人教A版高中数学必修二(浙江专版)教学案：1.1空间几何体的结构 含答案

3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 分类 定义 有两个面互相 平行 ， 其余 各面都是 四边形 ， 并且每 棱柱 相邻两个四边形的公共边 由这些面所 都互相 平行 ， 围成的多面体叫做棱柱 如图可记作： 棱柱 图形及表示 相关概念 底面(底)：两个互相 平行 的 面 侧面：其余各面
ABCD­A′B′C′D
ABC­A′B′C′ 分 成 三 部 分 ， 形 成 的 三 个 三 棱 锥 分 别 是 A′­ABC ， B­A′B′C′ ， A′­BCC′.(答案不唯一)
层级二 应试能力达标 )
1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( A．棱柱的侧棱长都相等 B．四棱锥有五个顶点 C．三棱台的上、下底面是相似三角形 D．有的棱台的侧棱长都相等
面可以把棱锥分成两个棱锥，C 不正确． 3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
解析：选 D
A、B、C 中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选 D. ) B．侧面都是梯形
4．棱台不具有的性质是( A．两底面相似
C．侧棱都相等
D．侧棱延长后都相交于一点
解析：选 C 只有正棱台才具有侧棱都相等的性质． 5. 一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图， A ， B ， C 是展开图上的三 点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________. 解析：将平面图形翻折，折成空间图形， 可得∠ABC＝60°. 答案：60° 6．在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何体的 4 个顶点，这些几何体 是________．(写出所有正确结论的编号) ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三 角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体． 解析：在正方体 ABCD­A 1 B 1 C 1 D 1 上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何体的 4 个 顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形 ACC 1 A 1 ；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面 为等边三角形的四面体，如 A­A 1 BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如 A­CB 1 D 1 ；⑤每个 面都是直角三角形的四面体，如 A­A 1 DC，故填①③④⑤. 答案：①③④⑤ 7.如图在正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，沿图中虚线将 3 个三角形折起，使点 A，B，C 重合，重合后记为点 P. 问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)若正方形边长为 2a，则每个面的三角形面积为多少？ 解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．
(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力． (2) 若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画 出来，然后依次画出各侧面． (3)若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．
[活学活用] 下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折 叠围成一个正方体的是( )
解析：选 C 将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体．
层级一 1．下面的几何体中是棱柱的有( )
学业水平达标
A．3 个 C．5 个
B．4 个 D．6 个
解析：选 C 棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱 相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选 C. 2．下面图形中，为棱锥的是( )
(1)由 6 个平行四边形围成的几何体； (2)由 7 个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余 6 个面都是有一个公共顶点的三 角形； (3)由 5 个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余 3 个面都是梯形，并 且这些梯形的腰延长后能相交于一点． 解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4 个侧面也是平行四边形的四棱柱． (2)这是一个六棱锥． (3)这是一个三棱台． 10.如图所示是一个三棱台 ABC­A′B′C′，试用两个平面把这个三棱 台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥． 解：过 A′， B ， C 三点作一个平面，再过 A′， B ， C′作一个平面，就把三棱台
A．①③ C．①②④ 解析：选 C 锥．故选 C. 3．下列图形中，是棱台的是( )
B．①③④ D．①② 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱
解析：选 C
由棱台的定义知，A、D 的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B 中两个
面不平行，不是棱台，只有 C 符合棱台的定义，故选 C. 4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( A．三棱锥 C．五棱锥 解析：选 D B．四棱锥 D．六棱锥 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为 60°，如果 )
无公共顶点． ②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形． ③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定 是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有 AB＝AD＝BD＝BC＝CD.满足底面△BCD 为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD 都是等腰三角形，但 AC 长 度不一定，三个侧面不一定全等． [答案] (1)A (2)0
是六棱锥，因为 6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥． 5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )
解析：选 C C 中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱． 6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点． 解析：四棱柱有 4 条侧棱，8 个顶点(可以结合正方体观察求得)． 答案：4 8
可用如图的反例检验，故②③不正确．故选 A.
(2)①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个 公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三 角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错 误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE 和△BCF
2．空间几何体的分类 分类 定义 图形及表示 相关概念 面：围成多面体的 由若干个 平面多 空间几何体 多面体 边形 围成的几何 体，叫做多面体 各个 多边形 棱：相邻两个面的 公共边 顶点：棱与棱 的公 共点
由一个平面图形 绕着它所在平面 空间几何体 旋转体 内的一条 定直线 旋转所形成的 封 闭几何体 叫做旋 转体 轴：形成旋转体所 绕的 定直线
解析：选 B 根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点．故选 B. 2．下列说法正确的是( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形 B．棱锥的底面一定是三角形 C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱 解析：选 D 棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A、B 不正确．过棱锥的顶点的纵截
判断棱锥、棱台形状的 2 个方法 (1)举反例法： 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确． (2)直接法： 棱锥 定底面 看侧棱 只有一个面是多边形，此面即为底面 相交于一点 棱台 两个互相平行的面，即为底面 延长后相交于一点
[活学活用] 用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( A．四边形 C．三角形或四边形 解析：选 C B．三角形 D．不可能为四边形 )
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0 个 C．2 个 (2)下列说法正确的有________个． ①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． ②正棱锥的侧面是等边三角形． ③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． [ 解析] (1)本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③ B．1 个 D．3 个
有关棱柱的结构特征问题的解题策略 (1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析 ①两个面互相平行； ②其余各面是四边形； ③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面， 再看是否满足其他特征． (2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．
[活学活用] 下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形； ②每一个面都不会是三角形； ③两底面平行，并且各侧棱也平行； ④棱柱的侧棱总与底面垂直． 其中正确说法的序号是________． 解析：①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形； ②错误，棱柱的底面可以是三角形； ③正确，由棱柱的定义易知； ④错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不与底面垂直．所以说法正确的序号是 ③. 答案：③ 棱锥、棱台的结构特征 [典例] (1)下列三种叙述，正确的有( )
′
侧棱：相邻侧面的 公共边 顶点： 侧面与底面的 公共顶点 底面(底)：多边形面 侧面： 有公共顶点的各个 三角 形面
有一个面是 多边形 ， 其余 棱锥 各面都是有一个公共顶点 由这些面所围 的 三角形 ， 成的多面体叫做棱锥 如图可记作： 棱锥
侧棱：相邻侧面的 公共边 顶点：各侧面的 公共顶点 上底面：原棱锥的 截面
S­ABCD
用一个 平行于棱锥底面 棱台 的平面去截棱锥，底面与 截面之间的部分叫做棱台 如图可记作： 棱台
下底面：原棱锥的 底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公 共顶点
ABCD­A′B′C′D
′
[小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错体的结构 第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
预习课本 P2～4，思考并完成以下问题 1．空间几何体是如何定义的？分为几类？
2．多面体有哪些？能指出它们的侧面、底面、侧棱、顶点吗？
3．常见的多面体有哪些？它们各自的结构特征是怎样的？
[新知初探] 1．空间几何体 概念 空间几何体 定义 空间中的物体，若只考虑这些物体的 形状 和 大小 ，而不考虑其他 因素，那么由这些物体抽象出来的 空间图形 就叫做空间几何体
如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截
三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．
多面体的平面展开图问题
[典例]
如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
[解]
由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图
还原为原几何体，如图所示．
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
棱柱的结构特征
[典例]
下列关于棱柱的说法中，错误的是(
)
A．三棱柱的底面为三角形 B．一个棱柱至少有五个面 C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 D．五棱柱有 5 条侧棱、5 个侧面，侧面为平行四边形 [解析] 显然 A 正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故 B 正确；底面是
正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等， 所以 C 错误；D 正确，所以选 C. [答案] C
7 ．一个棱台至少有 ________ 个面，面数最少的棱台有 ________ 个顶点，有 ________ 条 棱． 解析：面数最少的棱台是三棱台，共有 5 个面，6 个顶点，9 条棱． 答案：5 6 9
8．一棱柱有 10 个顶点，其所有的侧棱长的和为 60 cm，则每条侧棱长为________cm. 解析：该棱柱为五棱柱，共有 5 条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为 12 cm. 答案：12 9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥( (3)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台( 答案：(1)√ (2)× (3)× 2．有两个面平行的多面体不可能是( ) )
A．棱柱 C．棱台
B．棱锥 D．以上都错
解析：选 B 棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行． 3．关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号)． (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱； (2)棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形； (3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体． 解析：(1)不正确，反例如图所示．(2)正确，由棱柱定义可知，棱柱 的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形． (3) 不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不 一定是正方体． 答案：(2)