662ln 2x
x x x -+<--+恒成立，令()2424ln 62ln 2x x x x ϕ=-++-,
∵()4
2420x x x
ϕ'=-+
>,∴函数()x ϕ在()0,2上单调递增,
从而当02x <<时,()()20x ϕϕ
<=恒成立，即当02x <<时,()()f x g x <恒成立
②同理当2x >
时，()()f x g x >恒成立,
综上知()y f x =存在“类对称点"，其中一个“类对称点"的横坐标为
02x =
考点：函数导数与不等式.
【方法点晴】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1)利用
导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 20．已知函数()(ln 1)f x x x =+． （1）求函数()f x 的最小值; （2）设2
'()()()F x ax
f x a R =+∈，讨论函数()F x 的单调性；
（3）若斜率为k 的直线与曲线'
()y f
x =交于1122(,)(,)A x y B x y 、两点,求证：
（1（2)当0≥a 时，)(x F 在),0(+∞上是增函数；当0a <时,)(x F
,（3)证明见解析.
()1ln (1),g t t t t =-->设1()10(1),()(1,),g t t g t t
'=->>∴+∞则在上是增函数
,0)1(ln 1)(1=>--=>g t t t ，g t 时当.ln 1t t >-∴
②()ln (1)(1),()ln 0(1),h t t t t t h t t t '=-->=>>设则
()(1,),h t ∴+∞在上是增函数,0)1()1(ln )(,1=>--=>∴h t t t t h t 时当
ln 1(1),t t t t ∴>->
由①②知（*）成立,.1
21x k
x <<∴ 考点:(1）利用导数研究函数的极值；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）函数的综合应用.。