【全国百强校】江西省上高县第二中学2016届高三全真模拟考试理数试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数.若复数z 满足29)52(=-z i ，则=z （ ）
A. i 52+
B. i 52-
C. i 52+-
D. i 52-- 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得，()()()
29252925252525i z i i i i +=
==+--+，所以25z i =-，故选B ． 考点：复数的运算与复数的概念． 2.设集合A ={}22(,)1
x y x y +=,B ={}(,)
2x
x y y =,则A B ⋂子集的个数是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8 【答案】C
考点：子集的概念及个数的判断．
3.已知命题p ：“存在[)01,x ∈+∞，使得0
2(log 3)
1x ≥”，则下列说法正确的是（ ）
A.p 是假命题；:p ⌝“任意[)1,x ∈+∞，都有2(log 3)1x <”
B.p 是真命题；:p ⌝“不存在[)01,x ∈+∞，使得1)
3(log 0
2<x ”
C.p 是真命题；:p ⌝“任意[)1,x ∈+∞，都有2(log 3)1x <”
D.p 是假命题；:p ⌝“任意()1,∞-∈x ，都有2(log 3)1x <” 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，2log 31>，所以“存在[)01,x ∈+∞，使得0
2(log 3)1x ≥”为真命题，且命题否定
为:p ⌝“任意[)1,x ∈+∞，都有2(log 3)1x <”，故选C ． 考点：命题的真假判定及命题的否定． 4．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“1
b a
<
”的（ ）条件 A ．充分而不必要 B ．必要而不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要
【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得，110ab b a a --=<，解得010a ab <⎧⎨
->⎩或010
a a
b >⎧⎨-<⎩，所以“01ab <<”是“1
b a <”的既不充分也不必要条件，故选D ． 考点：充要条件的判定．
5.已知函数()2sin f x x x =，则函数()f x 在区间[]2,2ππ-上的零点个数为（ ）
A ． 3
B ． 4
C ． 5
D ．6 【答案】C
考点：函数的零点．
6.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的n m ,分别是（ ）
A. 12,38==n m
B. 26,12m n ==
C. 12,12m n ==
D. 24,10m n ==
【答案】B
考点：茎叶图；循环结构．
7．某射击手射击一次击中目标的概率是0.7，连续两次均击中目标的的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（ ） A ．
710 B ．6
7
C ．47
D ．25 【答案】C 【解析】
试题分析：设“某次射中”为事件A ，“随后一次的射中”为事件B ，则()0.4,()0.7P AB P A ==，所以
()4
(|)()7
P AB P B A P A =
=，故选C ． 考点：条件概率．
8.已知平面向量2
2
(2sin ,cos )a x x =，22(sin ,2cos )b x x =-，()b a x f
∙=.要得到
2cos 2y x x =-的图象，只需将()y f x =的图象（ ）
A.向左平移6
π
个单位长度 B.向右平移6π
个单位长度 C.向左平移3
π
个单位长度
D.向右平移
3
π
个单位长度
【答案】D
考点：向量的运算及三角函数的图象变换．
9．若等边△ABC 的边长为，平面内一点M 满足11
C C C 33
M =B +A ，则MA ⋅MB =（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．-
D ．
【答案】A 【解析】
试题分析：因为1133CM CB CA =
+，所以1121
()3333MA CA CM CA CB CA CA CB =-=-+=-， 1121()3333MB CB CM CB CB CA CB CA =-=-+=-，所以2121
()()3333MA MB CA CB CB CA ⋅=-⋅-
22522
999CA CB CA CB =⋅--5122
121229299
=⨯-⨯-⨯=-，故选A ． 考点：平面向量数量积的运算及性质．
【方法点晴】本题主要考查了平面向量的加法、减法，线性表示和平面向量的数量积的运算等知识的应用，特别注意平面向量的线性表示，求数量积时须注意两个相连的夹角，属于基础题，本题的解答中表示出向量所以2133MA CA CB =-，21
33
MB CB CA =-是解答问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．
10．设函数f （x ）=ln （1+|x|）﹣
2
1
1x +，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（ ）
A.（
1
3
，1）
B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
∪（1，+∞）
C ．（11
,33
-）
D ．11,,33⎛
⎫⎛⎫
-∞-+∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】A
考点：函数单调性的应用．
11.已知数列{}n a 是等差数列，1tan 225a =，5113a a =，设n S 为数列{(1)}n n a -的前n 项和，则2015S =（ ） A.2015
B.2015-
C. 3024
D.3022-
【答案】D 【解析】
试题分析：依据题意，公差51
3tan 22534
a a d -=
==，所以13(1)32n a n n =+-=-，所以 2015132015242014120151201510081007
()()()()22
S a a a a a a a a a a =-+++++++=-+++
1201511
()(1320152)302222
a a =-+=-+⨯-=-，故选D ．
考点：数列的通项公式和数列的求和．
【方法点晴】本题主要考查了数列的递推关系式、数列的通项公式、数列的求和等知识的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用，本题的解答中，根据题设条件得出等差数列的公差，得到数列的通项公式13(1)32n a n n =+-=-，再利用裂项，即可求解数列的和．
12.F 1、F 2分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，过F 2作直线交椭圆于A 、B 两点，已知AF 1⊥BF 1，
∠ABF 1=30°，则椭圆的离心率为（ ）
【答案】A
考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了余弦定理和椭圆离心率的求解，注重考查了学生的推理能力和计算能力、转化与化归思想的应用，解答中，根据题设
条件，得出223(16m a =-，26(12am a =-，在根据余弦定理列出关于,a c 的方程是解答的关键．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13．若二项式()
*1
(n n N x
+∈的展开式中的第5项是常数项，则n=_______. 【答案】6 【解析】
试题分析：二项式()*1(n n N x
+∈的展开式的通项为32
12r
n r r r n T C x -+=⋅⋅，由于第5项是常数项，可得
34
062
n n ⨯-=⇒=． 考点：二项式定理的应用．
14.某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为______.
【答案】3
考点：几何体的三视图；三棱锥的体积．
15.已知矩形 A BCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
【答案】13π 【解析】
试题分析：设正六棱柱的底面边长为x ，高为y ，则69,0 1.5x y x +=<<，正六棱柱的体积
2333(96)633(96)[]3x x x V y x y x ++-==⋅⋅-≤=
1x =时，等号成立，
此时3y ==以外接球的表面积为13
4134
ππ⨯
=． 考点：六棱柱的性质；外接球的表面积．
【方法点晴】本题主要考查了六棱柱的结构特征、棱柱外接球的的表面积的计算、基本不等式求最值等知识点的应用，其中解答中，利用正六棱柱的结构特征，外接球的球心在是其上下点中心的连线的中点，得出外接球的半径是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 16．过点(4,0)P -的直线l 与圆2
2
:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直
线l 的方程为 . 【答案】340x y ±+=
考点：直线与圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质等知识点应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力和推理、运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据圆的割线定理，得出
210PA =，在与圆22:(1)5C x y -+=联立，求出点A 的坐标，即可求解直线的方程．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为b ﹣c=2，cosA=﹣14
． （Ⅰ）求a 和sinC 的值； （Ⅱ）求cos （2A+
6
π
）的值．
【答案】（I （II 【解析】
考点：正弦定理与余弦定理的应用．
18．某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N （120，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于 80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图． （I ）试估计该校数学的平均成绩；
（Ⅱ）这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人 数记为X ，求X 的分布列和期望．
附：若 X ～N （μ，σ2
），则P （u ﹣3σ＜X ＜u+3σ）=0.9974．
【答案】（I ）112；（II ）分布列见解析，1.2 【解析】
试题分析：（I ）根据频率的和为1，求出成绩在[)120,130的频率，再计算这组数据的平均数；（II ）根据正态分布的特征，计算50人中成绩在135以上的有500.084⨯=人，而在[)125,145的学生有
50(0.120.08)10
⨯+=，得出X的可能的值，计算对应的概率，列出X的分布列，计算其期望值．
所以X的分布列为
数学期望值为EX=0×
6+1×
2
+2×
10
+3×
30
=1.2．
考点：频率分布直方图；离散型随机变量的分布列及数学期望．
19.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．
（1）证明：BC⊥AB1；
（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2
（Ⅱ）解：如图，分别以OD ，OB 1，OC 所在的直线为x ，y ，z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系，则A
（0，0），B 0，0），C （0，0），B 1（00），D ，0，0），
又因为1CC =2D A ，所以1C
所以AB =，0），C A =（0），1DC =），
CD =0
考点：直线与平面垂直的判定与证明；直线与平面所成的角的求解．
20．在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：22
2412
x y +=1，设R （x 0，y 0）是椭圆C 上任一点，从原点O 向圆R ：（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=8作两条切线，切点分别为P ，Q ．
（1）若直线OP ，OQ 互相垂直，且R 在第一象限，求圆R 的方程；
（2）若直线OP ，OQ 的斜率都存在，并记为k 1，k 2，求证：2k 1k 2+1=0．
【答案】（1）22((8x y -+-=；（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）通过直线,OP OQ 互相垂直，以及点的坐标适合椭圆的方程，求出圆的圆心，然后求出圆R 的方程；（2）因为直线12:,:OP y k x OQ y k x ==与圆R 相切，推出12,k k 的方程22(1)k x +002(22)x ky x -+ 220080x y ++-=的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出12k k ，结合点00(,)R x y 在椭圆C 上，即可证明12210k k +=．
考点：圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．
【方法点晴】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线与圆相切的关系的应用、圆的标准方程的求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中推出12
,k k 的方程22
(1)k x +02(2x -+220002)80ky x x y ++-=的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出12k k 是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．
21．设函数f （x ）=ax ﹣2﹣lnx （a∈R）．
（I ）若f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线为x ﹣ey+b=0，求a ，b 的值；
（Ⅱ）求f （x ）的单调区间；
（Ⅲ）若g （x ）=ax ﹣e x ，求证：在x ＞0时，f （x ）＞g （x ）．
【答案】（I）
2
,2
3
a b e
==-；（II）当0
a≤时，()
f x的单调递减区间为()
0,+∞，当0
a>时，()
f x的
单调递减区间为
1
(0,)
a
，()
f x的单调递增区间为
1
(,)
a
+∞；（III）证明见解析．
（II）由（I）知：f′（x）=
1
ax
x
-
（x＞0），下面对a的正负情况进行讨论：
①当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=1
a
，
当x变化时，f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表：
由此表可知：f（x）在（0，
a ）上单调递减，f（x）在（
1
a
，+∞）上单调递增；
综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，1
a
），f（x）的单调递增区间为（
1
a
，+∞）；
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线在某点处的切线方程．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线在某点处的切线方程、利用导数研究的极值与最值、函数的零点的判定，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想和分类讨论思想的应用，本题的解答中通过变形转化为需证明()0g x >即可，利用()g x '，根据指数函数及幂函数的性质、函数单调性及零点的判定定理是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于难题，也是常考题，平时注意总结和积累．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O 的半径为6，线段AB 与⊙相交于点C 、D ，AC=4，∠BOD=∠A，OB 与⊙O 相交于点．
（1）求BD 长；
（2）当CE⊥OD 时，求证：AO=AD ．
【答案】（1）9；（2）证明见解析.
考点：相似三角形和与圆有关的比例线段问题．
23.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为12x t y t =+⎧⎨=+⎩
（t 为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C 2的方程为ρ=﹣2cos θθ．
（Ⅰ）求直线C 1的普通方程和圆C 2的圆心的极坐标；
（Ⅱ）设直线C 1和圆C 2的交点为A ，B ，求弦AB 的长．
【答案】（I ）22(1)(4x y ++=，2(2,
)3
π；（II 【解析】
试题分析：（I ）把参数方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标即可；（II ）由（I ）
求得(-到直线10x y -+=的距离d ，再利用圆的弦长公式，即可求解弦长．
试题解析：（Ⅰ）由C 1的参数方程消去参数t 得普通方程为 x ﹣y+1=0，
圆C 2的直角坐标方程（x+1）2
+(2
y =4， 所以圆心的直角坐标为（﹣1
2，23
π）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知（﹣1
x ﹣y+1=0 的距离
所以
考点：参数方程与普通方程的互化；圆的弦长公式．
24.已知函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣3|+|x ﹣a|．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）＜4的解集；
（Ⅱ）设函数f （x ）的最小值为g （a ），求g （a ）的最小值．
【答案】
（I ）1
(,3)3
；（II ）2． 考点：绝对值不等式；分段函数的性质．
：。