全国卷6年数列高考题整理汇总(附答案)

数列专题
高考真题
(2014·I) 17. (本小题满分12分)
已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n−1，其中λ为常数.
（Ⅰ）证明：a n+2−a n=λ；
（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由.
(2014·II) 17.（本小题满分12分）
已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1.
（Ⅰ）证明{a n+1
2
}是等比数列，并求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：1
a1+1
a2
+⋯+1
a n
<3
2
.
(2015·I)（17）（本小题满分12分）
S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0,a n2+2a n=4S n+3，
（Ⅰ）求{a n}的通项公式：
（Ⅱ）设b n=1
a n a n+1
,求数列{b n}的前n项和。

(2015·I I)（4）等比数列{a n}满足a1=3， =21，则 ( )（A）21 （B）42 （C）63 （D）84
(2015·I I)（16）设
是数列
的前n 项和，且
，
，则
________．
(2016·I)（3）已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10=8，则a 100=
（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97
(2016·I)（15）设等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则 a 1a 2…a n 的最大值为__________。

(2016·II)（17）（本题满分12分）
S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1 ，S 7=28 记b n =[log a n ]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9] = 0，[lg 99]=1.
（I ）求b 1，b 11，b 101；
（II ）求数列{b n }的前1 000项和.
(2016·III)（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1,a 2,⋯,a k 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有
（A ）18个
（B ）16个
（C ）14个
（D ）12个
(2016·III)（17）（本小题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ，其中λ≠0 （I ）证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；
（II ）若S n =3132
，求λ.
(2017·I)4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
(2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。

为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列
1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是0
2，接下来的两项是0
1
2,2，再
接下来的三项是0
1
2
2,2,2，依此类推。

求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂。

那么该款软件的激活码是
A ．440
B ．330
C ．220
D ．110
n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a
(2017·I I)15. 等差数列{}n a 的前项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑ ． (2017·I II)9．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2,a 3,a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为
A ．-24
B ．-3
C ．3
D ．8
(2017·I II)14．设等比数列{a n }满足a 1+a 2=−1, a 1−a 3=−3，则a 4=________． (2018·I)4．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5=
A ．−12
B ．−10
C ．10
D ．12
(2018·I)14．记为数列的前项和.若，则_____________． (2018·II)17．（12分）
记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． (2018·III)17．（12分）
等比数列中，． （1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
(2019·I)9．记为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4=0，a 5=5，则
A ．a n =2n −5
B ． a n =3n −10
C ．S n =2n 2−8n
D ．S n =1
2n 2−2n
(2019·I) 14．记为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1=1
3，a 42
=a 6，则S 5=____________．
(2019·II)5．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
(2019·II)14．记为等差数列{a n }的前n 项和，a 1≠0，a 2=3a 1，则S 10S 5
=___________.
(2019·III)19．（12分）
已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，4a n+1=3a n −b n +4，4b n+1=3b n −a n −4 （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n −b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.
n S {}n a n 21n n S a =+6S =n S {}n a n 17a =-315S =-{}n a n S n S {}n a 15314a a a ==，{}n a n S {}n a n 63m S =m n S n S n S
数列专题
参考答案
(2014·I) 17.
（Ⅰ）由题设，a n a n+1=λS n−1,a n+1a n+2=λS n+1−1
两式相减得a n+1(a n+2−a n)=λa n+1，
由于a n+1≠0，∴a n+2−a n=λ………………………………………6分（Ⅱ）a1a2=λS1−1=λa1−1，而a1=1，解得a2=λ−1，
由（Ⅰ）知a3=λ+a2
令2a2=a1+a3，解得λ=4。

故a n+2−a n=4，由此可得
{a2n−1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n−1=4n−3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n=4n−1。

所以a n=2n−1，a n+1−a n=2
因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列。

…………………………………12分(2014·II) 17.
（Ⅰ）证明：由a n+1=3a n+1得a n+1+1
2=3(a n+1
2
)
又a1+1
2=3
2
，所以{a n+1
2
}是首项为3
2
，公比为3的等比数列
a n+1
2=3n
2
，因此{a n}的通项公式为a n=3n−1
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1
a n =2
3n−1
因为当n≥1时，3n−1≥2×3n−1，所以1
3n−1≤1
2×3n−1
于是1
a1+1
a2
+1
a3
+⋯+1
a n
<1+1
31
+1
32
+⋯+1
3n−1
=1−
1
3n
1−1
3
=3
2
（1−1
3n
）<3
2
所以1
a1+1
a2
+1
a3
+⋯+1
a n
<3
2
(2015·I)（17）解：
（Ⅰ）由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+1
2+2a n+1=4S n+1+3可得a n+1
2−a n2+2(a n+1−a n)=4a n+1，即
2(a n+1+a n)=a n+1
2−a n2=(a n+1+a n)(a n+1−a n)
由于a n>0，可得a n+1−a n=2
又a12+2a1=4a1+3，解得a1=−1（舍去），a1=3
所以{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n=2n+1…………………6分（Ⅱ）由a n=2n+1可知
b n=
1
a n a n+1
=
1
(2n+1)(2n+3)
=
1
2
(
1
2n+1
−
1
2n+3
)
设数列{b n}的前n项和为T n，则
T n=b1+b2+...+b n
=1
2
[(
1
3
−
1
5
)+(
1
5
−
1
7
)+...+(
1
2n+1
−
1
2n+3
)]
=n
3(2n+3)
…………………………………………………………………………12分
(2016·II)17.
（Ⅰ）先求公差、通项，再根据已知条件求；（Ⅱ）用分段函数表示，再由等差数列的前项和公式求数列的前1 000项和．
试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得
所以的通项公式为
（Ⅱ）因为
所以数列的前项和为
考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算.
(2016·III)（17）
解：（Ⅰ）由题意得a1=S1=1+λa1，故λ≠1，a1=1
1−λ
，a1≠0.
由S n=1+λa n，S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1−λa n，即a n+1(λ−1)=λa n.由a1≠0，λ≠0得a n≠0，
所以
a n+1a n
=
λ
λ−1
.
因此{a n }是首项为
11−λ
，公比为
λ
λ−1
的等比数列，于是a n =
1
1−λ(
λ
λ−1
)n−1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得S n =1−(λ
λ−1
)n ，由S 5=
3132
得1−(
λ
λ−1
)5=3132
，即=-5)1
(
λλ
1
32， 解得λ=−1．
(2018·II)17．
（1）设的公差为d ，由题意得． 由得d =2．
所以的通项公式为．
（2）由（1）得．
所以当n =4时，取得最小值，最小值为−16． (2018·III)17.
解：（1）设的公比为，由题设得.
由已知得，解得（舍去），或.
故或.
（2）若，则.由得，此方程没有正整数解.
若，则.由得，解得.
综上，. (2019·III)19.
解：（1）由题设得4(a n+1+b n+1)=2(a n +b n )，即a n+1+b n+1=1
2(a n +b n )． 又因为a 1+b 1=l ，所以{a n +b n }是首项为1，公比为1
2的等比数列．
由题设得4(a n+1−b n+1)=4(a n −b n )+8，即a n+1−b n+1=a n −b n +2． 又因为a 1–b 1=l ，所以{a n −b n }是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，a n +b n =1
2，a n −b n =2n −1． 所以a n =1
2
[(a n +b n )+(a n −b n )]=
12
n +n −12
，
b n =1
2[(a n +b n )−(a n −b n )]=1
2n −n +1
2．
{}n a 13315a d +=-17a =-{}n a 29n a n =-22
8(4)16n S n n n =-=--n S {}n a q 1
n n a q -=42
4q q =0q =2q =-2q =1(2)n n a -=-12n n a -=1
(2)
n n a -=-1(2)3
n n S --=63m S =(2)188m
-=-12n n a -=21n
n S =-63m S =264m =6m =6m =。