内蒙古阿拉善左旗高级中学2018届高三数学第一次月考试题 文(含解析)

阿左旗高级中学2017—2018学年第一学期九月测试卷
高三数学（文科）
一、选择题(每小题5分，共60分)
1. 设集合M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{1,4,5,7}，则M∩N等于( )
A. {1,2,4,5,7}
B. {1,4,5}
C. {1,5}
D. {1,4}
【答案】B
【解析】则
2. ( )
A. B. C. D. -
【答案】A
【解析】试题分析：选C.
考点：诱导公式.
【易错点晴】本题主要考查诱导公式，属于容易题型.本题虽属容易题型，但如果不细心的话容易因判断错象限、或因忘了改变函数名而犯错.解决此类题型的口诀是：奇变偶不变，符号看象限,应用改口诀的注意细节有：1、“奇”、“偶”指的是的奇数倍或偶数倍，2、符号看象限，既要看旧角，又要看旧函数名.要熟练掌握这两个细节才不会“走火入魔”.
3. 下列函数中,是偶函数且在上为增函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由选项可看出四个函数中D为奇函数，所以排除D，在ABC三个选项中，A函数为增函数，B函数为减函数，C函数既有增区间又有减区间.
故选A.
4. 若已知函数f(x)＝ , 则的值是( )
A. B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】由函数f(x)＝可知：，+1=
故选：D
5. 函数y＝的定义域是( )
A. [1,2]
B. [1,2)
C.
D.
【答案】D
【解析】即得解得
故选D
6. 下列说法中，正确的是（）
A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”
B. 命题“存在，使得”的否定是：“任意，都有”
C. 若命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题
D. ""是" "的充分不必要条件
【答案】C
【解析】对于A，命题“若，则”的否命题为“若a≤b，则”；∴A 不正确；
对于B，命题“存在x∈R，使得”的否定是：“任意x∈R，都有”；∴B不正确；
对于C，若命题“非p”是真命题则P是假命题，命题“p或q”是真命题，那么命题q一定是真命题，∴C正确；
对于D，∴推不出. ∴D不正确
故选：C．
7. 设a=,,则a,b,c的大小关系是( )
A. b>c>a
B. a>c>b
C. b>a>c
D. a>b>c
【答案】D
【解析】,所以
故选D
8. 函数f(x)＝2x－6+lnx的零点个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A
【解析】,所以函数在上递增，又,所以函数的零点只有1个
故选A
点睛：本题是零点存在性定理的考查，先确定函数的单调性，在判断特殊点处的函数值有正负变化即得解.
9. 函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由图知A=2,又
,此函数的解析式是
故选B.
10. 若＝，则cos(π-2α)＝( )
A. -
B.
C. -
D.
【答案】C
【解析】==,
故选C
11. 函数y＝ (0＜a＜1)的图象的大致形状是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】又所以函数在上递减，在上递增，故选D
点睛：函数中有绝对值的要去掉绝对值，写成分段函数，根据单调性即可以选出选项.
12. 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，0)
B.
C. (0,1)
D. (0，＋∞)
【答案】B
【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，）．
故选B．
二、填空题(每小题5分，共20分)
13. 已知=2, 则=______
【答案】3
【解析】,
故答案为3
14. 函数f（x）=的单调递增区间为________.
【答案】
【解析】根据复合函数的单调性，内外层函数同则增异则减的原则，f（x）=的递增区间为的递减区间，但要注意定义域，所以f（x）=的递增区间为
................
故答案为
点睛：研究复合函数的单调性：先把复合函数分成内外两层，根据内外层函数单调性相同，复合函数增，内外层函数单调性相异，复合函数减，即同则增异则减，做题时还要注意定义域.
15. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，
则＝________.
【答案】-2
【解析】由f(x＋4)＝f(x)得f(x)的周期为4，所以
又f(x)在R上是奇函数，所以
故答案为-2.
点睛：函数奇偶性，周期性结合求函数值的问题，先利用周期性，把变为
再利用奇偶性根据已知很容易出结果.
16. 若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，]
【解析】2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，则a≤h(x)min＝4，故实数a的取值范围是(－∞，4]．
故答案为：(－∞，4]
点睛：恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;
（3）若恒成立，可转化为.
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)
17. (10分) 化简求值：
(1) ； (2) .
【答案】(1) 4 ; (2)
【解析】试题分析：(1)主要是对数运算性质的考查（2）主要是三角恒等变换的二倍角公式，两角和与差的余弦公式的考查.
试题解析：
(1)原式= (2)原式=
18. (12分)
（1）已知sinα＝- ，且α为第四象限角，求tanα的值；
(2)已知cos且都是锐角，求的值
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析：（1）由α为第四象限角，根据同角基本关系的平方关系得
的值，商式关系得出.
(2) cos，是锐角得出sin，又都是锐角，，得出，根据得出结果.
试题解析：
(1)为第四象限角,
(2) 因为是锐角，所以sin=又都是锐角，，
=,则cos=cos
19. (12分)
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)若f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．求实数a的取值范围.
【答案】(1)35 (2) a≤－6，或a≥4
【解析】试题分析：(1) 当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，根据二次函数的单调性得出函数的最值（2）二次函数的对称轴为x＝－a，根据图像得出[－4,6]在轴的左侧或在轴的右侧，即－a≤－4，或－a≥6得解.
试题解析：
(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，
∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f(x)的最小值是f(2)＝－1.又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4，或－a≥6，即a≤－6，或a≥4.
20. (12分)
已知.f(x)＝sin x cos x-cos2x＋
(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．
【答案】(1)(k∈Z) (2)
【解析】试题分析：（1）先对函数f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋化简得
f(x)＝sin，令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)解得对称中心（2）0≤x≤所以-≤2x-≤，根据正弦函数图像得出值域.
试题解析：
(1)f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋
＝sin2x-cos2x＝sin，所以f(x)的最小正周期为π.令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)，所以x＝ (k∈Z)．
故f(x)图象对称中心的坐标为 (k∈Z)．
(2)因为0≤x≤，所以-≤2x-≤，
所以≤sin≤1，即f(x)的值域为.
点睛：本题重点考查三角函数式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，正弦型函数的对称中心，及函数在某一定义域下的值域，是高考的常见题型，在求值域时要运用整体的思想.
21. (12分)
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线方程为
l：y＝3x＋1，且当x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
【答案】(1) a＝2，b＝－4, c＝5 (2) 最大值为13，最小值为
【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，联立得出a，b，c的值(2) 由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝，研究单调性得出最值.
试题解析：
(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①
当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②
由①②，解得a＝2，b＝－4.
由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4. 所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.
令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：
所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
点睛：已知切线方程求参数问题，利用切线斜率，切点在切线上也在曲线上这两点即可求出字母值.函数的极值问题要注意对应的导值为0，且在此点的左右函数有单调性变化.
22. (12分)
已知函数f(x)＝ln x＋a(1-x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．
【答案】(1)见解析(2) (0，1)
【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数符号是否变化进行讨论：若，则，在单调递增；若，导函数先正后负，函数先增后减；（2）由（1）知函数有最大值条件为，且最大值为，转化为解不等式，先化简，再利用导数研究函数单调性及零点，确定不等式解集
试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为
若，则，所以在单调递增
若，则当时，；当时，。

所以在单调递增，在单调递减。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在无最大值；当时，在取得最大值，最大值为
因此等价于
令，则在单调递增，
于是，当时，；当时，
因此，的取值范围是。