八年级上册分式填空选择单元培优测试卷

八年级上册分式填空选择单元培优测试卷
一、八年级数学分式填空题（难）
1．对实数a 、b ，定义运算☆如下：a ☆b=(,0){(,0)
b b a a b a a a b a ->≠≤≠，例如：2☆3=2﹣3=18，则计算：[2☆（﹣4）]☆1=_____．
【答案】16
【解析】
【分析】
判断算式a ☆b 中，a 与b 的大小，转化为对应的幂运算即可求得答案.
【详解】
由题意可得：
[2☆（﹣4）]☆1
=2﹣4☆1 =116
☆1 =（
116）﹣1 =16，
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了新定义运算、负整数指数幂，弄清题意，理解新定义运算的规则是解决此类题目的关键.
2．已知关于x 的分式方程
1a x +－221a x x x --+=0无解，则a 的值为____________. 【答案】-1或0或
12 【解析】
若关于x 的分式方程
1a x +－221a x x x
--+=0无解，则最简公分母为零或所化成的整式方程无解.
解：去分母方程两边同乘(1)x x + 得， (21)0ax a x ---=
210ax a x -++=
(1)210a x a +-+=
(1)21a x a +=-
当10a += 即1a =-时，整式方程无解，即分式方程无解；
当10a +≠时，有0x =或1x =-时，分式方程无解，此时12a =
或0a = 故答案为-1或0或12
点睛：本题主要考查分式方程无解问题.本题的易错点在于只考虑到了最简公分母为零的情况，而忽略了化为整式方程后，整式方程无解这一情况，从而导致答案不全.
3．若关于x 的分式方程
321
x m x -=-的解是正数，则m 的取值范围为_______. 【答案】m ＞2且m ≠3
【解析】 解关于x 的方程
321
x m x -=-得：2x m =-， ∵原方程的解是正数， ∴20210m m ->⎧⎨--≠⎩
，解得：2m >且3m ≠. 故答案为：2m >且3m ≠.
点睛：关于x 的方程321
x m x -=-的解是正数，则字母“m ”的取值需同时满足两个条件：（1）2x m =-不能是增根，即210m --≠；（2）20x m =->.
4．若以x 为未知数的方程
()22111232a a x x x x +-=---+无解，则a =______. 【答案】1-或32-
或2-. 【解析】
【分析】
首先解方程求得x 的值，方程无解，即所截方程的解是方程的增根，应等于1或2，据此即可求解a 的值．
【详解】
去分母得()()()2121x a x a -+-=+，
整理得()134a x a +=+，①
当1a =-时，方程①无解，此时原分式方程无解；
当1a ≠-时，原方程有增根为1x =或2x =.
当增根为1x =时，
3411a a +=+，解得32a =-； 当增根为2x =时，3421
a a +=+，解得2a =-.
综上所述，1a =-或32
a =-
或2a =-. 【点睛】 本题主要考查了方程增根产生的条件，如果方程有增根，则增根一定是能使方程的分母等于0的值．
5．若关于x 的分式方程
12x -﹣3a x -=2256x x -+无解，求a=______． 【答案】-1或2
【解析】 ∵12x -﹣3a x -=2256x x -+, ∴12x -+3a x -=()223x x --（）
∵方程无解，∴(x -2)(x -3)=0, ∴x =2由x =3.
6．若32a b =，则
a b a -的值为____________ 【答案】12-
【解析】
【分析】
利用32a b =，在
a b a -中，将b 用a 表示，约掉a 得到结果. 【详解】
∵32a b =，∴3=2a b 代入a b a
-得： 3122
a
a a -=- 故答案为：12-
【点睛】
本题考查分式的运算，解题关键是运用已知字母间的关系，将分式中的字母简化，以至可约分求得.
7．已知11x y ＝3，则代数式21422x xy y x xy y
----的值为___． 【答案】4
【解析】
【分析】
由11x y
-＝3,得y x xy -=3即y-x=3xy,然后代入代数式,进行消元,即可得到结论. 【详解】
解：由11x y
-＝3,得y x xy -=3即y-x=3xy ，x-y=-3xy, 则21422x xy y x xy y ----=2()142x y xy x y xy ----=61432xy xy xy xy
----=4 故答案为:4
【点睛】
本题主要考查代数式的求解,利用消元法是解决本题的关键.
8．关于x 的分式方程3111m x x
+=--的解为正数，则m 的取值范围是___________． 【答案】2?m >且3m ≠.
【解析】
【分析】
方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x ，再列不等式得出m 的取值范围．
【详解】
方程两边同乘以x-1，得，m-3=x-1，
解得x=m-2，
∵分式方程3111m x x
+=--的解为正数， ∴x=m-2＞0且x-1≠0，
即m-2＞0且m-2-1≠0，
∴m ＞2且m≠3，
故答案为m ＞2且m≠3．
9．某公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为_________元.
【答案】28
【解析】
设这种电子产品的标价为x 元，
由题意得：0.9x −21=21×20%，
解得：x=28，
所以这种电子产品的标价为28元．
故答案为28.
10．小明到商场购买某个牌子的铅笔x 支，用了y 元（y 为整数）．后来他又去商场时，发现这种牌子的铅笔降价20%，于是他比上一次多买了10支铅笔，用了4元钱，那么小
明两次共买了铅笔________支．【答案】40或90
【解析】
【分析】
因y元买了x只铅笔，则每只铅笔y
x
元；降价20%后，每只铅笔的价格是
4
5
y
x
元，依题意
得4
5
y
x
（x+10）=4，变形可得x=
10
5
y
y
-
，即可得y＜5；再由x、y均是正整数，确定y只能
取3或4，由此求得x的值，即可得小明两次所买铅笔的数量.【详解】
因y元买了x只铅笔，则每只铅笔y
x
元；降价20%后，每只铅笔的价格是（1-20%）
y
x
元，即4
5
y
x
元，依题意得：
4
5
y
x
（x+10）=4，
∴y（x+10）=5x
∴x=10
5
y
y -
，
∴5-y＞0，即y＜5；
又∵x、y均是正整数，
∴y只能取3和4；
①当y=3时， x=15，小明两次共买了铅笔：15+15+10=40（支）
②当y=4时， x=40，小明两次共买了铅笔：40+（40+10）=90（支）故答案为40或90．
【点睛】
本题考查了方程的应用，解决根据题意列出方程4
5
y
x
（x+10）=4确定x、y的值是解决问题
的关键.
二、八年级数学分式解答题压轴题（难）
11．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．（2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中
a b）．现在有两种施工改造方案：
方案一：前1
2
S米的道路由甲工程队改造，后
1
2
S米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；
（2）方案二所用的时间少
【解析】
【分析】
（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；
（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．
【详解】
（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，则甲工程队每天道路的长度为()30x +米， 根据题意，得：36030030x x
=+， 解得：150x =，
检验，当150x =时，()300x x +≠，
∴原分式方程的解为：150x =，
30180x +=，
答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；
（2）设方案一所用时间为：111()222s s a b s t a b ab
+=+=， 方案二所用时间为2t ，则221122t a t b s +=，22s t a b
=+， ∴2
2()22()
a b a b S S S ab a b ab a b +--=++， ∵a b ，00a b >>，，
∴()20a b ->， ∴202a b S S ab a b
+->+，即：12t t >， ∴方案二所用的时间少．
【点睛】
本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．
12．某商场购进甲、乙两种空调共50台．已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价少0.3万元；用20万元购进甲种空调数量是用40万元购进乙种空调数量的2倍．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？
（2）若商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，商场有哪几种购进方案？
（3）在（2）条件下，若甲种空调每台售价1100元，乙种空调每台售价4300元，甲、乙空调各有一台样机按八折出售，其余全部标价售出，商场从销售这50台空调获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上空调共2台．请直接写出该商场购进这50台空调各几台．
【答案】（1）0.1，0.4；（2）商场有3种购进方案：①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台；②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台；（3）购买甲种空调32台，购买乙种空调18台
【解析】
【分析】
（1）可设甲种空调每台进价是x 万元，则乙种空调每台进价是（x+0.3）万元，根据等量关系用20万元购进甲种空调数量＝用40万元购进乙种空调数量×2，列出方程求解即可； （2）设购买甲种空调n 台，则购买乙种空调（50﹣n ）台，根据商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，求出n 的范围，即可确定出购买方案；
（3）找到（2）中3种购进方案符合条件的即为所求．
【详解】
解：（1）设甲种空调每台进价是x 万元，则乙种空调每台进价是（x+0.3）万元，依题意有
20x ＝400.3x ×2， 解得x ＝0.1，
x+0.3＝0.1+0.3＝0.4．
答：甲种空调每台进价是0.1万元，乙种空调每台进价是0.4万元；
（2）设购买甲种空调n 台，则购买乙种空调（50﹣n ）台，依题意有
0.10.4(50)1031s
n n n +-⎧⎨⎩， 解得31≤n≤33
13
， ∵n 为整数， ∴n 取31，32，33，
∴商场有3种购进方案：①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台；②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台；
（3）①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台，
（31﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（19﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3000﹣120+5400﹣560﹣2520
＝7720﹣2520
＝5200（元），
不符合题意，舍去；
②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台，
（32﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（18﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3100﹣120+5100﹣560﹣2520
＝7520﹣2520
＝5000（元），
符合题意；
③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台，
（33﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（17﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3200﹣120+4800﹣560﹣2520
＝7320﹣2520
＝4800（元），
不符合题意，舍去．
综上所述，购买甲种空调32台，购买乙种空调18台．
【点睛】
此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
13．我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：112122111111
x x x x x x x x +-+-==+=+-----； 2322522552()11111
x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++. （1）下列分式中，属于真分式的是：____________________（填序号） ①21a a -+； ②21x x +； ③223b b +； ④2231
a a +-. （2）将假分式4321
a a +-化成整式与真分式的和的形式为： 4321
a a +-=______________+________________. （3）将假分式231
a a +-化成整式与真分式的和的形式： 231
a a +-=_____________+______________. 【答案】(1)③；(2)2，521a -；(3)a ＋1＋41
a - .
【解析】 试题分析：（1）认真阅读题意，体会真分式的特点，然后判断即可； （2）根据题意的化简方法进行化简即可； （3）根据题意的化简方法进行化简即可.
试题解析：（1）①中的分子分母均为1次，②中分子次数大于分母次数，③分子次数小于分母次数，④分子分母次数一样，故选③.
（2）4321a a +-=42552212121a a a a -+=+---，故答案为2，5221
a +-； （3）231a a +-=214(1)(1)4111
a a a a a a -++-=+---=411a a ++-，故答案为a+1+41a -.
14．（1）请你写出五个正的真分数，____，____，____，____，____，给每个分数的分子和分母加上同一个正数得到五个新分数：____，____，____，_____，____.
（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：
一个真分数是a b （a 、b 均为正数），给其分子分母同加一个正数m ，得a m b m
++，则两个分数的大小关系是
a m
b m ++_____a b . （3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：
（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？
（5）解决问题：如图1，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的路，问原来的长方形与现在铺过小路后的长方形是否相似？为什么？
（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题.请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关例子.
【答案】(1) 12；14；16；18；19；23；25；27；29；15
；（2）＞；（3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；（4）答案见解析；
（5）不相似，理由见解析；（6）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）小于1的数叫做真分数；（2）根据实例易得规律；（3）抓住新分数大于原分数即可；（4）根据图形进行分析解答；（5）利用相关规律解决问题即可；（6）结合生活中的现象进行解答.
【详解】
解：（1）12、14、16、18、19，23、25、27、29、15；（2）a m a b m b
+>+； （3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数； （4）思路1：如图2所示，
由a b <，得12s s s s +>+，即ab bm ab am +>+，()().a b m b a m +=+，可推出a m a b m b
+>+； 思路2：构造两个面积为1的长方形（如图3），将它们分成两部分，比较右侧的两个长方形面积可以发现：
1a b a b b --=，1a m b a b m b m
+--=++，
因为a 、b 、0m >，且a b <，
故1a b - 1a m b m +>-+，即a m a b m b
+>+ （5）不相似.因为两个长方形长与宽的比值不相等；
（6）数学问题举例：
①若a b
是假分数，会有怎样的结论？ ②a 、b 不是正数，或不全是正数，情况如何？
【点睛】
本题实际考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
15．水蜜桃是无锡市阳山的特色水果，水蜜桃一上市，水果店的老板用2000元购进一批水密桃，很快售完；老板又用3300元购进第二批水蜜桃，所购件数是第一批的
32
倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）第一批水蜜桃每件进价是多少元？
（2）老板以每件65元的价格销售第二批水蜜桃，售出80％后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批水密桃的销售利润不少于288元，剩余的仙桃每件售价最多打几折？(利润=售价-进价)
【答案】（1）50；（2）6折．
【解析】
【分析】
（1）根据题意设第一批水蜜桃每件进价是x 元，利用第二批水密桃进价建立方程求解即可；
（2）根据题意设剩余的仙桃每件售价最多打m 折，并建立不等式，求出其解集即可得出剩余的仙桃每件售价最多打几折.
【详解】
解：（1）设第一批水蜜桃每件进价是x 元，则有：
20003(5)33002
x x ⨯⨯+=，解得50x =， 所以第一批水蜜桃每件进价是50元.
（2）由（1）得出第二批水密桃的进价为：55元，数量为：
33006055
=件， 设剩余的仙桃每件售价最多打m 折，则有： 6580606065(180)3300288m ⨯⨯+⨯⨯--≥％％，
解得0.6m ≥，即最多打6折.
【点睛】
本题考查分式方程的实际应用以及不等式的实际应用，理解题意并根据题意建立方程和不等式是解题的关键.。