山东省聊城市“四县六校”2012-2013学年高二下学期期末联考 理科数学试题 Word版含答案.pdf

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山东省聊城市“四县六校”2012-2013学年下学期高二期末联考理科数学试题
考试时间：120分钟；
题号一二三总分得分注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人
得分
一、选择题1．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（　）
的前项和为，若，，则等于（ ）
Ａ．12Ｂ．18Ｃ．24Ｄ．42
3．如图，要测出山上石油钻井的井架的高，从山脚测得m， 塔顶的仰角，塔底的仰角，则井架的高为（ ） A．m B．m C．m D．m
4．若，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
5．已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．已知直线与,给出如下结论：
①不论为何值时,与都互相垂直;
②当变化时, 与分别经过定点A(0,1)和B(-1,0);
③不论为何值时, 与都关于直线对称;
④当变化时, 与的交点轨迹是以AB为直径的圆(除去原点).
其中正确的结论有（ ）.
A．①③B．①②④Ｃ．①③④Ｄ．①②③④
7．奇函数上为增函数,且,则不等式的解集为( ).
A
B.
C
D
8．如图,是正方形ABCD的内接三角形,若,则点C分线段BE所成的比为( ).
A. B.
C. D.
9．对于函数,下列说法正确的是( ).
A.的值域是
B.当且仅当时,取得最小值-1
C.的最小正周期是
D.当且仅当时,
10．已知角α的终边上一点的坐标为(，－)，则角α的正弦值为( )
A．－ B. C．－ D.
11．的值为( )
A. B．－ C. D．－
12．为了得到函数y＝2sin2x的图象，可将函数y＝4sin·cos的图象( )
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
第II卷（非选择题）
评卷人
得分
二、填空题13．下列命题：
①中，若,则；
②若A，B，C为的三个内角，则的最小值为
③已知，则数列中的最小项为；
④若函数，且，则；
⑤函数的最小值为.
其中所有正确命题的序号是
且，，则
15．数列的首项为,前n项和为 ,若成等差数列,则
16．若θ角的终边与的终边相同，则在[0,2π]内终边与角的终边相同的角是_____．
评卷人
得分
三、解答题17．在中，内角、、的对边分别为、、,已知、、成等比数列，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设,求、的值.
18．已知定点，，动点到定点距离与到定点的距离的比值是.
（Ⅰ）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（Ⅱ）当时，记动点的轨迹为曲线.
①若是圆上任意一点，过作曲线的切线，切点是，求的取值范围；
②已知，是曲线上不同的两点，对于定点，有.试问无论，两点的位置怎样，直线能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由.
19．数列满足,且.
（1）求
（2）是否存在实数t,使得,且{}为等差数列?若存在,求出t的值;若不存在，说明理由.
20．已知某海滨浴场的海浪高达y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据.
t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数
y＝Acosωt＋b.
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？
21．设函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求ω的值；
(2)如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值．
22．设定义在上的函数,满足当时, ,且对任意,有,
（1）解不等式
（2）解方程
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A
若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；
若俯视图为，则正视图中应有虚线，故该几何体的俯视图不可能是
若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为；
故选
考点：三视图
点评：简单题，三视图问题，关键是理解三视图的画法规则，应用“长对正，高平齐，宽相等”，确定数据。

2．C
【解析】
试题分析：因为，在等差数列中，成等差数列。

，，
所以，由，解得，=24，故选C。

考点：等差数列的求和公式
点评：简单题，在等差数列中，成等差数列。

多掌握些“小结论”，有助于灵活解题。

3．B
【解析】
试题分析：依题意，在三角形ABC中，，角B=45°，角BAC=45°-15°=30°，
所以由正弦定理得，，故选B。

考点：正弦定理的应用
点评：简单题，利用三角形内角关系，确定角创造了应用正弦定理的条件。

4．D
【解析】
试题分析：画出可行域及直线，平移直线，当直线经过点A（3，－3）时，直线的纵截距最小，所以，取得最大值9，选D。

考点：简单线性规划问题
点评：简单题，简单线性规划问题，解答步骤是“画，移，解，答”。

本题中y的系数为负数，应特别注意平移的方向。

5．D
【解析】
试题分析：在等差数列中，若则。

因为，两个等差数列和的前项和分别为A和，且，
所以，=，
为使为整数，须n+1为2，3，4，6，12，共5个，故选D。

考点：等差数列的性质，等差数列的求和公式。

点评：中档题，在等差数列中，若则。

本题较为典型。

6．B
【解析】
试题分析：与互相垂直的条件是，a×1+1×(-a)=0，所以，①正确；
由直线系方程，知，②当变化时, 与分别经过定点A(0,1)和B(-1,0)，正确；
当时，由，两方程消去a，
并整理得，，即，表示以AB为直径的圆(除去原点)，结合选项可知选B。

考点：直线系方程，圆的方程。

点评：中档题，本题综合性较强，较全面考查了两直线的位置关系，直线系的概念以及圆的方程。

7．C
【解析】
试题分析：因为，奇函数上为增函数,
所以当
时；
故选C。

考点：函数的奇偶性、单调性
点评：简单题，此类问题往往借助于函数图像分析。

奇函数的图象关于原点成中心对称。

8．B
【解析】
试题分析：设，
则，
,,,
解得，所以
故选B。

考点：平面向量的应用
点评：简单题，平面向量在平面几何中的应用，一般借助于图形，发现向量之间的关系，利用向量的线性运算，加
以解答。

9．D
【解析】
试题分析：本题给出的函数可以描述为中取较小的值。

可以先大致画出题目中的函数图象，
如图：图中的细线分别是的图象，
粗线为的图像。

从图象中可以判断D正确。

下边说明各个选项：A中1包含于值域之内，则在至少有一个为1，并且是较小的那个。

令这与其取法矛盾，A错误。

B中,
这与题面“当且仅当”冲突。

B错误。

C中，若题面正确，则有
而,所以题面错误。

D中，，此时x在第一象限，选D。

考点：三角函数的图象和性质
点评：中档题，正确理解函数的意义，画出的图象，是解题的关键。

10．A
【解析】
试题分析：因为，角α的终边上一点的坐标为(，－)，所以，r=，=－，选A。

考点：三角函数的定义
点评：简单题，角终边上一点P的坐标（x，y）,r=|OP|=，则.
11．C
【解析】
试题分析：=，选C。

考点：两角和差的正切公式
点评：简单题，通过“1”的代换，创造应用公式的条件，是常见变形技巧。

12．C
【解析】
试题分析：因为，y＝4sin·cos=，所以，为了得到函数y＝2sin2x的图象，
只需将y＝4sin·cos=向右平移个单位，故选C。

考点：二倍角的正弦，三角函数图象的变换。

点评：小综合题，为研究三角函数的图象和性质，往往利用三角公式首先化简。

函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”。

13．②③
【解析】
试题分析：①△ABC中，若A＜B，则a＜b，由正弦定理
得0＜sinA＜sinB，又cos2A=1-2sin2A，cos2B=1-2sin2B，
所以cos2A＞cos2B，错误．
因为A+B+C=π，α=A，β=B+C，α+β=π
所以=1，
原式等价=，
当且仅当，即α=2β时取等号．所以正确．
因为=2+，因为1≤≤3，
所以设t=，则1≤t≤3．因为函数y=t+-2在区间（0，4）上单调递减，所以在[1，3]上单调递减，当t=3时，函数有最小值3+-2=，则对应数列{an}中的最小项为，所以正确．
令g（x）=，则函数g（x）的几何意义为曲线上点与原点连线斜率的大小．由题意可知分别看作函数
f（x）=log2（x+1）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））与原点连线的斜率，由图象可知
，，所以错误．
，点P（x，0）A（1，2），B（2，3）原式等价为|PA|+|PB|的最小值，找出点A关于x轴的对称点D（1，-2）．
则|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|PD|，所以最小值为|PD|=．
所以错误．故答案为：．
考点：正弦定理的应用，均值定理的应用，对号函数的性质，对数函数的图象和性质。

点评：难题，本题综合性较强，难度较大
14．
【解析】
试题分析：因为，，，
，
故答案为
考点：和与差的三角函数，三角函数的同角公式。

点评：中档题，应用两角和与差的三角函数公式时，变角是常用技巧。

如等。

15．
【解析】
试题分析：分别以代入原式，可以得到数列的一个递推关系式，进而得到通项公式的结果。

所以，所以这是一个以2为公比的等比数列。

把1代入，得，，得到通项公式为.
考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式。

点评：中档题，当给定数列的关系时，通过“赋值”，进一步确定数列的特征，是常用的手段之一
16．，，，.
【解析】
试题分析：依题意，=2kπ+，k∈z，
∴，k∈z，
又∈[0，2π]，
∴k=0，=；
k=1，α=；
k=2，α=；
k=3，α=．
故答案为：，，，.
考点：终边相同的角
点评：简单题，与角终边相同的角的集合为。

对指定范围的角，只需指定k的值。

17．（Ⅰ）.（Ⅱ）或.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）、、成等比数列,， 2分
6分
,即,而，
所以①， 8分
,，② 10分
或 12分
点评：中档题，本题综合性较强，综合考查等比中项，平面向量的数量积，两角和与差的三角函数，正弦定理、余弦定理的应用。

思路比较明确，难度不大。

18．（Ⅰ），
方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆.
（Ⅱ）当时，曲线的方程是，曲线表示圆，圆心是，半径是.
①.
②动直线与定圆相切.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设动点的坐标为，则由，得，
整理得: .
，
当时，则方程可化为：，故方程表示的曲线是线段的垂直平分线；
当时，则方程可化为，
即方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆. 5分
（Ⅱ）当时，曲线的方程是，
故曲线表示圆，圆心是，半径是.
①由，及有：
两圆内含，且圆在圆内部.如图所示，由有: ,故求的取值范围就是求的取值范围.而是定点，是圆上的动点，故过作圆的直径，得，，故，. 9分
②设点到直线的距离为，，
则由面积相等得到，且圆的半径.
即于是顶点 到动直线的距离为定值，
即动直线与定圆相切.
考点：圆的方程，圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系。

点评：难题，本题确定轨迹方程，利用了“直接法”，对于参数的讨论，易出现遗漏现象。

本题确定点到直线的距离，转化成面积计算，不易想到。

19．（1），。

（2），，。

【解析】
试题分析：（1）
（2）设存在t满足条件，则由为等差，设
求的通项公式.
分析：可以直接使用2的结论简化计算。

解答：
在（2）中，，
，。

考点：数列的递推公式，等差数列的通项公式。

点评：中档题，对于存在性问题，往往需要先假定存在，利用已知条件探求得到假设，从而肯定存在性。

本题首先假设出公差d和t，通过构造、变换已知等式，又经过对比，得到公差d和t。

20．(1) y＝cost＋1.
(2)在规定时间上午8：00至晚上2：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.
【解析】
试题分析：(1)由表中数据，知周期T＝12，
∵ω＝＝＝.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.
∴A＝0.5，b＝1，∴振幅为，
∴y＝cost＋1.
(2)由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放．
∴cost＋1>1，∴cost>0.
∴2kπ－<t<2kπ＋，
即12k－3<t<12k＋3.
∵0≤t≤24，故可令k分别为0、1、2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24.
∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.
考点：函数模型，三角函数的图象和性质。

点评：中档题，作为一道实际应用问题，首先应“审清题意，明确函数模型，解答数学问题”。

余弦形函数的图像和性质，可类比正弦型函数的图象和性质加以研究。

本题与不等式解法相结合，注意将数字转化成时刻。

21．(1)ω＝.(2) a＝.
【解析】
试题分析：(1)f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＋＋a
＝sin＋＋a.
依题意得2ω·＋＝，解得ω＝.
(2)由(1)知，f(x)＝sin＋＋a.
又当x∈时，x＋∈，
故≤sin≤1，
从而f(x)在上取得最小值＋＋a.
由题设知＋＋a＝，故a＝.
考点：和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质。

点评：中档题，本题较为典型，即首先利用和差倍半的三角函数公式，将三角函数式“化一”，进一步研究函数的图像和性质。

本题（2）给定了自变量的较小范围，应注意确定的范围，进一步确定函数的最值。

22．(1)先证,且单调递增，；(2) .
【解析】
试题分析：(1)先证,且单调递增，
因为,时,
所以.
又，
假设存在某个，使，
则与已知矛盾，故
任取且,则,,
所以===.
所以时,为增函数. 解得:
(2),, ,原方程可化为:,
解得或（舍)
考点：函数的奇偶性、单调性，抽象函数、抽象不等式的解法，“赋值法”。

点评：难题，涉及抽象不等式解法问题，往往利用函数的奇偶性、单调性，将抽象问题转化成具体不等式组求解，要注意函数的定义域。

抽象函数问题，往往利用“赋值法”，通过给自变量“赋值”，发现结论，应用于解题。

本题较难，构造结构形式，应用已知条件，是解答本题的一大难点。

2
y
x
N
M
E
·
O
D
·
·。