高中数学 2-1 2.3.2双曲线的简单几何性质 教案

1。

1.1 命题
（一)教学目标
1。

知识与技能：
(1）通过对双曲线图形的研究，让学生熟悉双曲线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）以及离心率的大小对双曲线形状的影响，进一步加强数形结合的思想。

(2)熟练掌握双曲线的几何性质,会用双曲线的几何性质解决相应的问题.
（3）理解等轴双曲线的特点与性质
2.过程与方法：通过讲解双曲线的相关性质,理解并会用双曲线的相关性质解决问题.
3。

情感、态度与价值观：
（1）学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；
(2）培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

(二）教学重点与难点
重点：双曲线的几何性质,数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质
难点:数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质
（三)教学过程
活动一:创设情景、引入课题 （5分钟）
问题1:前面两节课，说一说所学习过的内容？
1、 双曲线的定义?
2、
两种不同双曲线方程的对比？
问题
2：类比椭圆几何性质,观察双曲线22
221x y a b
-=（a 〉
0,>b 〉0）的形状,你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？双曲线上哪些点比较特殊？ 点题:今天我们学习“双曲线的简单几何性质” 活动二：师生交流、进入新知,(20分钟) 1、双曲线的简单几何性质 ①范围：x a ≤-，或x a ≥;y R ∈
由双曲线的标准方程得，22
2210y x b a
=-≥，进一步得：x a ≤-，
或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；
②对称性:关于以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；
由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：实顶点：为1
(,0)A a -，2
(,0)A a ;实轴为｜2
1A A |=2a ；
实半轴长为a
虚顶点为1
(0,)B b -，2
(0,)B b ；虚轴为|2
1B B ｜=2b ；虚半轴长
为b
圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
④渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22
221x y a b
-=的渐近线；
直线a y x b =±叫做双曲线22
221y x a b
-=的渐近线；
问题3：双曲线的范围在以直线b y x a
=和b y x a
=-为边界的
平面区域内，那么从
x ，y 的变化趋势看，双曲线22221
x y a b
-=与直线b y x a
=±具有怎样的关系呢？
⑤离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比a
c e =叫做双曲
线的离心率(1e >）．
问题4:当a b =时,双曲线方程有什么变化？渐近线？离心率？
2、等轴双曲线：当a b =时，双曲线为22
221x y a a
-=叫等轴双
曲线，渐近线为
y x =±，离心率e =问题5：书本P58页思考? 例3： 求双曲线2
2916144y
x -=的实半轴长和虚半轴长、
焦点的坐标、离心率、渐近线方程．
分析:由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是a y x b
=±．
练习：书本P61页练习1
扩展:求与双曲线22
1169
x y -=共渐近线，且经过()23,3
A -点
的双曲线的标准方及离心率．
解法剖析:双曲线22
1169x y -=的渐近线方程为34y x =±．①焦
点在x 轴上时，设所求的双曲线为22
221169x y k k
-=,∵()
23,3
A -点在双曲线上，∴2
1
4
k
=-
，无解;②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线为22
221169x y k k
-+=,∵()23,3
A -点在双曲线上，
∴2
1
4k =,因此，所求双曲线的标准方程为22194
4
y x -=，离心
率53
e =．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，
事实上,可直接设所求的双曲线的方程为
()22
,0169
x y m m R m -=∈≠． 练习：书本P61页练习3
活动三：合作学习、探究新知（18分钟）
例4：双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部
分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1)，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ,高为55m ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m ）．
解法剖析:建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准
方程为22
221x y a b
-=，算出,,a b c 的值;此题应注意两点:①注意
建立直角坐标系的两个原则;②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示，在P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA 或PB 送到呈矩形的足球场ABCD 中去铺垫,已知
150AP m =,100BP m =,60BC m =，
60
APB ∠=．能否在足球场上画一条“等距离"线，在“等
距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．
解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点,则
PA AM PB BM
+=+，即
50BM AM AP BP -=-=（定值)，∴“等距离”线是以A 、
B 为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”
线方程为()22
13525,0606253750
x y x y -
=-≤≤-≤≤．理由略． 练习：书本P61页练习2
例5：如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：
16
5x =
的距离的比是常数54
，求点M 的轨迹方程．
分析：若设点(),M x y ，则()
2
2
5MF
x y =
-+，到直线
l :16
5
x =
的距离 165
d x =-
，则容易得点M 的轨迹方程．
解:设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合
P={M|||54
MF d =｝,
即
22(5)5
164
5
x y x -+=-
22
1169
x y -=化简得
所以，点M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线
例6:如图，过双曲线
22
136
x y -=的右焦点2F ,倾斜角为030的直线交双曲线于A 、B 两点，求||AB 。

练习：书本P61页练习5
活动四：归纳整理、提高认识(2分钟）
1．
说说本节课学习了双曲线的那些题型？
活动五：作业布置、提高巩固
1．书面作业：书本P61B 组1、3、4 书本P61 A 组3、4、5。