上海市曹杨第二中学2018-2019学年上学期高一数学期中考试卷附答案解析

上海市曹杨第二中学2018-2019学年上学期期中考
高一数学试题
一、单选题
1．设集合{}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则()
A ．M N ⋂=∅
B ．M N M ⋂=
C ．M N M
⋃=D ．M N R = 2．设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的()A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件[来3．函数()2f x x =，则对任意实数12x x 、,下列不等式总成立的是(
)A ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
B ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭＜
C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭
＞4．对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若a 、b R +∈且1a b +=，则122a b -
-的上确界为（）
A ．92-
B ．92
C ．
D ．4
-二、填空题
5．设全集{}(){}123424U U M N M C N =⋃=⋂=，，，，，，则N =_______.
6．满足{1，2} A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是______．
7．设:14:x x m αβ≤≤≤，，若α是β的充分条件,则实数m 的取值范围是_______.
8．已知x ∈R ，命题“若25x <
<，则27100x x -+<”的否命题是______.9．函数y=232x x --的定义域是
.10．若()()233x x x f x g x x x
-+==+，，则()()f x g x ⋅=_________.11．已知00220x y x y +=＞，＞，，则xy 的最大值是_______.
12．已知正实数x y 、满足31x y +=，则1
3x x y
+的最小值为_________.13．若关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |-1＜x ＜2}，则关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集是______．
14．二次函数()231y x a x =+-+的图像与x 轴的两个交点的横坐标分别为12x x 、，且1222x x ＜，＞，则a
的取值范围是_________.
15．设()f x 的定义域是[]01，，则函数()1122h x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的定义域为_______.16．定义满足不等式|x -A |＜B （A ∈R ，B ＞0）的实数x 的集合叫做A 的B 邻域．若a +b -t （t 为正常数）的a +b 邻域是一个关于原点对称的区间，则a 2+b 2的最小值为______．
三、解答题
17．记关于x 的不等式1101
a x +-
+＜的解集为P,不等式11x -≤的解集为Q ，若0a P Q Q ⋂=＞，，求实数a 的取值范围.18．若实数x 、y 、m 满足x m y m ->-，则称x 比y 远离m ．
（1）若21x -比3远离0，求x 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33+a b 比22a b ab +远离2ab ab ．
19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。

某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。

该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35
k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。

设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。

（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式。

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。

20．已知一元二次函数
()()200f x ax bx c a c =++＞，＞的图像与x 轴有两个不同的交点,其中一个交点的坐标为()0c ，
，且当0x c ＜＜时,恒有()0.f x ＞(1)求出不等式()0f x ＜的解(用a c 、表示)；
(2)若以二次函数的图像与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,求a 的取值范围；(3)若不等式2210m km b ac -+++≥对所有[]11k ∈-，恒成立,求实数m 的取值范围.
21．设{}123,200E = ，，，，且{}12100G a a a =⋯，，
，是E 的真子集,且G 具有下列两条性质:(1)对任何1100i j ≤≤≤，恒有201
i j a a +≠；(2)1210010080.
a a a ++⋯+=试证:G 中的奇数的个数是4的倍数,且G 中的所有数字的平方和为一个定数
22．设a b c R +∈，，，试证:对任意实数x y 、、z 有()()()222
abc a b b c c a x y z xy yz zx a b b c c a c a b ⎛⎫+++++≥++ ⎪ ⎪+++⎝⎭
解析
上海市曹杨第二中学2018-2019学年上学期期中考
高一数学试题
一、单选题
1．设集合{}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则()
A ．M N ⋂=∅
B ．M N M ⋂=
C ．M N M
⋃=D ．M N R = 【答案】B
【解析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求,M N 两个集合的交集和并集，从而得出正确选项.
【详解】
由()210x x x x -=-<解得01x <<.故,M N N M N M ⋃=⋂=，故B 选项正确.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查集合交集、并集的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的()
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件[来【答案】A
【解析】试题分析：|x －2|＜3可化为-1<x<5,所以甲是乙的充分不必要条件
【考点】充分条件与必要条件
3．函数()2f x x =，则对任意实数12x x 、,下列不等式总成立的是()
A ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
B ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭＜
C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭
＞【答案】A
【解析】用差比较法，比较出()()1212,22f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭
的大小关系.【详解】
依题意()()
121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭222121222x x x x ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2
1204x x -=≥，故()()12122
2f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，所以A 选项正确.故选：A.
【点睛】
本小题主要考查差比较法比较大小，考查运算求解能力，属于基础题.
4．对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若a 、b R +∈且1a b +=，则122a b -
-的上确界为（）
A ．92-
B ．92
C ．
D ．4
-【答案】A
【解析】因为a 、b R +∈且1a b +=，所以
（当且仅当，即时取等号）；则，
所以122a b --的上确界为.
【考点】基本不等式.
二、填空题
5．设全集{}(){}123424U U M N M C N =⋃=⋂=，，，，，，则N =_______.
【答案】{}
1,3【解析】画出图像，根据(){}24U M
C N ⋂=，求得N .【详解】
画出图像如下图所示，由于{}1234U
M N =⋃=，，，，故{}1,3N =.
故答案为：{}1,3.
【点睛】
本小题主要考查集合交集、并集和补集的运算，属于基础题.
6．满足{1，2} A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是______．
【答案】3
【解析】【详解】
∵{}{}121234A ⊆ ，
，，，，∴集合A 中除了含有1，2两个元素以外，至少必须含有另外一个元素，因此满足条件的集合A 为{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,3,4共3个，故答案为3.
7．设:14:x x m αβ≤≤≤，，若α是β的充分条件,则实数m 的取值范围是_______.
【答案】(]
,1-∞【解析】由题意得出
[][)1,4,m ⊆+∞，由此可得出实数m 的取值范围.
【详解】:14x α≤≤ ，:x m β≤，若α是β的充分条件，[][)1,4,m ⊆+∞，则1m £.
因此，实数m 的取值范围是
(],1-∞.故答案为：
(],1-∞.【点睛】
本题考查利用充分条件求参数，一般转化为集合的包含关系求解，考查运算求解能力，属于基础题.
8．已知x ∈R ，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是______.
【答案】若2x ≤或5x ≥，则27100
x x -+≥【解析】根据四种命题的形式，直接写其否命题.
【详解】
原命题的否命题是“若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥”
故答案为：若2x ≤或5x ≥，则27100
x x -+≥【点睛】
本题考查四种命题的书写形式，属于基础题型，若原命题是“若p 则q ”
那么否命题：“若p ⌝则q ⌝”，逆命题：“若q 则p ”，逆否命题：“若q ⌝则p ⌝”.
9．函数y=
232x x --的定义域是.【答案】[]
3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]
3,1-【考点】函数定义域
10．若()()233x x x f x g x x x
-+==+，，则()()f x g x ⋅=_________.【答案】1x -（3x ≠-且0x ≠）
【解析】先求得()f x 和()g x 的定义域的交集，再求得
()()⋅f x g x 的表达式.【详解】
()f x 定义域为{}|3x x ≠-，()g x 的定义域为{}|0x x ≠，所以()()⋅f x g x 的定义域为{|3,x x ≠-且
}0x ≠.所以()()2313x x x f x g x x x x
-+⋅=⋅=-+（3x ≠-且0x ≠）.故答案为：1x -（3x
≠-且0x ≠）【点睛】
本小题主要考查函数定义域，考查运算求解能力，属于基础题.
11．已知00220x y x y +=＞，＞，，则xy 的最大值是_______.
【答案】50
【解析】利用配凑法，结合基本不等式，求得xy 的最大值.
【详解】依题意2211212025022222x y xy x y +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅≤⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当且仅当210x y ==时等号成立.故xy 的最大值为50.
故答案为：50.
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
12．已知正实数x y 、满足31x y +=，则
13x x y
+的最小值为_________.【答案】7【解析】用“1”的代换的方法对所求表达式进行化简，再利用基本不等式求得最小值.
【详解】依题意133333331127x x y x y x y x x y x y x y x y ++=+=++≥+⋅=，当且仅当331,4
y x x y x y ===时，取得最小值为7.
故答案为：7
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
13．若关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |-1＜x ＜2}，则关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集是______．
【答案】()1
12⎛⎫
-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
，，
【解析】由条件可得a ＜0，且-1+2=-
b a ，-1×2=
c a ．b =-a ＞0，c =-2a ＞0，可得要解得不等式即x 2+12x -12
＞0，由此求得它的解集．
【详解】∵关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |-1＜x ＜2}，
∴a ＜0，且-1+2=-b a ，-1×2=c a
．∴b =-a ＞0，c =-2a ＞0，∴
a c =-12，
b
c =12．故关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0，即x 2+12x -12＞0，即（x +1）（x -12
）＞0，故x ＜-1或x ＞12
，故关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集是()1
12⎛⎫
-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，
，，故答案为：()112⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，
，．【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．
14．二次函数()231y x a x =+-+的图像与x 轴的两个交点的横坐标分别为12x x 、，且1222x x ＜，＞，则a 的取值范围是_________.【答案】1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
【解析】构造函数
()()231x a f x x +-=+，根据()20f <，求得a 的取值范围.【详解】
构造函数()()231x a f x x +-=+，依题意可知()f x 有两个零点12,x x ，且122,2x x <>，所以()20f <，
即()4231210a a +-+=-<，解得12a <
，即a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,
2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭【点睛】
本小题主要考查根据二次函数零点分布，求参数的取值范围，属于基础题.
15．设()f x 的定义域是[]01，，则函数()1122h x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的定义域为_______.【答案】1|2x x ⎧
⎫=⎨⎬⎩⎭
【解析】分别求得12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和12f x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的定义域，再求两个定义域的交集，由此求得()h x 的定义域.【详解】由1012x ≤+≤，求得12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定义域为11,22A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
.由1012x ≤-≤，求得12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域为13,22B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.而1|2A B x x ⎧⎫⋂==⎨⎬⎩
⎭.故()h x 的定义域为1|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.故答案为：1|2x x ⎧⎫=
⎨⎬⎩⎭
【点睛】本小题主要考查抽象函数定义域的求法，属于基础题.
16．定义满足不等式|x -A |＜B （A ∈R ，B ＞0）的实数x 的集合叫做A 的B 邻域．若a +b -t （t 为正常数）的a +b 邻域是一个关于原点对称的区间，则a 2+b 2的最小值为______．【答案】2
2
t 【解析】先根据条件求出-t ＜x ＜2（a +b ）-t ；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a +b =t ，最后结合基本不等式即可求出a 2+b 2的最小值．
【详解】
因为A 的B 邻域在数轴上表示以A 为中心，B 为半径的区域，
∴|x -（a +b -t ）|＜a +b ⇒-t ＜x ＜2（a +b ）-t ，
而邻域是一个关于原点对称的区间，所以可得a +b -t =0
所以a +b =t ．
又因为a 2+b 2≥2ab
所以2（a 2+b 2）≥a 2+2ab +b 2=（a +b ）2=t 2．
所以：a 2+b 2≥2
2t ．故答案为：2
2
t ．【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想，属于基础题．
三、解答题
17．记关于x 的不等式1101
a x +-
+＜的解集为P,不等式11x -≤的解集为Q ，若0a P Q Q ⋂=＞，，求实数a 的取值范围.
【答案】()2,+∞【解析】解分式不等式求得集合P ，解绝对值不等式求得集合Q ，结合0,a P Q Q >⋂=，求得a 的取值范围.
【详解】由1101a x +-+＜得01
x a x -<+，由于0a >，所以()1,P a =-.由11x -≤得111,02x x -≤-≤≤≤，故[]0,2Q =.由于0,a P Q Q >⋂=，所以2a >.也即实数a 的取值范围是()2,+∞.
【点睛】
本小题主要考查根据集合交集的结果求参数，考查分式不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题.
18．若实数x 、y 、m 满足x m y m ->-，则称x 比y 远离m ．
（1）若21x -比3远离0，求x 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33+a b 比22a b ab +远离2ab ab ．
【答案】（1）()(),22,-∞-+∞ （2）详见解析
【解析】（1）根据定义得到不等式21030x -->-，解这个不等式可得x 的取值范围．
（2）只要证明332222a b ab ab a b ab ab ab +->+-即可，利用作差法可证该不等式，注意利用基本不等式可证绝对值符号内的代数式恒正．
【详解】
（1）因为21x -比3远离0，所以21030x -->-即213x ->，
所以213x ->或213x -<-（无解），所以24x >，
故()(),22,x ∈-∞-⋃+∞．
（2）0a > ，0b >，a b ¹，222a b ab ab ab ∴+>，332a b ab ab +>，于是3322332222a b ab ab a b ab ab ab a b a b ab +--+-=+--，
而()()()()2
3322220a b a b ab a b a b a b a b +--=--=-+>
332222a b ab ab a b ab ab ab ∴+->+-，
即33+a b 比22a b ab +远离2ab ab ．
【点睛】
本题考查不等式的证明，其基本方法有
（1）作差法：利用差的符号判断两个代数式的大小，作差后需利用因式分解、配方法等判断各因式的符号；
（2）作商法：利用商与1的大小关系来判断两个代数式的大小，注意商的分母的符号；
（3）利用基本不等式：根据不等式的代数结构特点选择合适的基本不等式帮助证明．
19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。

某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。

该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35
k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。

设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。

（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式。

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。

【答案】40k =，因此40()35C x x =
+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元。

【解析】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35k C x x =+.再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+.而建造费用为1()6C x x
=最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯
+=+≤≤++（Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-
+，令'()0f x =，即224006(35)x =+.解得5x =，253x =-
（舍去）.当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为
800(5)6570155
f =⨯+
=+。

当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元。

20．已知一元二次函数
()()200f x ax bx c a c =++＞，＞的图像与x 轴有两个不同的交点,其中一个交点的坐标为()0c ，
，且当0x c ＜＜时,恒有()0.f x ＞(1)求出不等式
()0f x ＜的解(用a c 、表示)；(2)若以二次函数的图像与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,求a 的取值范围；
(3)若不等式2210m km b ac -+++≥对所有[]11k ∈-，恒成立,求实数m 的取值范围.
【答案】（1）1,c a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭；（2）10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦
；（3）(][){},22,0-∞-+∞ .【解析】（1）利用()0f c =求得b 关于,a c 的表达式，进而求得不等式()0f x <的解集.
（2）根据（1）求得三个交点的坐标，利用面积列方程，求得a 的表达式，进而求得a 的取值范围.
（3）根据（1）中求得b 的表达式化简不等式2
210m km b ac -+++≥.对m 分成0,0,0m m m =><三种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.
【详解】
（1）依题意可知()0f c =，即20ac bc c ++=①，由0c >，故①式可化为1b ac =--.所以
()()21f x ax ac x c =-++()()1ax x c =--.令()0f x =，解得11x a =
，2x c =.由于当0x c <<时，恒有()0f x >，所以1c a >.令()()()10f x ax x c =--<，解得1c x a <<.所以不等式()0f x <的解集为1,c a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
.（2）结合（1）可知，三个交点的坐标为()()10,,,0,,0A c B c C a ⎛⎫
⎪⎝⎭，且1c a >.根据三角形的面积得1182c c a ⎛⎫⋅-⋅= ⎪⎝⎭，化简得211116168162c a c c c c c
==≤=++⋅，16,4c c c ==时等号成立，故a 的取值范围是10,8⎛
⎤ ⎥⎝⎦
.（3）由于1b ac =--，所以不等式2210m km b ac -+++≥可化为220m km -≥②.
当0m =时，②成立.
当0m >时，②可化为2m k ≥，而[]22,2k ∈
-，所以2m ≥.当0m <时，②可化为2m k ≤，而[]22,2k ∈-，所以2m ≤-.
综上所述，m 的取值范围是(][){},22,0-∞-+∞ .
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式的运用，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
21．设{}123,200E = ，，，，且{}12100G a a a =⋯，，
，是E 的真子集,且G 具有下列两条性质:
(1)对任何1100i j ≤≤≤，恒有201
i j a a +≠；(2)1210010080.
a a a ++⋯+=试证:G 中的奇数的个数是4的倍数,且G 中的所有数字的平方和为一个定数
【答案】详见解析
【解析】利用
()200100100222111201i i k i i k a a ====+-∑∑∑，化简后证得G 中的所有数字的平方和为一个定数.【详解】
由已知可得()2001001002221
11201i i k i i k
a a ====+-∑∑∑100100
22112402201100i i i i a a ===-+⨯∑∑①，所以2001002210021114022011002i k i i
i k a a ===+-⨯=
∑∑∑，由（2）可知1001i i a =∑为定值，故10021i i a =∑为一个定数.20021
120020140116867006k k ==⨯⨯⨯=∑，1686700除以8余数为4.22011004040100⨯=，4040100除以8的余数为4.100140240210080i i a
==⨯∑是8的整数倍.
设G 中有x 个奇数，则由①式可得()4204
mod8x ≡-+，故()0mod 4x ≡，即G 中的奇数的个数是4的
倍数
【点睛】本小题主要考查新定义集合的性质的理解，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析与解决问题的能力，属于难题.
22．设a b c R +∈，，，试证:对任意实数x y 、、z 有()()()222
abc a b b c c a x y z xy yz zx a b b c c a c a b ⎛⎫+++++≥++ ⎪ ⎪+++⎝⎭【答案】详见解析
【解析】利用差比较法，证得不等式成立.
【详解】
依题意()()()222
abc a b b c c a x y z xy yz zx a b b c c a c a b ⎛⎫+++++-++ ⎪ ⎪+++⎝⎭()()()()()()
222222ab bc ac x y z xy yz xz b c c a a b c a a b b c =++---++++++
()()2222b ab a c x xy y y b c b c c a c a c a =-+++++++()()
2
2bc b yz z a b c a a b -++++()()22a ca z xz a b a b b c +-+++2c x b c ++2b a x y b c c a ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭2c b y z c a a b ⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭2a c z x a b b c ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭
0≥.所以()()()222
abc a b b c c a x y z xy yz zx a b b c c a c a b ⎛⎫+++++≥++ ⎪ ⎪+++⎝⎭.【点睛】
本小题主要考查利用差比较法证明不等式，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。