高中数学课件-1.2排列 课件(北师大版选修2-3)
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第一章 §2
2．排列数公式的应用 (1)第一个公式 Amn ＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以 及解当 m 较小时的含有排列数的方程和不等式．在运用该公式 时要注意其特点：第一个因数是 n，最后一个因数是 n－m＋1， 共有 m 个连续的自然数相乘． (2)第二个公式 Amn ＝n－n！m！适用于与排列数有关的证明、 解方程、解不等式等．在具体运用时，应注意先提取公因式， 再计算．
∴Anm＋1＝mAmn －1＋Amn .
第一章 §2
[点评] 正确运用排列数公式是解决本题的关键．(2)题证 法二是充分利用排列的定义及对某一特定元素的正确处理来解 决的，解法新颖独到．
第一章 §2
无限制条件的排列问题 (1)写出从4个不同元素a、b、c、d中任取3个元 素的所有排列，并指出有多少种不同的排列． (2)6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，问 有多少种不同的排法？ [分析] 直接依据排列的定义，用枚举法等解无约束条件 的排列问题，用排列数公式(或分步计数法)计算不同的排列 数．
第一章 §2
[解析] (1)A215＝15×14＝210.
(2)A88＝8！＝8×7×6×5×4×3×2×1＝40320.
(3)
Amn－－11·Ann－ －mm An－1
n－1
＝
n－1！ [n－1－m－1]！
·(n
－
m)
！
1 ·n－1！
＝
nn－－m1！！·(n－m)！·n－11！＝1.
(4)1！＋2·2！＋…＋n·n！＝(2！－1)＋(3！－2！)＋…＋[(n
－n1！等关系．
第一章 §2
(1)计算：2AA5888＋－7AA59 48； (2)求证：Amn＋1＝mAmn －1＋Amn . [分析] 本题主要考查排列公式．(1)由排列数公式展开即 可解决；(2)用公式 Amn ＝n－n！m！可以证明．
第一章 §2
[解析] (1)2AA5888＋－7AA59 48 ＝8×27× ×86× ×75× ×64× ×53× ×42＋ ×71× －89× ×78× ×67× ×56×5 ＝88××77××66××55××284＋－79＝1.
第一章 §2ห้องสมุดไป่ตู้
知能自主梳理
第一章 §2
1．排列的定义 一 般 地 ， 从 ___n_个__不__同__的__元__素__中__取__出__m_(_m_≤_n_)_个__元__素__，___ __按__照__一__定__的__顺__序__排__成__一__列__，叫作从n个不同的元素中任意取 出m个元素的一个排列． 有关求排列个数的问题叫作排列问题．
第一章 §2
2．排列数公式 把从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素的排列，看 成从n个不同的球中选出m个球，放入排好的m个盒子中，每个 盒子里放一个球，分n步计数，根据乘法原理，共有 __n_(_n_－__1_)(_n_－__2_)_…__[n_－__(_m_－__1_)_]_种放法． 即从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素的排列共有 __n_(_n_－__1_)_(n_－__2_)_…__(_n_－__m_＋__1_)___种．
第一章 计数原理
1.1.1 集合的概念
第一章 §2
第一章 §2 排 列
1.1.1 集合的概念
第一章 §2
1 知能目标解读
2 知能自主梳理
6 探索延拓创新
3 学习方法指导 4 思路方法技巧
7 易错辨误警示 8 课堂巩固训练
5 建模应用引路
9 课后强化作业
第一章 §2
知能目标解读
第一章 §2
1．通过实例，理解排列的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式，并能解决简单的实 际问题． 本节重点：排列、排列数公式． 本节难点：排列数的应用．
第一章 §2
由此，可得排列数公式 Anm＝__n_(n_－__1_)_(_n_－__2_)…__(_n_－__m_＋__1_)_ ．
规定 A0n＝1.当 m＝n 时，Ann＝n(n－1)(n－2)·…·2·1.
说明：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫作 n 个不同
元素的一个全排列，记作 Ann.
＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1.
第一章 §2
(5)∵nn－！1＝n－11！－n1！，
∴
1 2！
＋
2 3！
＋
…
＋
n－1 n！
＝
1 1！
－
1 2！
＋
1 2！
－
1 3！
＋
…
＋
n－11！－n1！＝1－n1！. [点评] 准确掌握好排列数公式是顺利进行计算的关
键．灵活应用 n！＝n(n－1)！，n·n！＝(n＋1)！－n！，nn－！1＝n－11！
我们把 n(n－1)(n－2)·…·2·1 记作_n_！___读作：n 的阶乘，即
Ann＝__n_！___规定 0！＝1.
n！
于是排列数公式写成阶乘的形式为 Anm＝__n_－__m__！_ .
第一章 §2
学习方法指导
第一章 §2
1．正确理解排列的定义 (1)排列定义包括两个基本内容：一是“从n个不同元素中 取出m(m≤n)个不同的元素”，要求取出的元素不能重复，二是 “按照一定的顺序排列”． (2)定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题 中，要由具体问题的性质和条件决定．这一点要特别注意，这 也是与后面学习的组合的根本区别． (3)对于两个排列，只有各元素完全相同，并且排列顺序也 完全相同时，才是相同排列．
第一章 §2
思路方法技巧
第一章 §2
排列数公式的计算
计算或化简下列各式：
(1)A215； (3)Amn－－A11nn·－ －A11nn－ －mm；
(2)A88； (4)1！＋2·2！＋…＋n·n！；
(5)21！＋32！＋…＋nn－！1. [分析] 利用排列数公式和阶乘的定义进行计算，并考虑
排列数之间的关系；化简求值，可减少运算量．
第一章 §2
(2)证法一：∵Amn＋1－Anm＝n＋n＋1－1m！！－n－n！m！ ＝n－n！m！·(n＋n＋1－1 m－1) ＝n－n！m！·n＋m1－m ＝m·n＋1n－！m！＝mAmn －1， ∴Anm＋1＝mAmn －1＋Amn .
第一章 §2
证法二：Anm＋1表示从 n＋1 个元素中取出 m 个元素的排列 个数，其中不含某元素 a1 的有 Anm个，含有 a1 的可这样进行排 列：先排 a1，有 m 种排法，再从另外 n 个元素中取出 m－1 个 元素在剩下的 m－1 个位置上，有 Amn －1种排法，故含有 a1 的排 法有 mAmn －1种．
2．排列数公式的应用 (1)第一个公式 Amn ＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以 及解当 m 较小时的含有排列数的方程和不等式．在运用该公式 时要注意其特点：第一个因数是 n，最后一个因数是 n－m＋1， 共有 m 个连续的自然数相乘． (2)第二个公式 Amn ＝n－n！m！适用于与排列数有关的证明、 解方程、解不等式等．在具体运用时，应注意先提取公因式， 再计算．
∴Anm＋1＝mAmn －1＋Amn .
第一章 §2
[点评] 正确运用排列数公式是解决本题的关键．(2)题证 法二是充分利用排列的定义及对某一特定元素的正确处理来解 决的，解法新颖独到．
第一章 §2
无限制条件的排列问题 (1)写出从4个不同元素a、b、c、d中任取3个元 素的所有排列，并指出有多少种不同的排列． (2)6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，问 有多少种不同的排法？ [分析] 直接依据排列的定义，用枚举法等解无约束条件 的排列问题，用排列数公式(或分步计数法)计算不同的排列 数．
第一章 §2
[解析] (1)A215＝15×14＝210.
(2)A88＝8！＝8×7×6×5×4×3×2×1＝40320.
(3)
Amn－－11·Ann－ －mm An－1
n－1
＝
n－1！ [n－1－m－1]！
·(n
－
m)
！
1 ·n－1！
＝
nn－－m1！！·(n－m)！·n－11！＝1.
(4)1！＋2·2！＋…＋n·n！＝(2！－1)＋(3！－2！)＋…＋[(n
－n1！等关系．
第一章 §2
(1)计算：2AA5888＋－7AA59 48； (2)求证：Amn＋1＝mAmn －1＋Amn . [分析] 本题主要考查排列公式．(1)由排列数公式展开即 可解决；(2)用公式 Amn ＝n－n！m！可以证明．
第一章 §2
[解析] (1)2AA5888＋－7AA59 48 ＝8×27× ×86× ×75× ×64× ×53× ×42＋ ×71× －89× ×78× ×67× ×56×5 ＝88××77××66××55××284＋－79＝1.
第一章 §2ห้องสมุดไป่ตู้
知能自主梳理
第一章 §2
1．排列的定义 一 般 地 ， 从 ___n_个__不__同__的__元__素__中__取__出__m_(_m_≤_n_)_个__元__素__，___ __按__照__一__定__的__顺__序__排__成__一__列__，叫作从n个不同的元素中任意取 出m个元素的一个排列． 有关求排列个数的问题叫作排列问题．
第一章 §2
2．排列数公式 把从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素的排列，看 成从n个不同的球中选出m个球，放入排好的m个盒子中，每个 盒子里放一个球，分n步计数，根据乘法原理，共有 __n_(_n_－__1_)(_n_－__2_)_…__[n_－__(_m_－__1_)_]_种放法． 即从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素的排列共有 __n_(_n_－__1_)_(n_－__2_)_…__(_n_－__m_＋__1_)___种．
第一章 计数原理
1.1.1 集合的概念
第一章 §2
第一章 §2 排 列
1.1.1 集合的概念
第一章 §2
1 知能目标解读
2 知能自主梳理
6 探索延拓创新
3 学习方法指导 4 思路方法技巧
7 易错辨误警示 8 课堂巩固训练
5 建模应用引路
9 课后强化作业
第一章 §2
知能目标解读
第一章 §2
1．通过实例，理解排列的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式，并能解决简单的实 际问题． 本节重点：排列、排列数公式． 本节难点：排列数的应用．
第一章 §2
由此，可得排列数公式 Anm＝__n_(n_－__1_)_(_n_－__2_)…__(_n_－__m_＋__1_)_ ．
规定 A0n＝1.当 m＝n 时，Ann＝n(n－1)(n－2)·…·2·1.
说明：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫作 n 个不同
元素的一个全排列，记作 Ann.
＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1.
第一章 §2
(5)∵nn－！1＝n－11！－n1！，
∴
1 2！
＋
2 3！
＋
…
＋
n－1 n！
＝
1 1！
－
1 2！
＋
1 2！
－
1 3！
＋
…
＋
n－11！－n1！＝1－n1！. [点评] 准确掌握好排列数公式是顺利进行计算的关
键．灵活应用 n！＝n(n－1)！，n·n！＝(n＋1)！－n！，nn－！1＝n－11！
我们把 n(n－1)(n－2)·…·2·1 记作_n_！___读作：n 的阶乘，即
Ann＝__n_！___规定 0！＝1.
n！
于是排列数公式写成阶乘的形式为 Anm＝__n_－__m__！_ .
第一章 §2
学习方法指导
第一章 §2
1．正确理解排列的定义 (1)排列定义包括两个基本内容：一是“从n个不同元素中 取出m(m≤n)个不同的元素”，要求取出的元素不能重复，二是 “按照一定的顺序排列”． (2)定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题 中，要由具体问题的性质和条件决定．这一点要特别注意，这 也是与后面学习的组合的根本区别． (3)对于两个排列，只有各元素完全相同，并且排列顺序也 完全相同时，才是相同排列．
第一章 §2
思路方法技巧
第一章 §2
排列数公式的计算
计算或化简下列各式：
(1)A215； (3)Amn－－A11nn·－ －A11nn－ －mm；
(2)A88； (4)1！＋2·2！＋…＋n·n！；
(5)21！＋32！＋…＋nn－！1. [分析] 利用排列数公式和阶乘的定义进行计算，并考虑
排列数之间的关系；化简求值，可减少运算量．
第一章 §2
(2)证法一：∵Amn＋1－Anm＝n＋n＋1－1m！！－n－n！m！ ＝n－n！m！·(n＋n＋1－1 m－1) ＝n－n！m！·n＋m1－m ＝m·n＋1n－！m！＝mAmn －1， ∴Anm＋1＝mAmn －1＋Amn .
第一章 §2
证法二：Anm＋1表示从 n＋1 个元素中取出 m 个元素的排列 个数，其中不含某元素 a1 的有 Anm个，含有 a1 的可这样进行排 列：先排 a1，有 m 种排法，再从另外 n 个元素中取出 m－1 个 元素在剩下的 m－1 个位置上，有 Amn －1种排法，故含有 a1 的排 法有 mAmn －1种．