[数学]-专项4 二次根式的运算与应用(原版)

专题4 二次根式的运算与应用（原卷版）第一部分典例精析+变式训练
类型一二次根式的计算
典例1（2022秋•渠县校级期末）化简：
（1）(√2−√6)×√18−3√1
3．（2）计算：
√27+√48
√3
+(√2+√3)(√2−√3)．
变式训练
1．（2022秋•长安区期中）下列计算正确的是（）
A．2√3+3√2=5√5B．2√3×3√2=6√6
C．5√5−2√3=3√2D．√30÷（√5+√3）=√6+√10
2．（2022秋•市北区校级期末）计算式子（√3−2）2021（√3+2）2020的结果是（）A．﹣1B．√3−2C．2−√3D．1
类型二与二次根式有关的化简求值
例2 （2022秋•商水县校级月考）问题：先化简，再求值：2a+√a2−10a+25，其中a＝3．小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．
小宇的解答过程如下：
解：2a+√a2−10a+25
＝2a+√(a−5)2⋯⋯（第一步）
＝2a+a﹣5……（第二步）
＝3a﹣5．……（第三步）
当a＝3时，
原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）
小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中：
2a+√a2−10a+25＝6+√32−10×3+25＝6+2＝8．
由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程．
变式训练
1．（2022春•藁城区校级月考）先化简，再求值：2−√(a−2)2+(a+1)(a−1)，其中a=√2．
2．（2022秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2−√3，b=
2−√3
，求√a2−2ab+b2的值．
典例 3 （2022秋•青浦区校级期中）先化简再求值：x−2√xy+y
x−y
÷
x+2√xy+y
x=
1
3+2√2
y=
3−2√2
．变式训练
1．（2022秋•虹口区校级月考）先化简，再求值：4
a−b +
√a+√b
b√a−a√b
+
√a−√b
b√a−a√b
，其中a＝1，b＝2．
典例4（2022春•邹城市校级月考）先化简，再求值：（1）2（a+√3）（a−√3）﹣a（a﹣6）+6，a=√2−1．
（2）已知a＝2+√3，b＝2−√3，求a
b
−
b
a
的值．
变式训练
1．已知x=2−√3，求代数式(7+4√3)x2+(2+√3)x+√3的值；
类型三与二次根式有关的规律探究
典例5（2022秋•新蔡县校级月考）发现①计算（√2）2＝，（√2
3）
2＝；
②计算：√22=；√(−2
3
)2=；
总结通过①②的计算，分别探索（√a）2（a≥0）与a、√a2与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来；
应用利用你总结的规律，结合图示计算√4(m+2)2+√(m−1)2+（√3−m）2的值．
变式训练
1．（2022秋•忻州月考）综合与实践
小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
等式1：√1+1
3
=2√13．等式2：√2+14=3√14．等式3：√3+15=4√15．等式4：．
（2）观察、归纳，得出猜想．
n为正整数，猜想等式n可表示为，并证明你的猜想．（3）应用运算规律．
①化简：√99+
1
101
×√199+1201×√402×√101．
②小丽写出一个等式√m2−2m+1+1
n
=10√1n（n＞0），若该等式符合上述规律，则m﹣n的值
为．
典例6（2022秋•浦东新区期中）观察下列运算：
（1）由(√2+1)(√2−1)=1，
√2+1=√2−1（2）由(√3+√2)(√3−√2)=1，
√3+√2
=
√3−√2
……问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；（2）利用（1）中发现的规律计算：
(1√2+1
1
√3+√2
1
√4+√3
+⋯1
√2018+√2017
1
√2019+√2018
)(√2019+1)．
变式训练
1．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．
例如：√3+2√2=√1+2×1×√2+2=√12+2×1×√2+(√2)2=√(1+√2)2=1+√2．
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数：√14+6√5=√9+2×3×√5+①=√(3+②)2=③
①：，②：，③．
（2）根据上述思路，化简并求出√28−10√3√7+4√3的值．
类型四二次根式的应用
典例1（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为√2cm．（1）求长方体盒子的容积；（2）求这个长方体盒子的侧面积．
变式训练
1．（2022秋•洛宁县月考）如图，有一张长为16√2cm，宽为8√2cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．
（1）若小正方形的边长为√2cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
典例2 （2022春•锦江区校级期中）阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当a ＞0，b ＞0时，有(√a −√b)2=a ﹣2√ab +b ≥0，∴a +b ≥2√ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x ＞0时，x +1
x 的最小值为 ；当x ＜0时，x +1
x 的最大值为 ．
（2）当x ＞0时，求y =x 2+3x+25
x
的最小值． （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为12和27，求四边形ABCD 面积的最小值．
针对训练
1．（2021秋•武陵区校级期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a ＞0，b ＞0时，∵(√a −√b)2=a −2√ab +b ≥0，∴a +b ≥2√ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． 请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x ＞0时，x +1
x 的最小值为 ． （2）当m ＞0时，求
m 2+5m+12
m 的最小值．
（3）请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x 米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
第二部分 专题提优训练
1．下列计算正确的是（ ） A ．√2÷√16
=√3
B ．√24
√6
=4 C ．√3÷√25=
√3
5
D ．
√5
=
√5
2．（2022春•江岸区校级月考）先化简，再求值：√25xy +x√y
x −4y √x
y −1
y √xy 3，其中x =1
3，y ＝4．
3．（2022春•呼和浩特期末）（1）计算：√18−√9
2
√3+√6√3
(√3−2)0；
（2）先化简，再求值：(3−2x+1)÷3x 2+x
x+1
，其中x =√3+1．
4．（2022春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目： 先化简，再求值：|x ﹣1|+√(x −10)2，其中x ＝9． 小明同学是这样计算的：
解：|x ﹣1|+√(x −10)2=x ﹣1+x ﹣10＝2x ﹣11． 当x ＝9时，原式＝2×9﹣11＝7． 小荣同学是这样计算的：
解：|x ﹣1|+√(x −10)2=x ﹣1+10﹣x ＝9．
聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？
5．（2022春•闵行区校级期中）先化简，再求值：已知x =3+2√2，求(1−x)2x−1+√x 2+1−2x x 2−x
的值．
6．（2021春•霍邱县期中）观察与思考：①2√2
3
=√2+23；②3√38=√3+38；③4√415=√4+415．
式①验证：2√2
3
=√2
3
3
=√(2
3−2)+2
22−1
=√2(2
2−1)+2
22−1
=√2+23；
式②验证：3√3
8
=√3
3
8
=√(3
3−3)+3
32−1
=√3(3
2−1)+3
32−1
=√3+38．
（1）仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程；
（2）猜想5√5
24
=；
（3）试用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示这一规律，并加以验证．
7．（2021秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题．
√13=√12=1；√13+23=√32=3；√13+23+33=√62=6；√13+23+33+43=√102= 10；…
根据上面的规律，解决问题：
（1）√13+23+33+43+53+63=＝；
（2）求√13+23+33+⋯+n3（用含n的代数式表示）．
8．（2022秋•中原区校级月考）小明同学在学习的过程中，看到北师大版八年级上册数学课本43页有这样一道题目：如图，两个正方形的边长分别是多少？你能借助这个图形解释√8=2√2吗？
小明想了想做出如下解答过程：“如图，大正方形的面积为8，则它的边长为√8；小正方形的面积为2，则小正方形的边长为√2．借助这个图形，可以得到大正方形的边长是小正方形边长的2倍，即√8= 2√2．”
老师夸赞小明做得非常好，继续提出一个新的问题：你能设计一个图形解释√1
2
=√22吗？请你画出相应
的图形并借助图形帮助小明解答这个问题．
9．（2022春•周至县期末）在一个长为4√5，宽为3√5的矩形内部挖去一个边长为（2√15−√5）的正方形，求剩余部分的面积．
10．（2022春•济源期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦﹣秦九韶公
式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c
2，那么三角形的面积为S=
√p(p−a)(p−b)(p−c)．
【解决问题】：已知在△ABC中，AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5．
（1）请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积．
（2）除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
11．（2022春•西城区校级期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+32√4×3，1+1 6
2√1×1
6，5+52√5×5．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2√mn（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要m．。