2015年高考文科数学全国卷1及答案解析

2015年⾼考⽂科数学全国卷1及答案解析
数学试卷第1页（共15页）
数学试卷第2页（共15页）
数学试卷第3页（共15页）
绝密★启⽤前
2015年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试(全国新课标卷1)
数学（⽂科）
使⽤地区：河南、⼭西、河北、江西
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有
⼀项是符合题⽬要求的.
1．已知集合{|}32,A x x n n ==+∈N ,{6,8,10,12,14}B =,则集合A B 中元素的个数为
（）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
2．已知点0,1A （），3,2B （），向量AC =43--（，）
，则向量BC =
（）
A （-7，-4）
B ．（7，4）
C ．（-1，4）
D ．（1，4） 3．已知复数z 满⾜（z -1）i=1+i ，则z=
（）
A ．-2-i
B ．-2+i
C ．2-i
D ．2+i
4．如果3个正整数可作为⼀个直⾓三⾓形三条边的边长，则称这3个数为⼀组勾股数.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成⼀组勾股数的概率为
（）
A ．3
10
C ．110
D ．1
20
5．已知椭圆E 的中⼼在坐标原点，离⼼率为1
2
，E 的右焦点与抛物线28C y x =：的焦点重
合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=
（）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委⽶依垣
内⾓，下周⼋尺，⾼五尺.问:积及为⽶⼏何?”其意思为:“在屋内墙⾓处堆放⽶(如图，
⽶堆为⼀个圆锥的四分之⼀)，⽶堆底部的弧长为8尺，⽶堆的⾼为5尺，问⽶堆的体积和堆放的⽶各为多少?”已知1斛⽶的体积约为1.62⽴⽅尺，圆周率约为3，估算出堆放的⽶约有
（）
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛
7．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为n {}a 的前n 项和.若844S S =，则10a = （） A ．
17
2
B ．
192
C ．10
D ．12
8．函数=cos(+)x f x ω?（）的部分图象如图所⽰，则f x （）的单调递减区间为（）
A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,
B ．13
2π,2π+44k k k -∈Z （）, C ．13
,+44
k k k -∈Z （）,
D ．13
k k k -∈Z （）,
9．执⾏如图所⽰的程序框图，如果输⼊的0.01t =，则输出的n = （）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
10．已知函数1222, 1,
()log (1), 1,x x f x x x -?-=?-+?
≤＞且()3f a =-，则(6)f a -= （）
A ．74-
B ．54-
C ．34-
D ．14
-
11．圆柱被⼀个平⾯截去⼀部分后与半球(半径为r )组成⼀个⼏何体，该⼏何体三视图中的正视图和俯视图如图所⽰.若该⼏何体的表⾯积为16π20＋，则r = （）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
12．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，且(2)(4)
f f -+-1=，则a =
（）
A ．1-
B ．1
C ．2
D ．4
--------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
⽆--------------------
效----------------
姓名________________ 准考证号_____________
数学试卷第4页（共15页）
数学试卷第5页（共15页）
数学试卷第6页（共15页）
第Ⅱ卷（⾮选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考⽣都必须作答，第22～24题为选考题，考⽣根据要求作答.
⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．在数列{}n a 中12a =，12n n a a +=，n S
为{}n a 的前n 项和.若126n S =，则n =_____.
14．已知函数31f x ax x =++（）的图象在点1,1f (())处的切线过点(2,7)，则a =
_____. 15．若x ，y 满⾜约束条件20,210,220,x y x y x y +-??
-+??-+?
≤≤≥则z 3x y =+的最⼤值为_____.
16．已知F 是双曲线2
218
y
C x -
=：的右焦点，
P 是C
的左⽀上⼀点，A （.当APF △周长最⼩时，该三⾓形的⾯积为_____.
三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本⼩题满分12分）
已知a ，b ，c 分别是ABC △内⾓A ，B ，C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （Ⅰ）若a b =，求cos B ；（Ⅱ）若B =90°
，且a ABC △的⾯积. 18．（本⼩题满分12分）
如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平⾯. （Ⅰ）证明：平⾯AEC ⊥平⾯BED ；
（Ⅱ）若ABC ∠=120°，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -
，求该三棱锥的侧⾯积.
19．（本⼩题满分12分）
某公司为确定下⼀年度投⼊某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下⾯的散点图及⼀些统计量的值.
表中i ωω=
8
i
i=1
ω
∑
（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c =＋y 关于年宣传费x 的回归⽅程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建⽴y 关于x 的回归⽅程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最⼤？
附：对于⼀组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最⼩⼆乘估计分别为1
2
1
()()
,()n
i
i i n
i
i u
u v v v u u
u βαβ==--=
=--∑∑.
20．（本⼩题满分12分）
已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆22 ()2(3)1
C x y -+-=：
交于M ，N 两点. （Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）若12OM ON ?=，其中O 为坐标原点，求||MN . 21．（本⼩题满分12分）
设函数()2ln x f x e a x =-.
（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（Ⅱ）证明：当0a >时，()22ln f x a a a
+≥.
请考⽣在第22～24三题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题计分. 22．（本⼩题满分10分）选修4—1：⼏何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）若OA CE ，求∠ACB 的⼤⼩.
23．（本⼩题满分10分）选修4—4：坐标系与参数⽅程
在直⾓坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标⽅程；
（Ⅱ）若直线3C 的极坐标⽅程为()π
4
θρ=
∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的⾯积.
24．（本⼩题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数12f x =|||x |x a --+（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集；（Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三⾓形⾯积⼤于6，求a 的取值范围.
数学试卷第7页（共15页）
数学试卷第8页（共15页）
数学试卷第9页（共15页）
2015年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（全国新课标卷1）
数学（⽂科）答案解析
第Ⅰ卷
{8,14A B =【答案】A 【解析】
(3,1)AB OB OA =-=(7,BC AC AB ∴=-=-【考点】向量运算【答案】C
【解析】抛物线，1e 2c a ==代⼊椭圆E 【解析】
公差【解析】()f a =-1a >时，-第Ⅱ卷
】
12a =，2)1262
n -=-
数学试卷第10页（共15页）
数学试卷第11页（共15页）
数学试卷第12页（共15页）
【解析】
()3f x '=，⼜
(1)f a =(1,2)a +，切线过
为4.
(0,66)A ∴直线
90，由勾股定理得120，可得3
624AC GD BE x 3，EAD △的⾯积与ACD c y dw ∴=-576.6z =?0.2(100.6z =时，z
数学试卷第13页（共15页）
数学试卷第14页（共15页）
数学试卷第15页（共15页）
12OM ON x x =2
(1)
8=121k k
+++的⼀元⼆次⽅程，利⽤平⾯向量数量积的坐标公式及12OM ON =，90ACB ∠+，90，90∴∠，DE ∴.
AE x =，由已知得AB =2x -，由射影定理可得，
AE
CE BE =，2
12x x ∴=-3x =60ACB ∴∠=.
90，即90∠，
CE BE ，列出关于【考点】圆的切线判定与性质，圆周⾓定理，直⾓三⾓形射影定理1 452
=.。