高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 第2课时 正、余弦函数的单调性
高中数学高一必修第一章《三角函数的图象与性质》教育教学课件
画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键
点是(0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1) .
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
3.正弦、余弦曲线的联系
根据引诱公式cos x＝sin x＋π2 ，要得到y＝cos x的
第一章 三角函数
§1.4 三角函数的图象与性质
MORESHI POWERPOINT 主讲老师：
CONTENTS
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
明目标、知重点
• 了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法. • 掌控“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能
用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线. • 理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
明目标、知重点
摸索2 如何由y＝sin x，x∈[0,2π]的图象得到y＝sin x， x∈R的图象？ 答 由于终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象的形状完全一致.于是我们只要将函数y＝ sin x，x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位 长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象.
摸索2 如何用描点法画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？
答 在精确度要求不太高时，y＝sin x，x∈[0,2π]可以通过找出 (0,0)， π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们 连接起来，就可得 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，这种方法简称“五点法”.
1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 课件
第一章 三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时， 要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定 义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利 用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的 形式求最值．
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采 用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调 区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间． 解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)． 由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增 区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递 增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．
2019A新高中数学必修第一册：1.4.2 正余弦函数的性质(第2课时)
∴ sin250>sin260.
5. 利用三角函数的单调性, 比较下列各组中两
个三角函数值的大小:
(1) sin250与sin260; (2) cos185 与 cos194;
解:
(3) (2)
cos515与cos530;
习题 1.4 A组
第 2、4、5 题.
练习: (课本40页)
1. 观察正弦曲线和余弦曲线, 写出满足下列条件 的区间:
(1) sinx>0;
(2) sinx<0;
(3) cosx>0;
(4) cosx<0.
y=sinx
y
1
-3
5
2
-2
3
2
o 21
3 2 5 3 x
2
2
2
(1) sinx>0 x(2k, 2k+). (2) sinx<0 x(2k, 2k).
2
时,
sinx 取得最小值 1,
则 y = 2sinx 取得最小值 2.
即 函数取得最大值 2 时, x 的取值集合为
{x| x = 2k
+
2
,
kZ};
函数取得最小值 2 时, x 的取值集合为
{x| x = 2k
2
,
kZ}.
3. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的
集合, 并写出最大值、最小值各是多少?
(4) sin( 574 )= sin(8
+ (274))s=ins(in52774, )与sin( 683 ).
sin(
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第2课时正弦函数、余弦函数的性质(二)
(3)换元后配方利用二次函数求最值．
12/9/2021
第二十一页，共三十三页。
已知函数 f(x)＝sin2x＋cos x＋43x∈0，23π，则
函数 f(x)的值域为( )
A．[1,2]
B．－14，74
C.－34，1
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第九页，共x＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数(hánshù)求 单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体 “z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝ Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间，方法同上．
D．cos－π6＜cos－π5
【答案】C
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第六页，共三十三页。
3 ． (2018 年 内 蒙 古 呼 伦 贝 尔 二 模 ) 若 函 数 f(x) ＝ 1 ＋ asin ax＋π6 (a ＞ 0) 的 最 大 值 为 3 ， 则 f(x) 的 最 小 正 周 期 为 ________．
求最值．
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第二十七页，共三十三页。
1．函数 y＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( )
A.－π4，4π C.0，π2 【答案】C
B．π4，34π D．π2，π
【解析】若函数 y＝cos 2x 递减，应有 2kπ≤2x≤π＋2kπ，k
∈Z，即 kπ≤x≤π2＋kπ，k∈Z，令 k＝0 可得 0≤x≤π2.
第2课时(kèshí) 正弦函数、余弦函数的性质(二)
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第一页，共三十三页。
目标定位
重点难点
1.借助图象理解正、余弦函数在
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性课
[解析] (1)因为 f(x)＝sin 2x－π2＝ －sin π2－2x＝－cos 2x， 所以该函数的最小正周期为 π，且为偶函数，故选 B. (2)设 x<0，则－x>0，所以 f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin x. 又 f(x)是奇函数， 所以 f(－x)＝－f(x)， 所以 f(x)＝x－sin x(x<0)．
心思在如何在课件中贯彻案例的设计意图上、如何增强课件的实效性上，既是技术上的进步，也是理论上的深化，通过几个相关案例的制作，课件的概 念就会入心入脑了。 折叠多媒体课件 多媒体教学课件是指根据教师的教案，把需要讲述的教学内容通过计算机多媒体(视频、音频、动画)图片、文字来表述并构成的课堂要件。它可以生动、 形象地描述各种教学问题，增加课堂教学气氛，提高学生的学习兴趣，拓宽学生的知识视野，10年来被广泛应用于中小学教学中的手段，是现代教学发 展的必然趋势。
解法二 f(x)＝sin(2x＋π3)中 ω＝2， ∴T＝2|2π|＝π. (2)作出 y＝|sin x|的图象如图：
由图象知，y＝|sin x|的周期为 π.
求函数周期的三种方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数 x 都满足 f(x＋T)＝f(x)的非零 常数 T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 是常数，且 A≠0，ω>0)，可利用 T＝2ωπ来求． (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对 值的函数一般可采用此法．
[答案] (1)B
三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解． (2)判断函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能 否通过诱导公式转化为 y＝Asin ωx(Aω≠0)或 y＝Acos ωx(Aω≠0)其中的一个．
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质(第2课时)教学课件 新人教A版必修4
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质（第2课时）教学 课件 新人教A版必修4
第一章 三角函数
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）
1．了解周期函数与最小正周期的意义．(难点、 易错点)
2．了解三角函数的周期性和奇偶性．(重点)
3．会求函数的周期和判断三角函数的奇偶 性．(重点)
【即时演练】
若f(x＋1)＝－f(x)，试判断函数f(x)是否是周 期函数．
解：∵f(x＋1)＝－f(x)，
∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)．
∴f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．
谢谢观看！
结束语
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与 性质（第2课时）教学课件 新人教A版必修4
【纠错提升】 利用定义判断周期函数
(1)要判断一个函数为周期函数，一要看定义域， 即对任意x∈I，有x＋T∈I；二是对任意x∈I， 有f(x)＝f(x＋T)．要说明一个函数不是周期函数 或者不是以T为周期的函数，只要举一反例即 可．
(2)求三角函数周期之前，要尽量将函数化为同 名同角三角函数，且函数的最高次数为1.
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角 的图象与性质（第2课时）教学课 同学们，下课休息人十教分A钟版。必现修在是4 休息时间
休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
【互动探究】
本题(2)中函数改为y＝cos |x|，则其周期又是 什么？
解：由诱导公式得y＝cos |x|＝cos x. 所以其周期T＝2π.
(3)函数应满足 1＋sin x≠0，
人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT
解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2
人教版高中数学必修四1.4三角函数的图象与性质1.4.2二含答案
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 课时目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．正弦函数、余弦函数的性质： 函数 y ＝sin xy ＝cos x 图象定义域______ ______ 值域______ ______ 奇偶性______ ______ 周期性最小正周期：______ 最小正周期：______ 单调性在__________________________________ 上单调递增；在__________________________________________________上单调递减 在__________________________________________上单调递增；在______________________________上单调递减 最值 在________________________时，y max ＝1；在________________________________________时，y min ＝－1在______________时，y max ＝1；在__________________________时，y min ＝－1 一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )A ．sin α>sin βB ．sin β>sin αC ．sin α≥sin βD ．sin α与sin β的大小不定3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 5．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是____________． 8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________． 9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．10．设|x |≤π4，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______． 三、解答题11．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 12(cos 2x )．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．能力提升13．已知sin α>sin β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则( ) A ．α＋β>π B ．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π 14．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32C ．2D ．31．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围．1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案知识梳理 R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝－π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z ) 作业设计1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54； 当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．]5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.]7.⎣⎡⎦⎤π2，π8．[0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3. ∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2] 9．b <c <a解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.∵b <c <a . 10.1－22解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－(sin x －12)2＋54∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )． (2)由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z . ∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z . ∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1，f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5. 由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 13．A [∵β∈⎝⎛⎭⎫π，32π， ∴π－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β. ∵y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递增，∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β)⇔α>π－β⇔α＋β>π.]14．B [要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6. ∴ω的最小值为32，故选B.]附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
《红对勾》2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件1-4-2正弦函数、余弦函数的性质-2
若函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(|φ|<π2)与函数 g(x)＝cos(ωx－ π6)(ω>0)的图象具有相同的对称中心，则 φ＝________.
解析：∵两函数图象具有相同的对称中心， ∴它们的周期相同， ∴ω＝2.令 2x＋φ＝kπ(k∈Z)，则 x＝k2π－φ2(k∈Z)，即 f(x) 的图象的对称中心为(k2π－φ2，0)(k∈Z)．令 2x－π6＝k′π＋2π (k′∈Z)，则 x＝k′2 π＋π3(k′∈Z)，即 g(x)的图象的对称中 心为(k′2 π＋3π，0)(k′∈Z)．又 g(x)，f(x)的图象的对称中心
解：(1)由 x∈(－4π，π)知，23x∈(－6π，23π)． 当23x∈(－π6，2π]，即 x∈(－π4，34π]时， 函数 y＝－2sin23x 为减函数．
所以 2kπ<x＋π4<2kπ＋π，k∈Z， 即 2kπ－π4<x<2kπ＋34π，k∈Z. 所以 u＝ 2sin(x＋π4)的单调递减区间为[2kπ＋π4，2kπ＋34 π)，k∈Z. 所以 y＝log 1 [ 2sin(x＋4π)]的单调递增区间为[2kπ＋4π，
π
2kπ＋34π)，k∈Z.
求函数的单调区间：y＝－2sin23x，x∈(－4π，π)．
(4)要注意定义域对单调区间的制约．
2．求三角函数最值或值域的常用方法 (1)对于求形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函数的最 值或值域问题，常利用正、余弦函数的有界性(－1≤sinx， cosx≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合 时，要注意考虑三角函数的周期性．
(2)求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋ c)，x∈D的函数的值域或最值时，一般先通过换元，令t＝ sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，然后利用 配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sinx(或 cosx)的取值范围.
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2.1正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性课件新
2．函数
y＝sin2
0211π－2
010x是(
)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：y＝sin2
0211π－2
010x＝sinπ2－2
010x＋1
005π
＝－sinπ2－2
010x＝－cos2
010x，
所以为偶函数．
答案：B
第二十三页，共24页。
结论 函数 f(x)叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期
(2)最小正周期.
条件 周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期
第三页，共24页。
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sinx
y＝cosx
周期 2kπ(k∈Z 且 k≠0) 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
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[化解疑难] 正确理解函数的周期性
(1)关于函数周期性的理解，应注意以下三点： ①存在一个不等于零的常数 T； ②对于定义域内的每一个值，都有 x＋T 属于这个定义域； ③满足 f(x＋T)＝f(x)． (2)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其 周期也不一定唯一． (3)如果 T 是函数 f(x)的一个周期，则 nT(n∈Z 且 n≠0)也是 f(x) 的周期．
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(2)法一：因为 f(x)＝|sinx|， 所以 f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，所以 f(x)的周期为 π. 法二：因为函数 y＝|sinx|的图象如图所示． 由图象可知 T＝π.
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（周期性）课堂导学三点剖析1.周期的概念及求函数的周期【例1】求下列函数的周期：（1）y=sin2x;(2)y=3cos x 21;(3)y=2sin(2x-3π). 思路分析：本题主要考查y=Asin(ωx+φ).y=Acos(ωx+φ)的周期的求法.利用周期函数定义及诱导公式求函数的周期.解：（1）由于f （x+π）=sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x=f(x)，所以由周期函数的定义知，原函数的周期为π.(2)由于f(x+4π)=3cos ［12(x+4π)］=3cos(x 21+2π)=3cos x 21=f(x),所以，由周期函数的定义知，原函数的周期为4π.(3)由于f(x+π)=2sin ［2(x+π)-3π］=2sin ［2x+2π-3π］=2sin(2x-3π)=f(x)，由周期函数的定义知，原函数的周期为π.温馨提示由上例可以看到函数的周期仅与x 的系数有关.一般地,y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)（其中A 、ω、φ为常数，A≠0,ω＞0）的周期T=2πω，若y=f(x)的周期为T ，则y=f(ωx)的周期为||ωT.2.周期函数概念的理解【例2】判断下列函数是否是周期函数？如果是，求出它的一个周期.(1)y=lgx;(2)y=sinx.思路分析：判断一个函数是否是周期函数，须根据定义，看是否存在一个常数T ，使得f(x+T)=f(x).解：（1）取定义域内一个值x 0=1.由于f(x 0+T)=lg(x 0+T)=lg(1+T)≠lg1(T≠0的常数)，于是f(x)=lgx 不是周期函数.(2)∵对定义域内任一x ，有sin(x+2k π)=sinx,(k∈Z ,k≠0),∴y=sinx 是周期函数，周期为2k π(k∈Z ,k≠0).温馨提示判断一个函数是周期函数，关键是能找到常数T （T≠0），使得对定义域内的任一x ，有f(x+T)=f(x).判断一个函数不是周期函数，只要在定义域内找一个特殊值x 0，验证f （x 0+T ）≠f(x 0).就可以说明f(x)不是周期函数.3.周期函数的定义【例3】①存在T=2π使sin(4π+2π)=sin 4π成立，所以2π是y=sinx 的一个周期. ②f(2x+T)=f(x)对定义域内的任意x 都成立，所以2T 是f(x)的周期.(T≠0) ③周期函数不一定有最小正周期.④周期函数的周期不止一个.以上命题是真命题的是.答案：②③④温馨提示理解周期函数的概念要注意以下三点：(1)存在一个常数T≠0;(2)对其定义域内的每一个x 值，x+T 属于定义域;(3)当x 取定义域内每个值时，f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期. (1)y=3sin(2x+6π); (2)y=2cos(π2x-3π). 解：(1)T=22π=π. (2)T=ππ22=π2. 变式提升1求y=|sinx|的周期.解：将y=sinx 的图象中y≥0的部分保持不变，将y ＜0部分的图象翻折到x 轴的上方，即得y=|sinx|的图象，(如下图所示).由y=|sinx|的图象知其周期为π.温馨提示由数形结合法可知y=|Asin(ωx+φ)|（A 、ω、φ是常数，ω＞0）的周期为y=Asin(ωx+φ)（A 、ω、φ为常数，ω＞0）的周期的一半.类题演练2下列四个函数为周期函数的是（ ）A.y=3B.y=3x 0C.y=sin|x| x∈RD.y=sin1x x∈R 且x≠0答案：A变式提升2已知定义在实数集上的函数f(x)始终满足f(x+2)=-f(x).判断y=f(x)是否是周期函数.若是周期函数，求出它的一个周期.解：∵f(x+4)=f ［2+(x+2)］=-f(x+2)=-［-f(x)］=f(x).∴f(x)是周期函数，且周期是4.类题演练3函数y=f(x)，x∈［-2,2］图象如下图所示,f(x)是周期函数吗？解析：在周期函数y=f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT(k∈Z且k≠0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界.答案：不是变式提升3函数y=a sinx的图象是怎样的呢？是否是周期函数？若是，它的最小正周期又是什么呢？解析：∵y=a sin(x+2kπ)=a sinx,即存在常数T=2kπ(k∈Z),使得f(x+T)=f(x),∴y=a sinx是周期函数，且最小正周期为2π.因此，它的图象应是每隔2π个单位长度是相同的.。
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第2
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时 正、余弦函数的性质1．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的性质：周期性、奇偶性，了解其图象的对称性． 2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，会结合它们的图象说出单调区间，并能根据单调性比较大小．3．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值、最小值，会求简单三角函数的值域或最值，并能指出取得最大(小)值时自变量x 的值的集合．1．正弦函数的图象与性质正弦函数的图象与性质如下表所示：____当x ＝____________时，y 取最大值1正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )，即正弦曲线与x 轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z )，所有对称轴垂直于x 轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值．【做一做1】 已知函数y ＝sin x ，x ∈R ，则下列说法不正确的是( ) A ．定义域是RB ．最大值与最小值的和等于0C ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数 D ．最小正周期是2π2．余弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质如下表所示：__当x ＝________时，y 取最大值1余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，即余弦曲线与x 轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z )，所有对称轴垂直于x 轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值．【做一做2】 已知函数y ＝cos x ，x ∈R ，则下列说法错误的是( ) A ．值域为[－1,1]B ．是奇函数C ．在定义域上不是单调函数D ．在[0，π]上是减函数答案：1．R [－1,1] 2k π＋π2(k ∈Z ) 2k π－π2(k ∈Z ) 2π 奇 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2【做一做1】 C2．R 2k π(k ∈Z ) 2k π＋π(k ∈Z ) 2π 偶 [(2k －1)π，2k π] [2k π，(2k ＋1)π]【做一做2】 B正、余弦函数的性质与图象的关系剖析：(1)定义域是R ，反映在图象上是所有垂直于x 轴的直线与图象有且只有一个交点．(2)正、余弦函数的单调性，反映在图象上是曲线的上升与下降的情况．(3)正、余弦函数的周期性，反映在图象上是曲线有规律地重复出现．相邻两对称中心的间隔是半个周期，相邻两对称轴的间隔也是半个周期，相邻的对称中心与对称轴的间隔是四分之一个周期．(4)正、余弦函数的奇偶性，反映在图象上是曲线关于原点或y 轴对称，即sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x .(5)正、余弦函数的最大值和最小值，反映在图象上，就是曲线的最高点和最低点．题型一 判断三角函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin x cos x ；(2)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x.分析：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系，进而可确定函数的奇偶性．反思：1.判断函数奇偶性的依据是函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提．另外还要注意诱导公式在判断f (x )与f (－x )之间关系时的应用．2．本例(2)中，易忽视f (x )的定义域，违背定义域优先的原则，而进行非等价变形，得f (x )＝sin x (1＋sin x )1＋sin x＝sin x ，从而导致结果错误．题型二 求三角函数的单调区间【例2】 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的单调递减区间． 反思：求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，利用整体思想，把ωx ＋φ看成一个整体，借助于正弦函数的单调区间来解决．题型三 求三角函数的值域(最值) 【例3】 求下列函数的值域： (1)y ＝3－2cos 2x ，x ∈R ；(2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R .分析：(1)将2x 看成一个整体，利用余弦函数的值域求得；(2)把sin x 看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．反思：求三角函数的值域的方法：①化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则其值域为[－A ＋b ，A ＋b ]．如本例(1)小题；②把sin x 或cos x 看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数在闭区间上的值域，如本例(2)小题．题型四 比较三角函数值的大小 【例4】 比较下列各组数的大小： (1)sin 194°与cos 160°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8与sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8.分析：(1)先将异名三角函数化为同名三角函数，并且利用诱导公式化到同一单调区间上．(2)先比较sin 3π8与cos 3π8的大小，然后利用正弦函数单调性求解．反思：比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．题型五 易错辨析易错点 忽视x 的系数是－1【例5】 求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间．错解：令π3－x ＝t ，∵y ＝sin t 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， ∴2k π－π2≤π3－x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得－2k π－π6≤x ≤－2k π＋56π，即2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． 错因分析：在π3－x 中，x 的系数－1是负数，应整体代入正弦函数的单调递减区间，求原函数的单调递增区间．答案：【例1】 解：(1)定义域为R .f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值应满足1＋sin x ≠0， ∴sin x ≠－1.∴x ≠2k π＋32π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋sin π2－cos2π21＋sinπ2＝1，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2无意义，∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 【例2】 解：由于函数y ＝2sin x 的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． 令2k π＋π2≤3x ＋π4≤2k π＋3π2，得2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12(k ∈Z )． 故所求的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )． 【例3】 解：(1)∵－1≤cos 2x ≤1，∴－2≤－2cos 2x ≤2. ∴1≤3－2cos 2x ≤5，即1≤y ≤5.∴函数y ＝3－2cos 2x ，x ∈R 的值域为[1,5]．(2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2.∵－1≤sin x ≤1，∴函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为[－4,0]． 【例4】 解：(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin 14°＜sin 70°， 从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°. (2)∵cos 3π8＝sin π8，∴0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1.而y ＝sin x 在(0,1)内递增，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8. 【例5】 正解：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴要求原函数的单调递增区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的单调递减区间．令2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴2k π＋5π6≤x ≤2k π＋116π(k ∈Z )．∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋116π(k ∈Z )．1．函数y ＝sin 2cos xx+是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin11°3．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域是__________． 4．函数y ＝3－2π32cos 33x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为____________，此时自变量x 的取值集合是__________．5．求函数y ＝π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间．答案：1．A 定义域为R ，f (－x )＝sin()2cos()x x -+-＝sin 2cos xx-+＝－f (x )，则f (x )是奇函数．2．C ∵sin 168°＝sin(180°－168°)＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°， sin 11°＜sin 12°＜sin 80°， ∴sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.3.51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦设cos x ＝t ，－1≤t ≤1，则y ＝1－cos 2x －cos x ＝－t 2－t ＋1＝21524t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭. 由于－1≤t ≤1，则有－1≤y ≤54. 4．5 {x |x ＝3k π＋π，k ∈Z } 当2πcos 33x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－1时，y max ＝3－2×(－1)＝5.此时x 的取值集合为{x |x ＝3k π＋π，k ∈Z }． 5．解：y ＝π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π2sin 4x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，得 2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )．函数y ＝π2sin 4x ⎛⎫-⎪⎝⎭的递增区间为 3π7π2π,2π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．。
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1
考纲定位
重难突破
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的 重点：1.利用“五点法”画
方法．
正、余弦函数的图象．
2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的
2.正、余函数图象之间
步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正、
的区别与联系．
余弦曲线．
3．函数 f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线 y＝k 有且仅有两个不同的 交点，求 k 的取值范围． 解析：
(π2，1) ， (π，0) ， (32π，－1) ，(2π，0) ．
二、余弦函数的图象 1．余弦曲线 余弦函数 y＝cos x，x∈R 的图象叫余弦曲线．
2．余弦函数图象的画法 (1)要得到 y＝cos x 的图象，只需把 y＝sin x 的图象向左平移π2 个单位长度便可， 这是由于 cos x＝ sin(x＋π2) ． (2)用“五点法”画出余弦曲线 y＝cos x 在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点分 别为： (0,1) ， (π2，0) ， (π，－1) ， (32π，0) ， (2π，1) ．
探究一 用“五点法”作三角函数图象 [典例 1] 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y＝－sin x(0≤x≤2π)； (2)y＝1＋cos x(0≤x≤2π)．
[解析] 利用“五点法”作图．
(1)列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sin x 0 1 0 －1 0
－sin x 0 －1 0 1 0
观察图象可知，在[0,2π]上，当π6<x≤π3，或23π≤x<56π时，不等式12<sin x≤ 23成立．
「精品」高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2第2课时正弦余弦函数的单调性与最值课件新人
[跟踪训练] 1．(1)函数y＝sin3x＋π6，x∈－π3，π3的单调递减区间为________． (2)已知函数y＝cosπ3－2x，则它的单调减区间为________． (1)－π3，－29π，π9，π3 (2)kπ＋π6，kπ＋23π(k∈Z) [(1)由π2＋2kπ≤3x＋π6≤32π＋2kπ(k∈Z)， 得π9＋23kπ≤x≤49π＋23kπ(k∈Z)．
π 2
，α＞
π 2
－β，α∈
0，π2，π2－β∈0，π2，
所以cos α＜cosπ2－β＝sin β.]
(2)①cos158π＝cosπ8，cos149π＝cos49π，因为0＜π8＜49π＜π，而y＝cos x在[0，π] 上单调递减，
所以cosπ8＞cos49π， 即cos158π＞cos149π. ②因为cos 1＝sinπ2－1，而0＜π2－1＜1＜π2且y＝sin x在0，π2上单调递增， 所以sinπ2－1＜sin 1， 即cos 1＜sin 1.
[跟踪训练]
2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( )
A．sin α＜sin β
B．cos α＜sin β
C．cos α＜cos β
D．cos α ＞cos β
(2)比较下列各组数的大小：
①cos158π，cos149π；②cos 1，sin 1.
(1)B
[(1)α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞
性由自变量的大 [思路探究] 用诱导公式化简 → 小推出对应函数
值的大小
[解] (1)∵－π2＜－1π0＜－1π8＜π2， ∴sin－1π8＞sin－1π0. (2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°＜16°＜66°＜90°， ∴sin 16°＜sin 66°， 从而－sin 16°＞－sin 66°， 即sin 196°＞cos 156°.
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答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2.下列函数在π2 ，π上为增函数的是(
第一章 三角函数
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第 2 课时 正、余弦函数的单调性
与最值
[学习目标] 1.通过图象理解正弦函数、余弦函数在 区间[0，2π]上的单调性、最大值与最小值等，体会数形 结合方法(重点)． 2.会求正弦函数、余弦函数的单调区 间、最大值与最小值(重点、难点)．
最值
π x＝__2__＋__2_k_π__ (k∈Z)
x＝_____ (k∈Z) 2kπ
时，ymax＝1；
时，ymax＝1；x＝ _2_k_π__＋__π____
π x＝_－__2__＋__2_k_π___
(k∈Z)时，ymin＝
－1 (k∈Z)时，ymin＝－1
温馨提示 三角函数的图象和性质，分别从“形”和 “数”这两个不同侧面反映了三角函数的变化规律，我们 应结合三角函数的定义，掌握三角函数的定义域、值域、 单调性、最值等性质．
故要求函数 y＝cosπ3 －2x的单调递增区间，只要求 函数 y＝cos2x－π3 的单调递增区间即可．
π 设 θ＝2x－ 3 ，
由于 y＝cos θ的单调递增区间为{θ|2kπ－π≤θ≤
2kπ(kkπ(k∈Z)，
π
π
解得 kπ－ 3 ≤x≤kπ＋ 6 (k∈Z)，
所以函数 y＝sinπ6 －x的单调递增区间就是函数 u＝
sinx－π6 的单调递减区间，由
π
π
2kπ＋ 2 ≤x－ 6 ≤2kπ＋
3π 2 ，k∈Ｚ，得 2kＴπ＋2π 3 ≤x≤2kπ＋5π 3 ，k∈Ｚ.
(2)由 sin x＞0，得 2kπ＜x＜2kπ＋π，k∈Ｚ. 因为 0＜12＜1， 所以函数 y＝log1sin x 的单调递增区间即为 t＝sin x
2 的单调递减区间，
π 所以 2kπ＋ 2 ≤x≤2kπ＋π，k∈Ｚ. 所 以 函 数 y ＝ log 1 sin x 的 单 调 递 增 区 间 为
2 2kπ＋π2 ， 2kπ＋π，k∈Ｚ
类型 2 比较三角函数值的大小
[典例 2] 比较下列各组数的大小： (1)sin 194°与 cos 160°； (2)sinsin 3π8 与 sincos 3π 8 .
)
A.y＝sin x
B.y＝cos x
C.y＝sin 2x
D.y＝cos 2x
解析：y＝sin x，y＝cos x 在π2 ，π上均为减函数，
x∈π2 ，π，2x∈[π，2π].因此函数 y＝sin 2x 在[π，2
π]上非单调，y＝cos x 在[π，2π]单调递增，所以 y＝cos
2x 在π2 ，π上为增函数，故选 D. 答案：D
解析：由正弦函数 y＝sin x 的最值知，当且仅当 x＝ π 2 ＋2kπ(k∈Z)时，f(x)＝2sin x－1 有最大值 1.
π 答案： 2 ＋2kπ(k∈Z) 1
5.下列函数值：Ｔsin 1，sin 2，sin 3，sin 4 的大小顺 序是_________.(用“＞”边接)
解析：因为 sin 2＝sin (π－2)，sin 3＝sin (π－3)， 且 0＜π－3＜1＜π－2＜π2 ，且π＜4＜3π 2 ，又函数 y
π ＝sin x 在[0， 2 ]上单调递增，所以 sin 2＞sin 1＞sin 3＞ 0，而 sin 4＜0，故 sin 2＞sin 1＞sin 3＞sin 4.
答案：sin 2＞sin 1＞sin 3＞sin 4
类型 1 求正、余函数的单调区间 [典例 1] 求函数 y＝cosπ3 －2x的单调递增区间． 解：因为 y＝cosπ3 －2x＝cos－2x－π3 ＝ cos2x－π3 ，
故函数 y＝cosπ3 －2x的单调递增区间为
kπ－π3 ，kπ＋π6 (k∈Z)．
归纳升华 求正、余弦函数的单调区间的方法：
1．结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
2．在求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单
调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看 作一个整体“z”，
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 y＝cos 2x 在π2，π上是减函数．(
)
(2)在区间[0，2π]上，函数 y＝cos x 仅当 x＝0 时取得
最大值 1.( )
(3)函数 y＝12sin x 的最大值为 1.(
)
(4)若 x＝x0 时，y＝sin x 取最大值，则 x＝x0 是函数 y＝sin x 的对称轴．( )
即通过求 y＝Asin z 的单调区间而求出原函数的单调
区间．求形如 y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调
区间同上．
[变式训练] 求下列函数的单调递增区间：
π (1)y＝sin ( 6 －x)；
(2)y＝log1sin x. 2
解：(1)因为 y＝sinπ6 －x＝－sinx－π6 ，
3．函数 y＝－3cos x＋2 的值域为( ) A．[－1，5] B．[－5，1] C．[－1，1] D．[－3，1] 解析：因为－1≤cos x≤1，
所以－1≤－3cos x＋2≤5.
答案：A
4. 已 知 函 数 f(x) ＝ 2sin x － 1 ， 当 且 仅 当 x ＝ ____________时，f(x)有最大值________．
类型 图象 值域
正弦函数 [－1，1]
余弦函数 [－1，1]
在
单 __2_k_π__－__π2__，__2_k_π__＋__π2_ 调 (k∈Z)上递增，在 性 _2_k_π__＋__π_2_，__2_k_π__＋__3_π 2_
(k∈Z)上递减
在_[_2_k_π__－__π__，__2_k_π__] (k∈Z)上递增，在 _[2__k_π__，__2_k_π__＋__π__] __ (k∈Z)上递减