广西省崇左市2019-2020学年中考数学第三次调研试卷含解析

广西省崇左市2019-2020学年中考数学第三次调研试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若代数式2x2+3x﹣1的值为1，则代数式4x2+6x﹣1的值为（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
2．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）
A．2，B．2，πC．，D．2，
4．按一定规律排列的一列数依次为：﹣2
3
，1，﹣
10
7
，
17
9
、﹣
26
11
、
37
13
…，按此规律，这列数中的第
100个数是（）
A．﹣9997
199
B．
10001
199
C．
10001
201
D．
9997
201
5．如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x（单位：s），弦BP的长为y，那么下列图象中可能表示y与x函数关系的是（）
A．①B．③C．②或④D．①或③
6．如图,E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:AB=2：3,△BEF的面积为4,则平行四边形ABCD的面积为()
A．30 B．27 C．14 D．32
7．a的倒数是3，则a的值是（）
A．1
3
B．﹣
1
3
C．3 D．﹣3
8．若※是新规定的某种运算符号，设a※b=b 2 -a，则-2※x=6中x的值（）
A．4 B．8 C． 2 D．-2
9．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，若AD＝3，BE＝1，则DE＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上,边AC交边BE于点F,若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）
A．∠EDB B．∠BED C．∠EBD D．2∠ABF
11．某共享单车前a公里1元，超过a公里的，每公里2元，若要使使用该共享单车50%的人只花1元钱，a应该要取什么数（）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
12．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是______边形．
14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（1）AB的长等于____；
（2）在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB S△PBC S△PCA =1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度
．．．的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_______
15．如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=3x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，
A B的长是_____．
以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则¼
20192018
16．关于x 的方程ax=x+2(a 1) 的解是________.
17．如图，正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，过点A 作x轴的垂线
交x 轴于点B ，连结BC ，则△ABC 的面积等于_____．
18．如图，从一个直径为1m 的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为_____m ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）问题提出
（1）.如图 1，在四边形 ABCD 中，AB=BC ，AD=CD=3, ∠BAD=∠BCD=90°，∠ADC=60°，则四边形 ABCD 的面积为 ＿；
问题探究
（2）.如图 2，在四边形 ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC=135°，AB=2 2，BC=3，在 AD 、CD 上分别找一点 E 、F ， 使得△BEF 的周长最小，作出图像即可.
20．（6分）如图，安徽江淮集团某部门研制了绘图智能机器人，该机器人由机座、手臂和末端操作器三部分组成，底座AE ⊥直线L 且25AE cm =，手臂60AB BC cm ==，末端操作器35CD cm =，AF P 直线L .当机器人运作时，45,75,60BAF ABC BCD ∠=︒∠=︒∠=︒，求末端操作器节点D 到地面直线L 的距离.（结果保留根号）
21．（6分）计算：12 ＋ (12
)－2 - 8sin60° 22．（8分）已知，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是以AC 为直角边的直角三角形时，求点M 的坐标．
23．（8分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
24．（10分）关于x 的一元二次方程()2
3220x k x k -+++=.求证：方程总有两个实数根；若方程有一根小于1，求k 的取值范围.
25．（10分）先化简，再求值：
22x 3x 311x 1x 2x 1x 1--⎛⎫÷-+ ⎪-++-⎝⎭
，再从0x 4<<的范围内选取一个你最喜欢的值代入，求值．
26．（12分）如图1，点D 为正ABC ∆的BC 边上一点（D 不与点,B C 重合），点,E F 分别在边,AB AC 上，且EDF B ∠=∠.
（1）求证：~BDE CFD ∆∆；
（2）设,BD a CD b ==，BDE ∆的面积为1S ，CDF ∆的面积为2S ，求12S S ⋅（用含,a b 的式子表示）；
（3）如图2，若点D 为BC 边的中点，求证： 2DF EF FC =⋅.
图1 图2
27．（12分）动画片《小猪佩奇》分靡全球，受到孩子们的喜爱.现有4张《小猪佩奇》角色卡片，分别是A 佩奇，B 乔治，C 佩奇妈妈，D 佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）.姐弟两人做游戏，
他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好.
（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A佩奇的概率为；
（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的分方法求出恰好姐姐抽到A佩奇弟弟抽到B乔治的概率.
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
【解析】
【分析】
由2x2+1x﹣1＝1知2x2+1x＝2，代入原式2（2x2+1x）﹣1计算可得．
【详解】
解：∵2x2+1x﹣1＝1，
∴2x2+1x＝2，
则4x2+6x﹣1＝2（2x2+1x）﹣1
＝2×2﹣1
＝4﹣1
＝1．
故本题答案为：D.
【点睛】
本题主要考查代数式的求值，运用整体代入的思想是解题的关键．
2．C
【解析】
【详解】
解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，
∴OM2+ON2=MN2，
∴∠MON=90°，
∵∠EOM=20°，
∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°．
故选C ．
【点睛】
本题考查直角三角形的判定，掌握方位角的定义及勾股定理逆定理是本题的解题关键．
3．D
【解析】
试题分析：连接OB ，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，， 故选D ．
考点：1正多边形和圆；2.弧长的计算．
4．C
【解析】
【分析】 根据按一定规律排列的一列数依次为：23-，1，107
-，179，2611-，3713…，可知符号规律为奇数项为负，偶数项为正；分母为3、7、9、……，21n +型；分子为21n +型，可得第100个数为210011000121001201
+=⨯+． 【详解】 按一定规律排列的一列数依次为：23-，1，107
-，179，2611-，3713…，按此规律，奇数项为负，偶数项为正，分母为3、7、9、……，21n +型；分子为21n +型，
可得第n 个数为2121
n n ++， ∴当100n ＝时，这个数为2211001100012121001201
n n ++==+⨯+，
故选：C．
【点睛】
本题属于规律题，准确找出题目的规律并将特殊规律转化为一般规律是解决本题的关键.
5．D
【解析】
【分析】
分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．【详解】
分两种情况讨论：①当点P顺时针旋转时，BP
的长从增加到2，再降到0
，图象③符
合；
②当点P逆时针旋转时，BP
降到0，再增加到2
，图象①符合．
故答案为①或③．
故选D．
【点睛】
本题考查了动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
6．A
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，AD//BC，
∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED，
∴
22 BEF BEF
CDF AED
S S
BE BE
S CD S AE
∆∆
∆∆
⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，，
∵BE：AB=2：3，AE=AB+BE，∴BE：CD=2：3，BE：AE=2：5，
∴
44
925 BEF BEF
CDF AED
S S
S S
∆∆
∆∆
==
，，
∵S△BEF=4，
∴S△CDF=9，S△AED=25，
∴S四边形ABFD=S△AED-S△BEF=25-4=21，
∴S平行四边形ABCD=S△CDF+S四边形ABFD=9+21=30，
故选A.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等，熟记相似三角形的面积等于相似比
的平方是解题的关键.
7．A
【解析】
【分析】
根据倒数的定义进行解答即可．
【详解】
∵a 的倒数是3，∴3a=1，解得：a=
13
． 故选A ．
【点睛】
本题考查的是倒数的定义，即乘积为1的两个数叫互为倒数．
8．C
【解析】
解：由题意得：226x +=，∴24x =，∴x=±
1．故选C ． 9．B
【解析】
【分析】
根据余角的性质，可得∠DCA 与∠CBE 的关系，根据AAS 可得△ACD 与△CBE 的关系，根据全等三角形的性质，可得AD 与CE 的关系，根据线段的和差，可得答案．
【详解】
∴∠ADC=∠BEC=90°.
∵∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠CAD=90°，
∠DCA=∠CBE ， 在△ACD 和△CBE 中,ACD CBE ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△CBE(AAS)，
∴CE=AD=3，CD=BE=1，
DE=CE−CD=3−1=2，
故答案选：B.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质.
10．C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB=∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案. 【详解】
在△ABC和△DEB中，
AC BD
AB ED
BC BE
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，所以△ABC≅△BDE(SSS)，所以∠ACB=∠DBE.故本题正确答案
为C.
【点睛】
.
本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟悉掌握是关键.
11．B
【解析】解：根据中位数的意义，故只要知道中位数就可以了．故选B．
12．C
【解析】
由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱．故选C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．四
【解析】
【分析】
任何多边形的外角和是360度，因而这个多边形的内角和是360度．n边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【详解】
解：设边数为n，根据题意，得
（n-2）•180=360，
解得n=4，则它是四边形．
故填：四.
【点睛】
此题主要考查已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
14
；答案见解析．
【解析】【详解】
（1）
．
（2）如图AC 与网格相交，得到点D 、E ，取格点F ，连接FB 并且延长，与网格相交，得到M ，N ，G ．连接DN ，EM ，DG ，DN 与EM 相交于点P ，点P 即为所求．
理由：平行四边形ABME 的面积：平行四边形CDNB 的面积：平行四边形DEMG 的面积=1：2：1，△PAB
的面积=
12平行四边形ABME 的面积，△PBC 的面积=1
2平行四边形CDNB 的面积，△PAC 的面积=△PNG 的面积=12△DGN 的面积=1
2
平行四边形DEMG 的面积，∴S △PAB ：S △PBC ：S △PCA =1：2：1．
15．201923
π
【解析】
【分析】先根据一次函数方程式求出B 1点的坐标，再根据B 1点的坐标求出A 2点的坐标，得出B 2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A 2019的坐标，再根据弧长公式计算即可求解，．
【详解】直线3，点A 1坐标为（2，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1可知B 1点的坐标为（2，3，
以原O 为圆心，OB 1长为半径画弧x 轴于点A 2，OA 2=OB 1， OA 2()
2
2
223
+，点A 2的坐标为（4，0），
这种方法可求得B 2的坐标为（4，3，故点A 3的坐标为（8，0），B 3（8，3 以此类推便可求出点A 2019的坐标为（22019，0），
则¼20192018A B 的长是
20192019
60221803
ππ
⨯⨯=， 故答案为：201923
π
．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，弧长的计算，解题的关键找出点的坐标的变化规律、运用数形结合思想进行解题. 16．
2a 1
- 【解析】
分析：依据等式的基本性质依次移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案．
详解：移项，得：ax﹣x=1，合并同类项，得：（a﹣1）x=1．∵a≠1，∴a﹣1≠0，方程两边都除以a
﹣1，得：x=
2
1
a-
．故答案为x=
2
1
a-
．
点睛：本题主要考查解一元一次方程的能力，熟练掌握等式的基本性质及解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
17．1．
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质可判断点A与点B关于原点对称，则S△BOC=S△AOC，再利用反比例函数k的几何意义得到S△AOC=3，则易得S△ABC=1．
【详解】
∵双曲线y=与正比例函数y=kx的图象交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，∴S△BOC=S△AOC，
∵S△AOC=×1=3，∴S△ABC=2S△AOC=1．
故答案为1．
182
m．
【解析】
【分析】
利用勾股定理易得扇形的半径，那么就能求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【详解】
解：易得扇形的圆心角所对的弦是直径，
∴扇形的半径为：
2
2
m，
∴扇形的弧长为：
2
90
2
180
π⨯2
πm，
22
m．
【点睛】
本题考查：90度的圆周角所对的弦是直径；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，解题关键是弧长公式．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）33，（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）易证△ABD≌△CBD，再利用含30°的直角三角形求出AB、BD的长，即可求出面积.(2)作点B关于AD的对称点B’,点B关于CD的对应点B’’，连接B’B’’,与AD、CD交于EF，△AEF即为所求.
【详解】
（1）∵AB=BC，AD=CD=3, ∠BAD=∠BCD=90°，
∴△ABD≌△CBD（HL）
∴∠ADB=∠CDB=1
2
∠ADC=30°，
∴AB=3
∴S△ABD=1
·
2
AB AD=33
∴四边形ABCD的面积为2S△ABD=33
（2）作点B关于AD的对称点B’,点B关于CD的对应点B’’，连接B’B’’,与AD、CD交于EF，△BEF 的周长为BE+EF+BF=B’E+EF+B’’F=B’B’’为最短.
故此时△BEF的周长最小.
【点睛】
此题主要考查含30°的直角三角形与对称性的应用，解题的关键是根据题意作出相应的图形进行求解. 20．（30220）cm.
【解析】
【分析】
作BG ⊥CD ，垂足为G ，BH ⊥AF ，垂足为H ，解Rt CBG ∆和Rt ABH ∆，分别求出CG 和BH 的长，根据D 到L 的距离()BH AE CD CG =+--求解即可. 【详解】
如图，作BG ⊥CD ，垂足为G ，BH ⊥AF ，垂足为H ，
在Rt CBG ∆中，∠BCD=60°，BC=60cm ， ∴cos6030CG BC =⋅︒=，
在Rt ABH ∆中，∠BAF=45°，AB=60cm ， ∴sin45302BH AB =⋅︒=
∴D 到L 的距离()302255(30220)BH AE CD CG cm =+--=-=. 【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是构造出适当辅助线，从而利用锐角三角函数的定义求出相关线段. 21．3【解析】
试题分析：原式第一项利用二次根式的化简公式进行化简，第二项利用负指数公式化简，第三项利用特殊角的三角函数值化简，合并即可得到结果 试题解析：原式34- 8×
3
333 22．（1）y=﹣x 2+2x+1；（2）当△MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为（1，8
3）或（1，﹣23
）．
【解析】 【分析】
（1）由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设点M 的坐标为（1，m ），则22(10)(3)m -+-10，22[1(1)](0)m --+-分∠ACM=90°和∠CAM=90°两种情况，利用勾股定理可得出关于m 的方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】
（1）将A （﹣1，0）、C （0，1）代入y=﹣x 2+bx+c 中，
得：
10 {
3
b c
c
--+=
=
，
解得：
2 {
3
b
c
=
=
，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+1．
（2）∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+4，
设点M的坐标为（1，m），
则，
分两种情况考虑：
①当∠ACM=90°时，有AM2=AC2+CM2，即4+m2=10+1+（m﹣1）2，
解得：m=8
3
，
∴点M的坐标为（1，8
3）；
②当∠CAM=90°时，有CM2=AM2+AC2，即1+（m﹣1）2=4+m2+10，
解得：m=﹣2
3
，
∴点M的坐标为（1，﹣2
3）．
综上所述：当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，8
3
）或（1，﹣
2
3
）．
【点睛】
本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的点的坐标特征以及勾股定理等知识点．
23．(1) 0≤x＜20；(2) 降价2.5元时，最大利润是6125元
【解析】
【分析】
（1）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x的取值范围．
（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值．
【详解】
(1)根据题意得y=(70−x−50)(300+20x)=−20x2+100x+6000，
∵70−x−50>0，且x≥0，
∴0≤x<20.
(2)∵y=−20x2+100x+6000=−20(x−5
2
)2+6125，
∴当x=
5
2
时，y 取得最大值，最大值为6125， 答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元. 【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用. 24．（2）见解析；（2）k<2． 【解析】 【分析】
（2）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k-2）2≥2，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x 1=2、x 2=k+2，根据方程有一根小于2，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围． 【详解】
（2）证明：∵在方程()2
3220x k x k -+++=中，△=[-（k+3）]2-4×2×（2k+2）=k 2-2k+2=（k-2）2≥2，
∴方程总有两个实数根．
（2） ∵x 2-（k+3）x+2k+2=（x-2）（x-k-2）=2， ∴x 1=2，x 2=k+2． ∵方程有一根小于2， ∴k+2<2，解得：k<2， ∴k 的取值范围为k<2． 【点睛】
此题考查根的判别式，解题关键在于掌握运算公式. 25．原式=1
1
x -，把x=2代入的原式=1. 【解析】
试题分析：先对原分式的分子、分母进行因式分解，然后按顺序进行乘除法运算、加减法运算，最后选取有意义的数值代入计算即可.
试题解析：原式=
()()()2
13
11·113
1x x x x x x x +-+--+--- =11x - 当x=2时，原式=1
26．（1）详见解析；（1）详见解析；（3）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；
（1）如图1中，分别过E ，F 作EG ⊥BC 于G ，FH ⊥BC 于H ，
S1=1
2
•BD•EG=
1
2
•BD•EG=
1
2
•a•BE•sin60°=
3
4
•a•BE，S1=
1
2
•CD•FH=
3
4
•b•CF，可得
S1•S1=
3
16
ab•BE•CF，由（1）得△BDE∽△CFD，
BD FC
BE CD
=，即BE•FC=BD•CD=ab，即可推出
S1•S1=
3
16
a1b1；
（3）想办法证明△DFE∽△CFD，推出EF DF
DF FC
=，即DF1=EF•FC；
【详解】
（1）证明：如图1中，
在△BDE中，∠BDE+∠DEB+∠B=180°，又∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠BDE+∠DEB+∠B=∠BDE+∠EDF+∠FDC，
∵∠EDF=∠B，
∴∠DEB=∠FDC，
又∠B=∠C，
∴△BDE∽△CFD．
（1）如图1中，分别过E，F作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，
S1=1
2
•BD•EG=
1
2
•BD•EG=
1
2
3
，S1=
1
2
3
，
∴S1•S1=
3
16
ab•BE•CF
由（1）得△BDE∽△CFD，
∴BD FC
BE CD
=，即BE•FC=BD•CD=ab，
∴S1•S1=
3
16
a1b1．
（3）由（1）得△BDE∽△CFD，
∴BD FC BE CD
=，
又BD=CD，
∴CD FC DE DF
=，
又∠EDF=∠C=60°，∴△DFE∽△CFD，
∴
F DF
DF FC
=，即DF1=EF•FC．
【点睛】
本题考查了相似形综合题、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形的相似的条件.
27．（1）1
4
；（2）
1
12
【解析】
【分析】
（1）直接利用求概率公式计算即可；（2）画树状图（或列表格）列出所有等可能结果，根据概率公式即可解答．
【详解】
（1）1
4
；
（2）方法1：根据题意可画树状图如下：方法2：根据题意可列表格如下：
弟弟
姐姐
A B C D
A （A,B）(A,C) (A,D)
B (B,A) (B,C) (B,D)
由列表（树状图）可知，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治的结果有1种：（A，B）.
∴P（姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治）
1 12
【点睛】
本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解决问题用到概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．。