量子力学复习提纲

量⼦⼒学复习提纲
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2010级材料物理专业《量⼦⼒学》复习提纲
要点之⼀
1. 19世纪末到20世纪初，经典物理学在解释⿊体辐射、光电效应、原⼦的光谱线系和固体的低温⽐热等实验结果时遇到了严重的困难，揭露经典物理学的局限性。

2. 普朗克提出“ 能量⼦ ”（内容是能量单位hv?）的假设，解决了⿊体辐射问题；爱因斯坦在普朗克“ 能量⼦ ”假设的启发下，提出了“光量⼦” （内容是以速度c 在空间运动的粒⼦?）的假设，成功解释了光电效应现象。

爱因斯坦的的光量⼦理论1924年被康普顿效应（内容是散射光中除了有原波长λ0的x 光外，还产⽣了波长λ>λ0 的x 光，其波长的增量随散射⾓的不同⽽变化。

这种现象称为康普顿效应(Compton Effect)?）证实，被物理学界接受。

3. 德布罗意在光的波粒⼆象性的启⽰下，提出⼀切微观粒⼦（原⼦、电⼦、质⼦等）也具有波粒⼆象性的假说，在⼀定条件下，表现出粒⼦性，在另⼀些条件下体现出波动性。

德布罗意的假说的正确性，在1927年为戴维孙（Davission ）和⾰末（Germer ）所做的电⼦衍射实验所证实。

4. 描述光的粒⼦性的能量E 和动量P
与描述其波动性的频率ν
波⽮K
由 Planck- Einstein ⽅程联系起来，即：ων ==h E （其中的各物理量的意义？）。

5. 描述微观粒⼦（如原⼦、电⼦、质⼦等）粒⼦性的物理量为能量E 和动量P
，描述其波动性的物理量为频率ν（或⾓频率ω）和波长λ，它们间的关系可⽤德布罗意关系式表⽰，即：ων ==h E
（其中的各物理量的意义）；。

7. 正⽐例，即描写粒⼦的波可认为是⼏率波，反映了微观粒⼦运动的统计规律。

8. 波函数在全空间每⼀点应满⾜单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。

8. 通常将在⽆穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表⽰为
)(0*
n m dx n m ≠=?ψψ。

9. 设G ??和F
的对易关系为k i G F ，且G G G F F F -=?-=,??，则G ??和F 的
和G ?不能同时测定。

10. 当体系处于定态时，则体系有：1）能量有确定值；2）粒⼦在空间⼏率密度
与时间⽆关；3）⼏率流密度与时间⽆关。

11. 粒⼦在⼀维⽆限深势阱中的定态解可表⽰为：
.......,3,2,1,)(2sin 1)(=+==ψ--n e a x a n a
e
x t E i
t E i n n n n
π
ψ，当n 为奇数时，
波函数具有偶宇称，当n 为偶数时，波函数具有奇宇称。

12. 在点电荷的库仑场中运动的电⼦，其处于束缚态的波函数可表⽰成：),()(),,(?θ?θψlm nl nlm Y r R r =，其中，主量⼦数n =1，2，3，…，⾓量⼦数l =0，
1，2，….，n -1，磁量⼦数m=0，±1，±2，….，±l 。

),,(?θψr nlm
是算符H
、2L ?和z L ?共同本征函数，当电⼦处于该波函数描述的状态时，⼒学量H 、2L 和z L 可以同时测得，体系2
24
22 n e Z E s n µ-
=， L 2=2)1( +l l ，L z = m 。

13. ⾓动量算符2L ?和z
L ?对易，即0],?[2=z L L ，因此它们有共同的本征函数完备系)},({?θlm Y 。

在
),(?θlm Y 描述的状态中，⼒学量2L 和L 可以同时测得，
L 2=2)1( +l l ，L z = m ，此时总磁矩（沿z 轴⽅向）M z 14. 电⼦在点电荷的库仑场中运动，其处于束缚态的第n 只与n 有关，⽽与l 、m ⽆关，是 n 2 度简并的；若n = 2 时，对应E 2的波函数有 ),,(200?θψr 、
),,(210?θψr 、),,(211?θψr 和),,(121?θψr -。

⽽在⾮点电荷的库仑场中运动的电
⼦，如 Li ，Na ，K 等碱⾦属原⼦中最外层价电⼦是在由核和内壳层电⼦所产⽣的有⼼⼒场中运动，这个场不再是点电荷的库仑场，因此价电⼦的能级由主量⼦数n 和⾓量⼦数l 决定，仅对m 简并。

15. 两个算符F ?与G ?有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两
个⼒学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表⽰的⼒学量同时有确定值。

16. 选定⼀个特定Q 表象，就相当于在Hilbert 空间中选定⼀个特定的坐标系，
⼒学量算符Q
的正交归⼀完备函数系{)(x u n }构成Hilbert 空间中的⼀组正交归⼀完备基底。

任意态⽮量),(t x ψ在Q 表象中的表⽰是⼀列矩阵，矩阵元)(t a n 是
态⽮量),(t x ψ在Q
17. 选定⼒学量Q 表象，Q ?算符的正交归⼀的本征函数完备系记为)}({x u n
，⼀?是⼀个矩阵F =（F mn ），其矩阵元为：
，对⾓矩阵元为实数。

⼀⼒学量算符F
18. 在坐标表象中，x x =?，x p ?=x ?=x p ?
p x 。

19. 若⼒学量算符F
不显含时间t ，且与哈⽶顿算符H ?对易，⼒学量F ?的平均值F 不随时间⽽变化，则称F
为运动积分，或在运动中守恒。

20. 动量算符P ?、y
P ?、z P ? 彼此对易，它们有共同的本征函数完备系：
x P ?、y
P ?、z P ?同时具有确定的值。

要点之⼆
1. 态叠加原理：若ψ1，ψ2， , ψn 是粒⼦的可能状态，则粒⼦也可处在它们的线性迭加态ψ=c 1ψ1+c 2ψ2+….+ c n ψn ；当体系处于ψ态时，发现体系处于ψk 态的⼏率是2k c （k=1，2，3，），并且12
=∑k
k
c 。

2. 隧道效应：粒⼦能够穿透⽐它动能更⾼的势垒的现象称为隧道效应。

它是粒⼦具有波动性的⽣动表现。

只有当粒⼦的质量和势垒宽度⽐较⼩时，这种效应才显著。

3. 厄密算符：若算符F 满⾜ dx F dx F φψφψ**)(??=
，则算符F 称为厄密算
符，其性质是厄密算符的本征值必为实数，因此量⼦⼒学的⼒学量算符都是厄密算符。

4. 偶宇称与奇宇称：在空间反射下，如果有),(),(t r t r
ψψ±=-，则称波函数有确
定的宇称。

当),(),(t r t r ψψ=-，则称波函数具有偶宇称；当),(),(t r t r
6. 测不准原理：量⼦⼒学揭⽰，要同时测出微观粒⼦的位置和动量，其精度是有⼀定的限制。

海森伯推得，测量⼀个微粒的位置时，如果不确定范围是x ?，那么同时测量其动量也有⼀个不确定范围x p ?，且位置不确定度x ?和动量的不确定度x p ?的乘积总是⼤于⼀定的数值，即2
≥
x p x 。

粒⼦的位置和动量不能同时准确测定源于物质具有微粒和波动⼆象性。

测不准原理是普遍存在的；若两个⼒学量不对易，则它们不可能同时被准确测定，其不确定度的乘积总是⼤于⼀定的值。

7. 定态：当薛定谔⽅程中的势能U 与时间t ⽆关，则薛定谔⽅程的解可表⽰成
)()(t f r
ψ=ψ，通过分离变量求解薛定谔⽅程，得到薛定谔⽅程的解是
Et
i
e r -=ψ)(ψ（分离变量过程中引⼊的常数E 为粒⼦的能量），当粒⼦处在由
该波函数所描述的状态时，粒⼦的能量E 有确定的值，这种状态称为定态。

8. 零点能：也就是线性谐振⼦基态的能量ω 2
1
0=E ，其中ω是谐振⼦的⾓频率。

零点能不等于零是量⼦⼒学中特有的，是微观粒⼦波粒⼆相性的表现，能量为零的“静⽌的” 波是没有意义的，零点能是量⼦效应，已被绝对零点情况下电⼦的晶体散射实验所证实。

要点之三：
1. 请阐述⼒学量的算符、⼒学量算符的本征值、⼒学量测量值及⼒学量平均值之间的关系。

答：量⼦⼒学中的所有⼒学量⽤厄⽶算符来表⽰。

算符的本征函数组成正交
归⼀本征波函数完备系。

当体系处于⼒学量算符F
的本征态φn 时，F ?表⽰的⼒学量F 有确定值，该值就是F
在φn 态中的本征值λn ，此时⼒学量F 的测得值即为λn ，F 的平均值为λn ；当体系处在⼀般状态ψ中，F
表⽰的⼒学量F 没有确定值，⽽是具有⼀系列的可能值，这些可能值就是表⽰⼒学量算符F
的本征值λn （n=1,2,3,…..），每个可能值都以确定的⼏率被测得，F 的平均值为
τψψd F
F ??*=。

2. 请阐述，在量⼦⼒学中的⼒学量怎样⽤算符来表⽰的。

3. 氢原⼦处于基态0
1001
a r e
a -
=
πψ，求：（1）r 的期望值；（2）势能r
e 2
-的
x a x a a
x π
πψ2cos sin 4)(= 描写，求粒⼦能量的可能值和相应的⼏率。

[解] ⼀给⽆限深势阱
<<≥≤∞=a
x a
x x x U 0,0,0,)(当当式中a 为势阱宽度。

粒⼦具有⼀定能量的状态为本征态，它满⾜本征⽅程ψψE H
= 粒⼦在阱内时有 2
2
2222??dx
d p H µµ -== 代⼊本征⽅程得 0222
2=+ψµ
ψE dx d
其解为 x a
n a n πψs i n 2= 能量为 2
22??
=a n E n πµ
任意状态)(x ψ，可视为⼀系列本征态的线性迭加，亦即
)()(x c x n n ψ∑ψ=
只要求出各个n c ，就可以求出能量的各个可能值n E 及相应的⼏率2
n C 。

⽅法⼀：本题的)(x ψ较简单，容易化为若⼲正弦函数的迭加
21
2cos sin 4cos sin 4)(2+?==a x a x a x a x a a x ππππψ
?
+=a x a x a x a πππsin 2cos sin 2
+-=
a x a x a x a πππsin sin 213sin 2
12 ??? ?
212??? ??=a E πµ
21,2
1233==C C ，能量可能值22332
=a E πµ
⽅法⼆：⼀般⽅法
因为 ??=
=a a
n n dx a
x n a x a x a dx x x C 020*
sin cos sin 24)()(πππψψ dx a x n x
a a x a a πππsin 22cos
1sin 240?+?=? ???? ??-+=a dx a x n a x a x a x a 0sin sin 213sin 21sin 22ππππ ??+=a a dx a
x n a x a dx a x n a x a 00sin 3sin 2sin sin 2ππππ由于三⾓函数的正交性
=a mn a dx a x n a x m 0
2sin sin δππ故 n n n C 3121
21δδ+
= 即得 21212131111=+=δδC 及 21212133133=+=δδC 2
1,212
321==C C
2
3221322??
= =a E a E πµπµ
讨论：⽐较上⾯两种⽅法可以看出，如果)(x ψ⽐较简单，能够较容易地把它展
开为本征函数的组合时，就可以不必利⽤⽐较⿇烦的积分⽅法求n C ，但⽅法⼀只有在特殊情况下才能使⽤。

5．设粒⼦在⼀维⽆限深⽅势阱中运动，⽅势阱<<≥≤∞=a
x a
x x x U 0,0,0,)(当当。

求：（1）处于基态的粒⼦的动量⼏率分布；（2）处于基态粒⼦的动量平均值。

解：由于势阱<<≥≤∞=a
x a
x x x U 0,0,0,)(当当，在阱内粒⼦所满⾜的定态薛定谔⽅程
为
ψψE dx
d m =+-02222 (2) 在（2）中，∞→0U ，根据波函数满⾜的连续性和有限性条件，只有当0 =ψ时，（2）才能成⽴，所以有
),0(0
a x x ≥≤=ψ
(3)
为了⽅便，引⼊符号2
1
22
= m E α，则（2）式简写为
)0(022222a x dx
d m <<=+-ψαψ (4) 它的解是
x B x A ααψc o s s i n
+= (5) 根据ψ的连续性，由（3）式的),0(0a x x ≥≤=ψ，代⼊(5)，有
00cos 0sin =?+?ααB A 0cos sin =+a B a A αα
由此求得
0=B 0sin =a A α
A 和
B 不能同时为零，否则ψ到处为零，在物理上⽆意义。

因此求得
,.......3,2,1,==n a
n πα
归⼀化的定态薛定谔⽅程的解为：??
≤≥<
=0,00,sin 2x a x a x x a n a n πψ定态能量为：2
22
=a n E n πµ
基态波函数： ??
=
x a a πψsin 21 将基态波函数⽤动量本征函数展开：
px i p p e
dp x p C
πψψψ21,
dx e
a
x
p C px i
a
-?=
)sin(
2
21
)(0
1ππ
π
=
+
-+--?-
+- -
p a e p a e a a p a i a p a i πππππ1121221
(1) 动量的⼏率分布为：.........)(2
1=p C
(2) 动量的平均值：...........
=p 6. 在⼀维⽆限深势阱中运动的粒⼦，⽅势阱<<≥≤∞=a
x a
x x x U 0,0,0,)(当当，如果粒
⼦的状态由波函数)()(x a Ax x -=ψ描写，其中A 为归⼀化常数，a 为势阱宽度。

求粒⼦能量的概率分布和能量平均值。

解：由于势阱?
<<≥≤∞=a x a
x x x U 0,0,0,)(当当，阱内粒⼦所满⾜的定态薛定谔⽅程为
ψψE dx d m =-2
222 (1) 在阱外粒⼦满⾜的定态薛定谔⽅程为
ψψψE U dx d m =+-02
222 (2) 在（2）中，∞→0U ，根据波函数满⾜的连续性和有限性条件，只有当0=ψ时，（2）才能成⽴，所以有
),0(0
为了⽅便，引⼊符号2
1
22
= m E α，则（2）式简写为
)0(022222a x dx
d m <<=+-ψαψ (4) 它的解是
x B x A ααψc o s s i n
+= (5) 根据ψ的连续性，由（3）式的),0(0a x x ≥≤=ψ，代⼊(5)，有00cos 0sin =?+?ααB A 0cos sin =+a B a A αα
由此求得
0=B 0sin =a A α
A 和
B 不能同时为零，否则ψ到处为零，在物理上⽆意义。

因此求得,.......3,2,1,==n a
n πα
归⼀化的定态薛定谔⽅程的解为：??
≤≥<
=0,00,sin 2x a x a x x a n a n πψ定态能量为：2
22??
=a n E n πµ
对波函数)()(x a Ax x -=ψ进⾏归⼀化，有
50
2
301)(a A dx x a
=
=ψ?
⽤定态波函数)sin(2x a
n a n πψ=
将)()(x a Ax x -=ψ展开，
∑=ψn
4)()/sin(/2)(330
*
n a
n n n dx
x a Ax a x n a dx x C --=-=ψ=?
+∞∞
-π
πψ
（1）粒⼦能量取n E 的⼏率为：[]
[]
n
n
n
n n C )1(1480)1(12406
62
6
62
--=
--=
ππ（2）...........
=E 7. 利⽤测不准关系估算线性谐振⼦的零点能.
解：⼀维线性谐振⼦的哈密顿算符为： 222212??x p H µωµ+= 哈密顿算符的本征波函数为：)()(2 2
2x H e N x n x
n n αψα-=
振⼦的平均能量：
2
222
121x p H E µωµ+== ?∞
∞
-=dx x P x P n
n )(?)(*ψψ ?∞
∞
x i n n )()
(*
ψψ dx x x dx
d
i x x i n n n n )())((|
)()(ψψψψ?∞
∞
-∞∞
----=
P dx x p
x n n -=-=?∞
∞
-)(?)(ψψ， 0=P
∞
∞-==0)(2
dx x x x n ψ
222)?()(P P P
P =-=?
222)?()(x x x
x =-=? 4)()(22
2 ≥??x P
所以， 422
2 ≥?x P
因此，零点能为： 8. 请利⽤测不准关系，证明：在z L ?本征态),(?θlm Y 下，x L =0，y L =0。

9. 设t=0 时，粒⼦的状态为ψ(x ) = A [ sin 2kx + (1/2)cos kx ]，求：（1）粒⼦的平均动量和平均动能；（2）粒⼦位置与动量的不确定性?
)()(22=??p x
2
222222111222
8E H p x x x µωµωµµ==+=+min 012
E E ω==
解：)}(])[{()(2
1
221ikx ikx ikx ikx i e e e e A x --++-=ψ }2{224
ikx ikx ikx ikx
A e e e e --++--=
}
)()()()()({)(543215432121
x p i x p i x p i x p i x p i e
p c e
p c e
p c e
p c e
p c x
++++=
πψ
⽐较⼆式，因单⾊平⾯波动量有确定值：k p k p k p k p p -==-===
54
321220 k p k p k p k p p -==-===54321220
==-=== πππ24)()(24)()(24
2)(54
3
21
A p c p c A p c p c A p c ，
-==-===
k p k p k p k p p 54321220
1
||]11)1()1(2[216
|||)(|2222222
2
5
1
==++-+-+=∑
= ππA A p c i i ，
π1
=A
==-===42)()(42)()(22)(5
43
21
p c p c p c p c p c ，（1）归⼀化后，|c (p i )|2 表⽰粒⼦具有动量为 p i 的⼏率，于是就可以计算动量和动能的平均值了。

动量的平均值：
)(4
242)2(42242022|)(|2
222225
1=-++--+-+=
=∑= k k k k p p c p i
i i 动能的平均值：
µ
µµµ
85)(81)(81)2(81)2(81021)(42)(42)2(42)2(42022212|)(|22222222
22222222
25
1
k k k k k k k k k p
p c T i
i i =?
-++-++=????
-++--+-+==∑
= （2）粒⼦位置与动量的不确定性?)()(22=??p x
对于任⼀⼒学量A ，有 2
222)()(A A A -=-=?，便有 222
2
4
52)(k p T p =
-=?µ 0)()(*==?∞
∞
-dx x x x x ψψ,
∞==?∞
-dx x x x x )()(2*2ψψ,
所以有，∞=??22)()(p x
10. 已知空间转⼦处于如下状态),(3
2
),(312111Y Y +=ψ，试问：1）Ψ是否是
L 2
的本征态？ 2）Ψ是否是 Lz 的本征态？ 3）求 L z 的平均值； 4）在Ψ态中分别测量 L 2 和 L z 时得到的可能值及其相应的⼏率。

解：（1） ??
+=ψ),(32),(31??211122Y Y L L
()()
212112)12(232
)11(131Y Y +++= ??
+=211122312Y Y
Ψ没有确定的2?L
的本征值，故Ψ不是2?L 的本征态。

(2) ??
+=ψ),(32),(31??21
11Y Y L L z z 21113231Y Y +=??? ??+=21113231Y Y Ψ是 z
L ?的本征态，本征值为 . （3）求L 2
的平均值:
）已归⼀化（ψψψ?=dx x F x F )(?)(*
验证归⼀化：?
Ω=d c ψψ*
2
1Ω??? ??+??? ??+=?d Y Y Y Y c 211121112
3231*323
1
??+=ψ2111323
1
Y Y c ()21112111251323153Y Y Y Y +=
??+=
Ω
+++=?d Y Y Y Y Y Y Y Y c 11212111212111112*92*92*94*91
+= 53=c
归⼀化波函数：
??+=ψ21113231
Y Y c ()21112111251323153Y Y Y Y +=
??+= ?Ωψψ=d L L 2*2?=()()Ω++=?d Y Y L Y Y 2111221
1125
1?*251 ()
Ω+=?d Y Y 2
212211224251 2225
26]242[51 =+= =5
45
12
2
262相应⼏率 L
1相应⼏率 =z L 11. 设已知在2?L 和z L ?的共同表象中，算符x L ?和y
L ?的矩阵分别为 =010******** x L ；
--=0000022i i i i L y 。

求它们的本征值和归⼀化的本征函数。

12. ⼀维运动粒⼦的状态是 ?
<≥=-)0(0)
0()(当当x Axe x x λψ，其中λ>0，求：（1）动
量的概率分布函数；（2）粒⼦的平均动量。

13. 设粒⼦⼀维Hamilton 量为)(22
x V m
p H +=，求：（1）在x 表象中，x ，p 和H 的矩阵元；（2）在p 表象中，x ，p 和H 的矩阵元。

解：（1）在x 表象中，x
的本征波函数为： )()(x x x u x '-='δ（本征值为x '）
（2）在p 表象中，p ?的本征波函数为（本征值为p ′）
()
()(
)()
'"'"''"
x x x x x x x x dx x x x δδδ=--=-?()()()()'"'"'"'x x d d p x x i x x dx i x x dx dx δδδ??=---=--
x x d
H x x V x x x m dx δδ=--+-()() p p p p ψδ''=-()()()()*
''''"?()()'"p p p p x p x
p dp d
p p i
p p dp dp
d i p p ψψδδδ='''=--=-??。