标高投影的基本概念

平面上的坡度比例尺具有如下特性：
✓ 1. 平面上的坡度比例尺与等高线互相垂直，其水平投影也互相垂 直。
✓
✓ 2. 坡度比例尺对水平面的倾角，等于该平面对水平面的倾角。 因此， 坡度比例尺的坡度就代表该平面的坡度。
平面的标高投影
三、平面的表达法
1、一组等高线
关平距 键l=1/i
2、一条等高线+坡度线（带箭头和坡度值）
L=（27-29） ÷1/1.5=-3m
L=(27-28) ÷1/1.5=-1.5m
填、挖方的坡 边线的分界点
例3、 求路段两侧边坡与地面的交线
a
a
(a)
(b)
例4、求作场地的边坡
L÷L÷==1(1(/42/452=4-=-42444m2m) )
根据坝顶的 高程为45m 画出。
图4-23a
6m 马道宽3m
土坝示意图
【例2】如图所示，在所给的地形图上，需修建一个广场，广场的高 程为27m，填方边坡为1:2，挖方边坡为1:1.5。求作填、挖方坡面的 坡脚线、开挖线，以及各坡面之间的交线。
顺箭头方向按已知比例1： 9
200连续截取三个平距， 得三个点，
8
过这三个点作高程为10
7
的等高线的平行线，即
为所求。
1：200
【例3】如图所示，已知平面上的一条倾斜直线a3b0，以及平面的坡 度i=1:0.5，图中虚线箭头表示大致坡向。试作出平面上高程为0、1、 2的等高线。
a3
a3
b0 b0
2
0 1 23
1
0
【解】先求高程为0的等高线
A
2
B
1
四、两平面的相对位置
1、两平面平行
2、两平面相交
Q
P
两平面相交求交线
12 M 12
✓两平面上相同高程等
H12
高线的两个交点的连线，
就是两平面的交线。
10 H10
10 N
在实际工程中，把建筑物上相邻两坡面的交线称为坡面交线。 坡面与地面的交线称为坡边线。 坡边线分为开挖坡边线（简称开挖线）和填筑坡边线（简称坡脚线）。
同坡曲面上的等高线
图a
为等距曲线，当高差
相等时，它们的间距
也相等。这Βιβλιοθήκη 圆锥曲面的 包络曲面就是同坡 曲面。
图4-18b
同坡曲面的作法
【例1】如图a，在高程为0的地面上修建一弯道，路面自0逐渐向上 升为4m，与干道相接。作出干道和弯道坡面的坡脚线以及干道和弯 道的坡面交线。
在曲导线上定出整数 标高点。（即将曲导 线平均分为4段）
H
坡度的概念
坡度 与 平距
的关系：
l=1/i
Aa
H
平距的概念
i=I/L=tga
l=L/I=ctga
即：i 值越大，直线越陡。
即：l 值越大，直线越缓。
【例1】如图所示，已知直线BA的标高投影b3a7，求直线 BA上C点的高程。
【解】 先求直线BA的坡度i
c
由图中比例尺量得LBA=8m，而HBA=（7-3）
要点 求出等高线之间的距离: L= l *DH l=1/i
【例2】在高程为5m的地面上挖一基坑，坑底高程为1m，坑底的形 状、大小以及各坡面坡度，如图a所示。求作开挖线和坡面交线，并 在坡面上画出示坡线。
1:1.5
1:2
1.00
1:1
L2
L3
1.00
L1
1:1.5
5.00
0 2 4 6 8m
L2
图a
标高投影的基本概念 点和直线的标高投影 平面的标高投影 曲面的标高投影
标高投影的基本概念
标高投影---用水平投影和标注高度来表达形体形状的投影图。
地形图
的 单 面正 水投 平影 投法 影绘 图制
一种表达地形图的方法。
用水平投影图加注高程数值来表示空间物体的方法，称 为标高投影法。（高程以米为单位，不需注明。另外在标高投影 图上必须注明绘图的比例或画出比例尺）
m=4m，
∴直线BA的坡度 i =
HBA LBA
=
4 8
=
1 2
用比例尺量得LCA=2m，
则 HCA= i×LCA=
1 2
×2m=1m
∴C点的高程为：（7-1）m = 6 m.
H
a3
H b6
【例2】 如图a所示，已知直线上B点的高程及该直线的坡度，求直
线上高程为2.4的点A，并定出直线上个整数标高点。
中间低，外面高表 图4-20 (b)山丘 示洼地。
图4-20 ©洼地
地形的标高投影
山脊线
山谷
山脊线
鞍地
25 20 15
10 5
山峰
（一）、平面与地面的交线
求图中地面与坡度为2/3的坡面的交线。
36 35.5
解题步骤
36
a36 c36
me
35 35 36A
35
d35n
i=2/3
EC
35
35
34 D
直线的标高投影
1、直线的表示法：b)一点+坡度+方向
箭头表示 下坡方向
坡度 符号
a5
0 1 2 3 4 5m
2. 直线的坡度和平距
（1）坡度 直线上任意两点的高度差与该两点的水平距离之比，称 为该直线的坡度，用 i 表示。
i= HL=tana
H
（2）平距 当直线上两点的高度差为一个单
a3
位时，这两点间的水平距离称为该直线的平距，
如图C所示，在B、A两点间的整数标高点有高程为6、5、4、3m的四个点 F、E、D、C。
LBF = HBF / i =(6.4-6)÷1/3 = 1.2 m 同理，可求出其它各点。
方法二： 图解法
间隔为1m
b′
6.4m
e5 f6 b6.4
图d
a′ 2.4m
a2.4
c3 d4
7 6
5
4
3
2m2
H
b6.4 f6
关 如何转换 键
01234 5
坡＝度最大比平坡例度尺面线的的水平标投高影 投影
？
转换为
+整数标高点
等高线表达
平面的表达法+比例尺形式
4、坡度比例尺
3、一条一般位置线＋坡度平方面向的线最大坡度线
3 2 1 A
a5
E
b8 等高线
Pi
3 2 1
01234 5
B
坡度比例尺上的一个单位
实质为平面的平距
平面的标高投影
图b
【解】（1）作开挖线 地面高程为5m，故开挖线就是高程为5m的等高线，
它们与坑底相应的边线平行。其水平距离 L1=H/i=(5-1)÷1/1=4m
同理，L2=（5-1）÷1/1.5=6m, L3=(5-1) ÷1/2=8m。
（2）作坡面交线
（3）画示坡线 为了增加图形的明显性，在坡面上高的一侧，按坡度 线方向画出长短相间的、用细实线表示的示坡线。
34
34
b35
34
B
33
33
k1 32
33 33
32
32
31
31
31
30
1、求出图形范围内坡 面的等高线。
2、求出地面与坡面同 等高线的交点。
3、用内插法求出标高 为35.5的等高线，并求 出交点。
4、用断面法求出交线 的最高点。
5、平滑连接各交点， 得出坡面范围。（k1、
k2可用延长等高线求得）
0 1 2 3 4 5m k2
R=(2-1) ÷1/2=2m
图a
R=(2-0) ÷1/2=4m
【解】（1）作坡脚线
（2）作坡面交线
（3）画出各坡面的示坡线
L=4÷1/2=8m
例2：弯斜路面的标高投影图
三、地形图
1.地形图的表示方法 地形图用地面上的等高线
来表示
各种不同状态的地形示例
中间高，外面低表 示山丘。
图4-20 (a)
用 l 表示。
l = LH=cota
H b6 B
H 平距和坡度互为倒数，l = 1/ i
HA
直线的标高投影
2、直线的坡度和B平距：A、B两点
的高度差
i I
Aa
H
坡度的概念
A、B两点 的水平距
离
i=I/L=tga
即：i 值越大，直线越陡。
直线的标高投影
2、直线的坡度和平距：
B
B
i I
1单位 I
Aa
（二）、求直线与山地的交点
（三）、地形断面图
用铅垂面剖切地形图，画出剖切平面与地形面的截交线，形成 断面，在断面上画出地面的材料图例，即为地形断面图。
B-B
四、 工程实例
掌握了标高投影的基本原理和作图方法，就可以解决一些工程上 求作工程建筑表面交线的问题。 【例1】如图a，在河道上修筑一土坝，已知河道的地形图，土坝 的轴线位置，以及土坝的横断面图，试完成土坝的平面图。
a2.4
c3
a2.4
d4
e5
b6.4
f6
b6.4
b6.4 12m
图a
图b
图c
【解】（1）先求点A
如图b所示， HBA= （6.4-2.4）m = 4 m,
LBA=
HBA i
=
4m 1
=12 m
3
从b6.4沿箭头所示的下坡方向，按比例尺量取12m， 即得A点的标高投影
（2）求整数标高点 （方法一：数解法）
【例3】 已知大堤与小堤相交，堤顶面标高分别为3m和2m，地面标 高为0。各坡面的坡度如图a所示。求作相交两堤的标高投影图。
3.00 3.00
1:1
1:1
0.00
0 2 4m
【解】（1）求坡脚线 坡顶线到坡脚线的水平距离L=H/i=3÷1/1=3m 用同样的方法作出小堤的坡脚线。 （2）坡面交线 （3）画出示坡线
A
b0 B
c-3
a4
（a）轴测图
C
比例尺
点的标高投影
点的标高投影
A
基面
高度为零
标高 C c0
a5 0 1 2 3 4 5 m b-3
比例尺
低于基面
B
加负号
c0 a5
b -3
0 1 2 3 4 5m
一、点的标高投影
直线的标高投影
直线的标高投影 1、直线的表示法： a)两点连线
b4
c3
d3 a3
0 1 2 3 4 5m
a1
5 4 3
c2
是1否、连可接以a1、直b接6、c2， 利任的用取整整两数边标数，高点求点？出。各边
2、分别连接相同整数 标高点，得等高线。
012 34 5
【例2】如图所示，已知平面上一条高程为10的等高线，又知平面 的坡度i=1:2,求作平面上高程为9、8、7的等高线。
【解】
∵i = 1:2 ∴平距 l =1/i =2m 10
根3 据标高投影求平面交线
例1：已知平台顶面标高为3及各坡面的坡度， 求各坡面与地面及坡面间的交线。
分析
1、 与地面的交线即为：标高为0的等
高线。
2、求出各坡面与地面的交线后，各交
线的交点即为坡面间交线上的点。
L1= 2/3 * 3 =2
解题步骤
1、求各边对应的标高为0的等高线。 2、求各坡面间的交线。
坡度比例尺 ＝平面内最大斜度 线
（一）平面上的等高线
R
hhh
3 2 1
H
l
ll
（a）空间情况
平面上的等高线
(b)投影图
等高线有以下特 征：
1. 平面上的等高线 是直线；
2. 等高线彼此平 行；
3. 等高线的高差 相等时，水平 间距也相等。
二、平面的坡度比例尺
Ⅱ Ⅰ
最大斜度线 坡度比例尺
Ⅱ Ⅰ
等高线
d4 e5
P
a2.4
c3
6. 直线的相对位置
7. 两平行直线
8. 相交二直线
平面的标高投影
二个基本概念：等高线、坡度比例尺
坡度比例尺=平面的最大斜度线
平面的等高线为:一组 相互平行的水平线，其 标高投影仍相互平行。
3 2 1 A
E
等高线
标高 投影
3
2
1
B
平面倾角
坡度比例尺与等高线相 互垂直，其标高投影亦 相互垂直。
平面的表达法
5、几何元素表示法 b8
c2 a5
01234 5
平面的标高投影
例1：已知A、 B 、 C三点的标高投影，求平面ABC
的等高线。
平行于a1b6，
6
如何标确高为1的 6
5
定间基距线？。 5
4
4
3
3
2
2
分析
求出三角形任两边的整 数高程点，连接相同整 数标高点即可得等高线。
1
b6
解题步骤
5 4 3 2
一、正圆锥面
4
3
2 1
4 32 1 0
0
(a)正圆锥面的正面投影
(b)正圆锥面的标高投影
图4-16 圆锥面的标高投影
0 12 3 4
©倒圆锥面的标高投影
✓ 正圆锥面上的等高线都是同心圆，高差相等时，其水平距离也 相等。
✓ 无论正立或倒立，正圆锥面上的素线都与正圆锥面上的等高线 圆的切线相垂直，故素线就是正圆锥面的坡度线。
例4：已知一段路堤的堤顶ABCD，高度由零升到4个单位，如图a所示，两侧和 尽头的坡度已注明在图上，假设地面是标高为零的水平面，使做出路堤坡面与地 面的交线，以及坡面间的交线。
曲面和地面的标高投影
圆锥曲面的标高投影
曲面的标高投影
在标高投影中，用一系列水平面来截曲面，画出这些截交线的 标高投影，就是曲面的标高投影。
【例1】在高程为4m的地面上，修筑一高程为8m的平台，台顶形状 及边坡的坡度如图所示，求其坡脚线和坡面交线。
半经差 L=H/i=(87) ÷1/0.8=0.8m
二、同坡曲面 如图a所示，两侧边坡曲面上任何地方
的坡度都相同，这种曲面称为同坡曲面。
从图b中可以看出，同坡曲面上的 等高线与各正圆锥面上的等高线一定 相切。其切点在同坡曲面与各正圆锥 面的切线上。