分式混合运算中的技巧

分式运算的技巧
【精练】计算：
【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加,其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.
【解】=
=
=
【知识大串联】
1．分式的有关概念
设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零,
否则分式没有意义
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式,要进行约分化简
2、分式的基本性质
(M为不等于零的整式）
3．分式的运算
（分式的运算法则与分数的运算法则类似）．
（异分母相加,先通分)；
4．零指数
5．负整数指数
注意正整数幂的运算性质
可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数．
分式是初中代数的重点内容之一，其运算综合性强，技巧性大，如果方法选取不当，不仅使解题过程复杂化，而且出错率高．下面通过例子来说明分式运算中的种种策略，供同学们学习参考．
1．顺次相加法
例1:计算：
【分析】本题的解法与例1完全一样。

【解】=
=
=
2．整体通分法
【例2】计算：
【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（—a—1）看作一个整体，并提取“—”后在通分会使运算更加简便。

通常我们把整式看作分母是1的分式。

【解】==.
3．化简后通分
分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多．
4．巧用拆项法
例4计算:.
分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），联想到，这样可抵消一些项.
解：原式=
=
==
5．分组运算法
例5:计算：
分析：本题项数较多,分母不相同。

因此，在进行加减时,可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便.
解：
=
=
=
=
=
【错题警示】
一、错用分式的基本性质
例1化简
错解:原式
分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变"，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质。

正解:原式
二、错在颠倒运算顺序
例2计算
错解：原式
分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.
正解：原式
三、错在约分
例1 当为何值时，分式有意义?
［错解］原式。

由得.
∴时，分式有意义。

［解析］上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误。

[正解］由得且.
∴当且，分式有意义.
四、错在以偏概全
例2 为何值时，分式有意义?
[错解］当，得。

∴当，原分式有意义。

［解析]上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.
[正解] ，得,
由,得。

∴当且时，原分式有意义。

五、错在计算去分母
例3 计算。

［错解］原式
=。

［解析］上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，。

[正解］原式
.
六、错在只考虑分子没有顾及分母
例4 当为何值时，分式的值为零.
［错解］由，得.
∴当或时,原分式的值为零。

[解析]当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在,出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.
[正解］由由，得.
由，得且。

∴当时，原分式的值为零。

七、错在“且”与“或”的用法
例7 为何值时，分式有意义
错解:要使分式有意义，须满足，即。

由得，或由得。

当或时原分式有意义。

分析：上述解法由得或是错误的。

因为
与中的一个式子成立并不能保证一定成立，只有与同时成立，才能保证一定成立.
故本题的正确答案是且.
八、错在忽视特殊情况
例8解关于的方程.
错解：方程两边同时乘以,得，即.
当时，，
当时，原方程无解.
分析:当时,原方程变为取任何值都不能满足这个方程，错解只注意了对的讨论,而忽视了的特殊情况的讨论.
正解：方程两边同时乘以，得,即
当且时，，当或时,原方程无解。

一。

分段分步法
例1. 计算：
解：原式
说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化.
同类方法练习题：计算
（答案：）
二。

分裂整数法
例2。

计算：
解：原式
说明:当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。

同类方法练习题：有一些“幸福"牌的卡片(卡片数目不为零），团团的卡片比这些多6张，圆圆的卡片比这些多2张，且知团团的卡片是圆圆的整数倍，求团团和圆圆各多少张卡片?（答案:团团8张，圆圆4张）
三. 拆项法
例3。

计算:
解：原式
说明:对形如上面的算式,分母要先因式分解，再逆用公式，各
个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。

在解某些分式方程中,也可使用拆项法。

同类方法练习题:计算：
（答案：）
四. 活用乘法公式
例4. 计算：
解：当且时，
原式
说明:在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原,就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便.
同类方法练习题：计算：
(答案:)
五. 巧选运算顺序
例5. 计算：
解：原式
说明：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开,只能先算括号内的。

同类方法练习题:解方程
（答案:)
六。

见繁化简
例6。

计算：
解：原式
说明:若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便.
同类方法练习题：解方程
（答案：）
在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。

方能起到事半功倍的效率.。