2018-2019学年高二数学选修2-3学业测评：2.3.2 事件的独立性

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合
格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均
合格的概率为(假设三项标准互不影响)________．
【解析】 该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.
【答案】 190
2．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p 和q ，则恰有一株成活的概率为________. 【导学号：29440048】
【解析】 由于两株花卉成活与否互不影响，故恰有一株成活的概率为p (1－q )＋q (1－p )＝p ＋q －2pq .
【答案】 p ＋q －2pq
3．如图2-3-2所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是________．
图2-3-2
【解析】 左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46＝23，右边圆盘指针落在奇
数区域的概率为23，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.
【答案】 49
4．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．
【解析】 由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34.在这
个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为512×712×34＝35192.
【答案】 35192
5．从某地区的儿童中预选体操学员，已知这些儿童体型合格的概率为15，身
体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是
______．(假定体型与身体结构合格与否相互之间没有影响)
【解析】 这两项都不合格的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－14＝35，所以至少有一项合格的概率是1－35＝25.
【答案】 25
6．如图2-3-3，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为________．
图2-3-3
【解析】 可知K ，A 1，A 2三类元件是否正常工作相互独立，所以A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为1－(1－0.8)2＝0.96，
所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.
【答案】 0.864
7．(2016·济南高二检测)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．
【解析】从甲袋中任取一球是白球的概率为8
12
＝2
3
，是红球的概率为4
12
＝1
3
；
从乙袋中任取一球是白球的概率为6
12＝1
2
，是红球的概率为6
12
＝1
2
，故所求事件的
概率为2
3×1
2
＋1
3×
1
2
＝1
2.
【答案】1 2
8．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________．
【解析】设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为A，B，C，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1，至少两颗预报准确的事件有AB C，A B C，A BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．
∴至少两颗预报准确的概率为
P＝P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＋P(ABC)
＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9
＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.
【答案】0.902
二、解答题
9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
【解】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险；
C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；
D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；
E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买．
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.
10．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布列．【解】设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游览的景点数可能取值为0,1,2,3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3,2,1,0，所以ξ的可能取值为1,3.
则P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)
＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(A1)·P(A2)·P(A3)
＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.
P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.
所以分布列为：
1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是________．
【解析】 ∵P (A )＝12，P (B )＝16，
∴P (A )＝12，P (B )＝56.
又A ，B 为相互独立事件，
∴P (A B )＝P (A )P (B )＝12×56＝512.
∴A ，B 中至少有一件发生的概率为
1－P (A B )＝1－512＝712.
【答案】 712
2．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图2-3-4所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是________. 【导学号：29440049】
图2-3-4
【解析】 由已知逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13.则逆
时针跳三次停在A 上的概率为P 1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A 上的概率
为P 2＝13×13×13＝127.通过分析跳三次停在A 荷叶上只有这两种情况，所以跳三次
之后停在A 上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.
【答案】 13
3．设每门高射炮命中飞机的概率为0.6，今有一架飞机来犯，问需要________门高射炮射击，才能至少有99%的概率击中它．(lg 2＝0.301)
【解析】设需要n门高射炮才可达到目的，用A表示“命中飞机”，用A i表示“第i门高射炮命中飞机”，则A1，A2，…，A n相互独立，且A＝A1A2…A n.
∴P(A)＝1－P(A)＝1－P(A1)P(A2)…P(A n)＝1－(1－0.6)n，
由P(A)≥0.99，所以1－0.4n≥0.99，所以n≥5.02，
又n∈N，故n＝6.
【答案】 6
4．在一个选拔项目中，每个选手都要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、
三、四轮问题的概率分别为5
6，
4
5，
3
4，
1
3，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；
(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的概率分布．
【解】设事件A i(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已
知P(A1)＝5
6，P(A2)＝4
5
，P(A3)＝3
4
，P(A4)＝1
3.
(1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P(B)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)
＝5 6×4
5×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－
3
4
＝1
6.
(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则P(C)＝P(A1＋A1A2＋A1A2A3)
＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1A2A3)
＝1 6＋5
6×
1
5
＋5
6×
4
5×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－
3
4
＝1
2.
(3)X的可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝P(A1)＝1 6，
P(X＝2)＝P(A1A2)＝5
6×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－
4
5
＝1
6
，
P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝5
6×
4
5×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－
3
4
＝1
6
，
P(X＝4)＝P(A1A2A3)＝5
6×
4
5×
3
4
＝1
2
，
所以，X的概率分布为。